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2024-2025学年广西部分学校高一下学期四月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.有一个底面直径为的圆柱形容器不考虑该容器的厚度，该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
10.已知，是复数，则下列命题错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.在锐角中，角，，的对边分别是，，，已知，，且，则( )
A. 角的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 周长的取值范围是
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积是 ．
13.一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时千米的速度匀速航行小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时千米的速度匀速航行小时，到达地，则两地之间的距离是 千米．
14.某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业年月投入该新产品的研发经费为万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加，记年月为第个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于万元，则的最小值是 参考数据：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，．
求该几何体的表面积；
求该几何体的体积．
17.本小题分
已知函数的图象经过三点，且的最小值为．
求的解析式；
求在上的值域；
求不等式的解集．
18.本小题分
在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
已知，，，．
用向量，表示向量，；
求的值．
若，求的值．
19.本小题分
如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地．

已知．
求道路的长度；
求的面积．
某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为万元每平方千米，修建道路的利润为万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或舍去，
所以实数的值为．
由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为．

16.解：设是的中点，连接．
因为是边长为的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积．
连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以．
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积．

17.解：由题意的图象经过三点，且的最小值为，
可得的最小正周期，则，解得．
则，
由，
故，，
又因为，所以．
故．
由于，所以，
故，．
所以函数的值域为．
不等式等价于不等式，即不等式．
令，解得，
故不等式的解集为．

18.解：因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以．
设，则，所以，又，所以，
由知，所以，
因为三点共线，可设，
所以，所以，
又，所以，解得
所以．

19.解：由正弦定理可得，
则千米．
因为，，所以，
所以
则的面积平方千米．
设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米．
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元．
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元．

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