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2024-2025 学年华东师范大学第三附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A. ′(1) < ′(2) < (2) (1) < 0 B. ′(2) < (2) (1) < ′(1) < 0
C. ′(1) < (2) (1) < ′(2) < 0 D. (2) (1) < ′(1) < ′(2) < 0
2.设函数 ( ) = ( + )( 1)2，则“ = 1”是“ ( )没有极值点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个
有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回
到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 ( 1,0)，若将军从山脚
下的点 (0,0)处出发，河岸线所在直线方程为 + = 3，则“将军饮马”的最短总路程是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 2
4 .已知 是椭圆 : 9 + 2 = 1(0 < < 3)上的动点：若动点 到定点 (2,0)的距离| |的最小值为 1，则椭
圆 的离心率的取值范围是( )
A. 0, 22 B.
2 , 1 C. 0, 6 D. 22 3 3 , 1
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.直线 + 1 = 0 的倾斜角为 ．
2 2
6.已知双曲线 : 2

2 = 1，则双曲线 的焦距为 ．
7.已知抛物线的准线方程为 = 1，则该抛物线的标准方程为 ．
28.已知椭圆中心在原点，长轴长为 4，以双曲线 2
2 = 1 的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为 ．
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9 ( ) = ln lim (2+ ) (2).函数 ，则 = ． →0
10.若抛物线 2 = 28 上一点( 0, 0)到焦点的距离是该点到 轴距离的 3 倍，则 0 = ．
2
11.若直线 = ( 3) 与双曲线 24 = 1 只有一个公共点，则 的一个取值为 ．
2 2
12 .已知 1， 2是椭圆 ： 9 + 4 = 1 的两个焦点，点 在 上，则 1 2 的最大值为 ．
13.不论 取何值时，直线( 3) + 2 + 6 = 0 恒过第 象限．
14.如图所示，正方形 是一块边长为 4 的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，
曲线 为以 为对称轴的抛物线的一部分， = = 3.工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原
料 ，当其面积有最大值时， 的长为 ．
15.在平面直角坐标系中， ( 1,0)， (1,0)，若在曲线 上存在一点 ，使得∠ 为钝角，则称曲线上存
2 2
在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为 . (填序号)① 2 = 4 ；② 3 + = 1；③
2 22 = 1；
④( 2)2 + ( 2)2 = 4；⑤3 + 4 = 4．
16.若 > 0, > 0，则 ( 2 )2 + (ln )2 + 的最小值是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知常数 ∈ R，设直线 1: + + ( + 1) = 0，直线 2: ( 1) + 6 + 3 = 0．
(1)若 1 ⊥ 2，求 的值；
(2)若 1与 2平行，求 1与 2的距离．
18.(本小题 14 分)
已知曲线 ( ) = 3 + 1，
(1)求曲线在点 (1,1)处的切线方程；
(2)求过点 2 , 13 3 且与曲线相切的直线方程．
19.(本小题 14 分)
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已知圆心为 的圆经过点 (1,4), (3,6)，且圆心 在直线 3 4 = 0 上.
(1)求圆 的方程：
(2)已知直线 过点(1,1)且直线 截圆 所得的弦长为 2，求直线 的方程．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 2，实轴长为 4，过点 (1,1)的直线 与 相交于 ， 两点．
(1)求 的方程；
(2)是否存在 ，使得 恰好是线段 的中点？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由；
(3) 与直线 ′: 3 12 = 0 交于点 ，设 = ， = ，问： + 是否为定值？若为定值，求
出该定值；若不为定值，请说明理由．
21.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ln ( 1)， ∈ ．
(1)当 = 1 时，求函数 = ( )的单调区间；
(2)若函数 = ( )在区间(1, + ∞)上有 1 个零点，求证： > 1；
(3)若 ( ) + > 0 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，求正整数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 4
6.4
7. 2 = 4
8.
2 2
4 + 2 = 1
9.12/0.5
10.72/3.5
11.12 (或
1
2，答案不唯一)
12.9
13.四
14.4+ 73
15.①④⑤
16. 2 1
17.(1)由题意知 1的法向量为(1, )， 2的法向量为( 1,6)，
1
若 1 ⊥ 2，则 1 + 6 = 0 = 7；
(2)若 1与 2平行，则 ( 1) = 6 = 3 或 = 2，
当 = 2 时，直线 1: 2 1 = 0，直线 2: 3 + 6 + 3 = 0，两直线重合，舍去，
当 = 3 时，则直线 1: + 3 + 4 = 0，直线 2: + 3 +
3
2 = 0，
4 3
则 1与
10
2的距离为
2 = ．
32+12 4
18.(1)解：由函数 ( ) = 3 + 1，可得 ′( ) = 3 2 1，可得 ′(1) = 2，
即曲线在点 (1,1)处的切线斜率为 = 2，
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所以曲线在点 (1,1)处的切线方程为 = 2( 1) + 1，即 = 2 1．
(2) 2 1解：因为点 3 , 3 不在曲线 ( ) =
3 + 1 上，
设切点为 0, 0 ，所以 ′ 0 = 3 02 1，
所以切线方程为 = 3 20 1 30 + 0 0 + 1，
2 1 1
又因为 3 , 3 在直线上，所以3 = 3
2 1 20 3
3
0 + 0 0 + 1，
即 2 3 2 20 0 = 0，解得 0 = 1 或 0 = 0．
当切点为(1,1)时，切线方程为 = 2 1；
当切点为(0,1)时，切线的斜率为 ′(0) = 1，此时切线方程为 = + 1，
2 1
综上所述，过点 3 , 3 且与曲线 ( )相切的直线方程为： = 2 1 或 = + 1．
19.(1) = 6 4 3 1 = 1, 的中点为(2,5)
的垂直平分线方程为 5 = 1 × ( 2)，即 = + 7，
= + 7 = 4
将 3 4 = 0联立可得 = 3，即圆 的圆心坐标为 (4,3)．
圆 的半径为| | = (3 4)2 + (6 3)2 = 10，
所以圆 的标准方程为( 4)2 + ( 3)2 = 10．
(2)设圆心 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 2 2 2 = 2 10 2 = 2，故 = 3．
若直线 的斜率不存在，则 = 1，此时圆心 (4,3)到直线 的距离为 3，符合题意．
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 1 = ，即 + 1 = 0，
= |4 3 +1|所以 = 3 5 5 17，解得 = ，则直线 的方程为 + = 0．
2+1 12 12 12
故直线 的方程为 = 1 或 5 + 12 17 = 0．
20.(1) 2
2+ 2
因为 的实轴长为4，所以2 = 4，解得 = 2，又因为 的离心率为2，所以 =
2
2 = 2，所以 = 12，

