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2024-2025学年河南省环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角所对的边分别为若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角的对边分别为，且，若的周长为，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角的对边分别为，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
7.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的最小值
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.已知平面向量，则( )
A. B.
C. 在上的投影向量 D. 与的夹角为锐角
11.在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若是锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 填“”或“”
13.在中，角所对的边分别为已知，要使该三角形有两解，则实数的取值范围为 ．
14.已知向量满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是平面直角坐标系内的四点，已知点．
若，求点的坐标；
若，求点的坐标；
若，求的值．
16.本小题分
如图，角的终边与单位圆交于点，且．
求；
求．
17.本小题分
如图，在中，已知是边上一点，．
求的值；
求的长；
求的面积．
18.本小题分
在中，已知边上的两条中线、相交于点．
求的长；
求的余弦值．
19.本小题分
在中，对应的边分别为，内一点满足条件，
求；
若求证：
为的面积；
为等边三角形．
参考答案
1.
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13.
14.
15.设，，
因为，所以，解得
所以点的坐标为；
设，则，
因为，所以，解得
所以点的坐标为；
，
所以，
因为，所以，解得
所以．
16.在单位圆上，可得，结合，故，故，
故
17.在中，
由余弦定理可得：．
因为
所以，所以，
在中，，
由正弦定理，，
所以．
在中，，
所以，
在中，由正弦定理，
可得，，
所以，．
18.因为
所以．
因为是的中点，则
所以，
所以，
所以，
因为为的中点，所以，
则．
故．
因为
．
所以．
19.由正弦定理得即，
由余弦定理有，
若，等式不成立，则，
所以又因为，所以．
若，
则，
所以，
在中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得，
即，
故；
在中，，由余弦定理可得，
由得，
所以，
又，所以为等边三角形．

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