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2024-2025学年湖南省湘潭市第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则是( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C. D.
6.如图，在，已知，则为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是( )
A. B. C. D.
8.已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 若，则
D. 函数在区间内单调递增
10.下列命题正确的是( )
A.
B. 已知，为非零实数，若，则与共线
C. 若为非零向量，若“”则“”
D. 若单位向量满足，则与的夹角为
11.如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则 ．
A. 存在点，使平面
B. 不存在点，使四点共面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 经过四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为 ．
13.一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为 ．
14.在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简求值：；
若是第一象限角，，且，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知向量是平面内一组基底，且与的夹角为锐角，．
求证三点共线；
设，若的最小值是，求锐角的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成角为，是的中点．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正切值．
19.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
若，求；
求的最小值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：原式；
由为第一象限角，且，
即，解得，；
又，且，故．
．

16.解：证明：
如图，连接，
点为的中点，且点为的中点，
为的中位线，即，
又平面，平面，
平面
为矩形，，
又平面，平面，
平面，
点到平面的距离为，即棱锥的高为，
又为的中点，且，
，
．

17.解：由，
得，则，
即，又有公共点，
所以三点共线．
依题意，
令，函数是开口向上的二次函数，
则当时，，即，
整理得，则，所以锐角．

18.【详解】证明：由已知， ，且，
则为平行四边形，，
又，则，
由知，则为正三角形，
在中，，，
由余弦定理可知，，
有，则，
又，，则平面，
而在平面内，则平面平面．
设为的中点，连接，，则，
平面，在平面内，
平面平面，
平面，为直线与平面所成的角，
又直线与平面所成角为，则，
又，，
在中，，
即直线与平面所成角的正切值为．
【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：
找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

19.【详解】，
由正弦定理

，，，
或舍去
若，则
因为，结合，
可得：，
由正弦定理，
得
，
，令，
则，
由对勾函数单调性可知：在时递减，在时递增，
因此时，．

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