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2024-2025 学年上海市南洋模范中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果 < 0 且 < 0，那么直线 + + = 0 不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 = ( ) = ′ lim 0 3 + .若函数 在 处导数为 ，则 00 0 等于( ) →0
A. ′ 0 B. 3 ′ 0 C. 3 ′ ′0 D. 4 0
3.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，若函数 = e ′( )的图象大致如图所示，则 ( )的极大值点为( )
A. B. C. D.
4.已知曲线 的对称中心为 ，若对于 上的任意一点 ，都存在 上两点 ， ，使得 为 的重心，则称
曲线 为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则( )
A.①是假命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题
C.①②都是假命题 D.①②都是真命题
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.5 名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有 种不同的排法．
6.已知直线 1：( + 1) + + 3 = 0， 2： + 2 4 = 0，若 1 ⊥ 2，则实数 = ．
7 = ln .曲线 在 = 1 处的切线方程为 ．
8.直线 = + 4 被曲线 = 2 2截得的线段的长是 ．
9
2 2
.已知椭圆 4 +
2 = 1 与双曲线 2 2 = 1 有公共焦点 1， 2， 是它们的一个公共点，则 1 2 = ．
10.中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制
成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为 ，与承载重力的方向平行的高度为 ，记矩形截面
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1
抵抗矩 = 6
2.根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽 与高 的最佳之比应为 ．
2 2 2 211 .如图，两个椭圆25+ 9 = 1，25 + 9 = 1 内部重叠区域的边界记为曲线 ， 是曲线 上的任意一点，给
出下列三个判断：
① 到 1( 4,0)、 2(4,0)、 1(0, 4)、 2(0,4)四点的距离之和为定值；
②曲线 关于直线 = 、 = 均对称；
③曲线 所围区域面积必小于 36；
上述判断中正确命题的为 ．
12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 1， 2，且两条曲线在第一象限的交点为
， 1 2是以 1为底边的等腰三角形，若 1 = 24，椭圆与双曲线的离心率分别为 1， 2，则 1 2的
取值范围是 ．
3 213.已知 ( ) = + 2 ln ， ∈ 1,1 ， ( ) = ， ∈ 1,2,3,4 ，使 ( ) > ( )恒成立的有序数对( , )
有 对．
14.栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧
两洞的结构简图如图②，若半圆 1与 2相切于点 ，过 1， 2的直线与两个半圆从左到右分别交于点 ， ，
，直线 与半圆 1， 2相切，点 位于直线 上且 ⊥ .若以 为焦点的抛物线过 ， ， 三点，且
与 的面积之比为 1: 2，则直线 与直线 夹角的正切值为 ．
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15.若正方体 1 1 1 1的棱长为 3， 是正方体 1 1 1 1表面上一动点.设 是以 为球心，
半径为 1 的动球在运动过程中经过区域的全体，则 的体积为 ．
16.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图， ′ ′， 分别是椭圆柱 ′的上、下底
1
面椭圆的长轴， = ′ = 4，且底面椭圆的离心率为2， 1, 2分别为下底面椭圆的左、右焦点， 为母
线 ′上的动点， 为线段 ′ ′上的动点， 为过点 2的下底面椭圆的一条动弦(不与长轴重合)，则三棱
锥 体积的最大值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1 = 3．
(1)设 、 分别为 1 和 中点，求证： 平行于平面 1 1；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的大小．
18.(本小题 14 分)
(1)解方程：3C 4 2 = 5A 1；