2 2
所以 的方程为 4 12 = 1．
(2)由题意直线 的斜率存在，假设存在直线 满足条件，设 1, 1 ， 2, 2 ，
2 2 2 2
则 1 1 = 1， 2 2 24 12 4 12 = 1，所以 3 1
2
2 21 22 = 0，
即 3 1 + 2 1 2 1 + 2 1 2 = 0，
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因为 为线段 的中点，所以 1 + 2 = 2， 1 + 2 = 2，
所以 3 1 2 1 2 = 0

，所以 1 2 = 3，即直线 的斜率为 3，1 2
所以直线 的方程为 = 3 2．
2
2
联立 4 12 = 1，消去 并整理得 3 2 6 + 8 = 0，
= 3 2
= ( 6)2 4 × 3 × 8 = 60 < 0，
所以直线 与 无公共点，这与直线 与 交于 ， 两点矛盾，
故不存在直线 ，使得 恰好是线段 的中点．
(3)由题可知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 1 = ( 1)，即 = + 1，
2
2
= 1
联立 4 12 得 3 2 2 2 (1 ) + 2 13 2 = 0，
= + 1
= 2 (1 ) 2 4 3 2 2 13 2 = 12 3 2 + 2 13 > 0，且 3 2 ≠ 0，
1 2 10
解得 3 < <
1+2 10
3 ，且 ≠± 3，
2 (1 ) 2 13 2
由韦达定理得 1 + 2 = 3 2 ， 1 2 = 3 2 ①，
设 ( , )，由 ( , )在直线 ′: = 3 12 上，得 = 3 12，即 3 + 12 = 0②，
由 ( , )在直线 上，得 1 = ( 1)③，
由 = ，得 1 , 1 = 1 1, 1 1 ，

即 11 = 1 1 ，解得 = 1 ，1

同理，由 = ，得 = 21 ，2
+ = 结合①②③，得 11 +
2 ( +1) 1+ 2 2 1 2 2
1 1
=
2 1 1 1 2
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( +1) 2 (1 ) 2 2 13
2
3 2 3 2 2 = 1 1 1 2
2 ( 1) 6 +26 2( 1) 6 +26
= =
3 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2
= 2( 3 +12)3 2 1 = 0，故 + 为定值 0．1 1 2
21.(1)当 = 1 时， ( ) = ln + 1， > 0，则 ′( ) = ln ，
令 ′( ) > 0，得 > 1，令 ′( ) < 0，得 0 < < 1，
所以 ( )的单调增区间为(1, + ∞)，减区间为(0,1)．
(2)由 ′( ) = ln + 1 ，
当 ≤ 1 时，由 > 1，得 ′( ) > 0，
所以， ( )在(1, + ∞)上是单调增函数，且图象不间断，
又 (1) = 0，所以当 > 1 时， ( ) > (1) = 0，
所以函数 ( )在区间(1, + ∞)上没有零点，不合题意．
当 > 1 时，令 ′( ) = 0，得 = e 1 > 1，
若 1 < < e 1，则 ′( ) < 0，故 ( )在 1, e 1 上是单调减函数，
若 > e 1，则 ′( ) > 0，故 ( )在 e 1, + ∞ 上是单调增函数，
当 1 < < e 1时， ( ) < (1) = 0，
又 e = e e 1 = > 0，
所以函数 ( )在区间(1, + ∞)上有 1 个零点，符合题意．
综上所述， > 1．
(3)由 ( ) + > 0 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，即 ln ( 1) + > 0，
由 > 1，则 < ln + 1 ，对 ∈ (1, + ∞)上恒成立，
令 ( ) < ln + ′ ln 2 1 ，则 ( ) = ( 1)2 ，
设 ( ) = ln 2，则 ′( ) = 1 1 =
1
> 0，
所以 ( )在(1, + ∞)是单调增函数，
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又 (3) = 1 ln3 < 0， (4) = 2 ln4 > 0，
所以存在唯一的实数 0 ∈ (3,4)，使得 0 = 0，
当 1 < < ′0时， ( ) < 0，即 ( ) < 0，
当 > 0时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
所以 ( )在 1, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
所以 ( ) ≥ = 0ln 0+ 00 1 ，又 0 = 0，即 0 ln 0 2 = 0，0
2 +
所以 0 = 0 0 0 1 = 0，0
所以 < 0，又 0 ∈ (3,4)， ∈ N ，
所以 的最大值为 3．
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