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2024-2025学年河北省廊坊市部分高中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.设，是直线上两点，则“，到平面的距离相等”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班名学生到图书馆借书数量统计如下表．
借书数量单位：本
频数单位：人
则这名学生的借书数量的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.某班级从名同学中挑出名同学进行大扫除，若小王和小张在这名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为( )
A. B. C. D.
6.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各张，一次任意取出张卡片，则与事件“张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )
A. 张卡片都不是红色 B. 张卡片不都是红色
C. 张卡片至少有一张红色 D. 张卡片至多有张红色
7.已知圆锥的顶点为，母线长为，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率用，，，分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B. C. D.
10.在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是( )
A. 直线 B. 直线 C. 平面 D. 平面
11.某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赌，该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项正确的是( )
A. 周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C. 周岁以上的参保人数约占总参保人数
D. 丁险种最受参保人青睐
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ．
13.数据的方差为，则数据的方差为 ．
14.若平面有不共线的五点，，，，，记，，，，满足．，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中表示红色骰子向上一面的点数，表示蓝色骰子向上一面的点数．
写出该试验的样本空间；
指出所表示的事件；
写出“点数之和不超过”这一事件的集合表示．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
求和的值；
求的面积．
17.本小题分
如图，四棱柱的底面是正方形，．
证明：平面平面；
证明：平面平面．
18.本小题分
甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：
恰有一人面试合格的概率；
至多一人签约的概率．
19.本小题分
为了估计一批产品的质量状况，现对个产品的相关数据进行综合评分满分分，并制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为分及以上的产品为一等品．

求图中的值，并求综合评分的平均数；
用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取个产品，再从这个产品中随机抽取个产品记录有关数据，求这个产品中最多有个一等品的概率；
已知落在的平均综合评分是，方差是，落在的平均综合评分为，方差是，求落在的总平均综合评分和总方差．
参考答案
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15.解：该试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”；
事件“点数之和不超过”对应的集合为
．

16.解：在中，
由，，
可得．
又由正弦定理得，
因为，，
所以．
由余弦定理得，
得，
因为，解得．
所以，；
由知，，，
所以的面积
．

17.解：
由题意可知：，，可知为平行四边形，
则，且平面，平面，可得平面，
又因为，，可知为平行四边形，
则，且平面，平面，可得平面，
且，、平面，
所以平面平面．
因为为正方形，则，
因为，，，则，
可得，
设，可知为的中点，则，
且，、平面，可得平面，
由平面，
所以平面平面．

18.记事件：甲面试合格，
事件：乙面试合格
事件：丙面试合格
事件：恰好有一人面试合格
依题意，事件、、相互独立
．
至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况，
事件：甲签约乙丙没有签约，
事件：三人都没有签约，事件：至多一人签约，
因为与互斥，所以，
，
，
，
所以至多一人签约的概率为．

19.解：由频率和为，得，解得，
设综合评分的平均数为，
则，
所以综合评分的平均数为
由题意，抽取个产品，其中一等品有个，非一等品有个，
一等品记为、、，非一等品记为、；
从这个产品中随机抽取个，试验的样本空间
，；
记事件“抽取的这个产品中最多有个一等品”，
则，，
所以所求的概率为
由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
所以，
．

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