(2)已知 0 + 1( + 2) + 2 82( + 2) + + 8( + 2) = 8，求 0 + 5的值．
19.(本小题 14 分)
如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地 (含边界和内部， 为坐标原点)， 长 10 米，在
边上距离 点 4 米的 处放一只电子狗，在距 点 2 米的 处放一个机器人，机器人行走速度为 ，电子狗行
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走速度为 2 ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点 ，那么电子狗将被机器人捕获，
点 叫“成功点”．
(1)求在这个矩形场地内“成功点” 的轨迹方程；
(2)若 为矩形场地 边上的一点，电子狗在线段 上总能逃脱，求| |的取值范围．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆Γ: 2 + 3 = 1( > 0, ≠ 3)．
(1)若 = 2，求椭圆Γ的离心率；
(2)设 1, 2为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点 的纵坐标为 1，且 1 2 = 2，求 的值；
2 2
(3)若 为椭圆Γ上一点，过点 作一条斜率为 3的直线与双曲线5 2 5 = 1 仅有一个公共点，求 的取值
范围．
21.(本小题 14 分)
定义：若曲线 1和曲线 2有公共点 ，且在 处的切线相同，则称 1与 2在点 处相切．
(1)设 ( ) = 1 2, ( ) = 2 8 + .若曲线 = ( )与曲线 = ( )在点 处相切，求 的值；
(2)设 ( ) = 3，若圆 ： 2 + ( )2 = 2( > 0)与曲线 = ( )在点 ( 在第一象限)处相切，求 的最
小值；
(3)若函数 = ( )是定义在 上的连续可导函数，导函数为 = ′( )，且满足 ′( ) ≥ ( ) 和 ( ) <
2都恒成立.是否存在点 ，使得曲线 = ( )sin 和曲线 = 1 在点 处相切？证明你的结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.24
6. 3 或 0
7. 1 = 0
8. 66 12 /2 66
9.1
10. 22 /
1
2 2
11.②③
12. 13 , + ∞
13.4
14. 24
15.80 + 31π3
16.8
17.【详解】(1)取 1 中点 ，连接 、 ，如图所示：
因为 为 11 中点，所以 // ，且 = 2 ．
又 1 1 1 1是长方体， 为 中点，
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所以 // 1，且 = 2 ，即 // ，且 = ，
四边形 为平行四边形，所以 // ．
又 在平面 1 1内， 在平面 1 1外，因此， //平面 1 1．
(2)连接 1 1，如图所示：
因为 1 ⊥平面 1 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，
所以∠ 1 1 = 90 ，又 1// 1，
所以∠ 1 1是异面直线 1 与 1所成角(或其补角)．
2 2
tan∠ 1 =
1 1 2 +2 2 2 2 2
1 = 3 = 3 ，故∠ 1 1 = arctan 3 ．1
2 2
因此，异面直线 1 与 1所成角的大小为 arctan 3 ．
18. 3× ! 5×( 1)!【详解】(1)因为 3C 4 = 5A2 1，所以4!( 4)! = ( 3)! ，
3 ( 1)( 2)( 3)
即 4! = 5( 1)( 2)，因 1 ≥ 2，即 ≥ 3，
整理得 2 3 40 = 0，解得 = 8 或 = 5(舍去)，
故原方程的解为 = 8．
(2)因为 0 + 1( + 2) + 2( + 2)2 + + 8( + 2)8 = 8，
令 = 2，得 0 = ( 2)8 = 256．
因为 8 = 2 + ( + 2) 8，而 2 + ( + 2) 8展开式的通项为 +1 = C8( 2)8 ( + 2) (0 ≤ ≤ 8 且 ∈
N)，
所以 5 35 = C8 × ( 2) = 448，
所以 0 + 5 = 256 448 = 192．
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19.【详解】(1)分别以 ， 为 ， 轴建立平面直角坐标系，如图，
则 (0,2)， (0,4)，设成功点 ( , )(0 ≤ ≤ 10)，
| | 2
依题意，| | = = 2，即| | = 2| |，
则 2 + ( 4)2 = 2 2 + ( 2)2 4，化简得 2 + ( 3 )
2 = 16 (0 ≤ ≤ 49 3 )，
4 16 4
所以这个矩形场地内成功点 的轨迹方程是 2 + ( )23 = 9 (0 ≤ ≤ 3 )．
(2)由(1) 4 4知，点 的轨迹是以(0, 3 )为圆心，3为半径的右半圆，
由电子狗在线段 上总能逃脱，得直线 与点 的轨迹在 轴右侧且相离，
