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2024-2025学年海南省创新中学协作校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知在中，点在的延长线上，且满足，则( )
A. B.
C. D.
4.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为( )
A. B. C. D.
5.山西应县木塔，始建于年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为，在地面上点处，，在同一水平面上且三点共线测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，，，则边上的高为
A. B. C. D.
7.的内角，，的对边分别为，，，若，，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
8.已知平面向量，，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若的值为，则
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动圈若规定：盛水筒对应的点从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为单位：，且此时点距离水面的高度为单位：在水面下则为负数，则与的关系为下列说法正确的是( )

A.
B. 点第一次到达最高点需要的时间为
C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是
D. 若在上的值域为，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若复数是纯虚数，则的值为 ．
13.已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，则 ．
14.已知，若对任意的恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，复数，为虚数单位，．
若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；
若满足，，求的值．
16.本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．

计算该模型的体积结果精确到
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米元，总费用是多少？结果精确到元
17.本小题分
在中，内角的对边分别为，已知．
若的面积为，求的值；
设，，且，求的值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求的外接圆面积；
若，求角．
19.本小题分
如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，

请用来表示平行四边形的面积；
若．
求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
记其中，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.【详解】因为，
所以在复平面内对应的点为，
由在复平面内对应的点位于第三象限，
得，解得，
所以的取值范围为．
依题意，，
又，则，解得，，
所以，
所以．

16.【详解】设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，
则，
设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，，
所以圆柱的体积，
圆锥的体积
；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
一个模型的表面积，
所以总费用为元．

17.【详解】，，则，
的面积为，，
因此；
，，且，
所以，
即，．
，
，
，
故．

18.【详解】设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，
在中，由，
可得，又
所以
所以
所以，
所以，
而，所以，即，
因为为内角，所以，所以
所以，故，
所以外接圆的面积为，
由，可得，
在中，由正弦定理得，由
所以，
因为，所以，
所以，
则，得，
，或，
或．

19.解：过点作的垂线，垂足为，在中，，
在中，，则，

所以，
所以；
若，由题意可得，
由知：，
故平行四边形的面积
，
由于，故，
故当，即时，取得最大值，为；
根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即，

又，则，
因，即，
则，，
解得：，，
，
由点是弧上一动点，则，则，
所以，即，
则的取值范围为．

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