此时直线 的斜率 < 0，方程为 = + 4，即 + 4 = 0，
8
由 3 > 4，得 23 < 3，则有 3 < < 0，即 0 < tan∠ < 3， 2+1
| | = | | > 4 = 4 3此时 tan∠ 3 3 ，而| | ≤ 10，
所以| | 4 3的取值范围是( 3 , 10]．
2 2
20.【详解】(1)当 = 2 时，椭圆Γ: + 4 3 = 1，焦点在 上，
则 2 = 4, 2 = 3, 2 = 2 2 = 1，则 = 1 = 2．
(2)因为 1, 2为椭圆Γ的左右顶点，所以 1( ,0), 2( , 0)，
2 2 2 2
令Γ: 2 + 3 = 1 中 = 1
+ 1 = 1 2 6，则 2 3 2 = 3 =± 3 ，
若 63 ,1
6
， 1 = 3 , 1 ,
62 = 3 , 1 ，
1 2 =
6
3
6
3 + 1 = 2，
解得： = 3．
若 6 ,1 ， 61 = + , 1 , 2
6
3 3 = + 3 , 1 ，
1 2 = +
6
3 +
6
3 + 1 = 2，
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解得： = 3．
(3)若 为椭圆Γ上一点，过点 作一条斜率为 3的直线，
2 2
设该直线为 : = 3 + ，直线 与双曲线5 2 5 = 1 仅有一个公共点，
2 2
①直线 与双曲线5 2 5 = 1 的渐近线平行时，
2 2
则双曲线5 2 5 = 1 的渐近线为： =± ，所以 = 3．
因为 为椭圆Γ上一点，所以 > 0, ≠ 3，所以不满足题意．
2 2
②直线 与双曲线5 2 5 = 1 的渐近线不平行时，
2
2
5 2 5 = 1，则 3 2 2 + 2 3 + 2 5 2 = 0，
= 3 +
3 2 ≠ 0
则 2 ，解得： 2 = 5 2 15 ≥ 0，
△= 2 3 4 3 2 2 5 2 = 0
解得： 2 ≥ 3，因为 > 0, ≠ 3，所以 > 3．
2 +
2
= 1
又因为 为椭圆Γ上一点，所以 2 3 ，则 3 + 3 2 2 + 2 3 2 + 2 3 2 = 0，
= 3 +
2
则△= 2 3 2 4 3 + 3 2 2 3 2 ≥ 0，解得： 2 ≤ 3 2 + 3，
所以 5 2 15 ≤ 3 2 + 3，所以 3 ≤ ≤ 3，综上所述： 3 < ≤ 3．
则 的取值范围为： 3, 3
21.【详解】(1)设点 ( 1, 21)，由 ( ) = 1 , ( ) = 2 8 + ，求导得 ′( ) = 2 , ′( ) = 2 8，
于是 2 1 = 2 1 8，解得 1 = 2，由 ( 2 21) = ( 1)，得 1 2 = 2 8 × 2 + ，解得 = 9，
所以 的值为 9．
(2)设切点 ( 32, 2), 2 > 0，由 ( ) = 3求导得 ′( ) = 3 2，则切线的斜率为 ′( 2) = 3 22，
3
又圆 ： 2 + ( )2 = 2的圆心 (0, )，直线 的斜率为 2 ，2
32 3 2 = 1 = 3 + 1则由 ，得 ，令 ( ) = 3 + 1 2 2 3 3 , > 0
1
，求导得 ′( ) = 3 2
2 2 3 2
，
当 0 < < 3 33 时，
′( ) < 0，当 > 3 时，
′( ) > 0，即函数 ( ) 3 3在(0, 3 )上递减，在( 3 , + ∞)上递增，
= 3 3 4 3因此当 3 时， ( )min = ( 3 ) = 9 ，
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3 4 3
所以当 2 = 3 时， min = 9 ．
(3)假设存在 ( 0, 1)满足题意，
则有 ( 0)sin 0 = 1，对函数 = ( )sin 求导得： ′ = ′( )sin + ( )cos ，
于是 ′( 0)sin 0 + ( 0)cos 0 = 0，即 ′( 0)sin 0 = ( 0)cos 0，
平方得[ ′( 2 2 20)] sin 0 = [ ( 0)] cos2 0 = [ ( 0)]2(1 sin2 0)，
即有[ ′( )]2sin20 0 + [ ( 0)]2sin2 20 = [ ( 0)] ，因此[ ′( 2
1
0)] [ ( )]2 + 1 = [ (
2
0)] ，
0
整理得[ ′( 2 20)] + [ ( 0)] = [ ( )]4，而恒有 ′( ) ≥ ( ) 成立，则有[ ′0 ( )]20 ≥ [ ( 0)]2，
从而[ ( 0)]4 ≥ 2[ ( 0)]2，显然 ( 0) ≠ 0，于是[ ( 20)] ≥ 2，即| ( 0)| ≥ 2与 ( ) < 2恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点 满足条件．
【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切
线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键．
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