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2024-2025学年河北省唐山市丰南区高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量，不平行，并且其模相等，则与之间的关系是( )
A. 垂直 B. 共线 C. 不垂直 D. 以上都可能
3.若复数的实部与虚部互为相反数，则
A. B. C. D.
4.如图，已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是( )
A. 平面 B. 与相交
C. 与是异面直线 D. 四边形为正方形
6.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B. 若，则
C. 在上的投影向量为 D. 若，则
10.已知是两个不重合平面，是两条不重合直线，则下列说法错误的是( )
A. 若，则与是异面直线 B. 若，则平行于内的无数条直线
C. 若，则 D. 若，则与一定相交
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是( )
A. B. 是钝角三角形
C. 若，则外接圆半径为 D. 若周长为，则内切圆半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两个单位向量满足则的夹角为
13.河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底在同一水平面内的两个测量基点与，在点处测得点的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度 参考数据：取，
14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重不包含箱子的质量，陀螺的密度为取则该箱中有这样的陀螺 个．如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
若，求向量的坐标；
若，求的值；
若向量，若与共线，求的值．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，，．
Ⅰ若，，求的值
Ⅱ若，，求四边形的面积．
17.本小题分
如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为．
证明：平面；
求该正四棱台的表面积．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，角的平分线交于点，的周长为，求的长．
19.本小题分
如图，正三棱柱中，分别是棱的中点．
判断直线与直线，直线与平面的位置关系；判断即可，不必说明理由
求证：平面；
在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，所以，则，解得，
故，
则．
因为，所以，则，
所以．
，，
若与共线，则，解得，即，
故．

16.解：Ⅰ在中，，，
，
在中，由正弦定理得，
；
Ⅱ在、中，由余弦定理得，
，
，
则，
又因为，所以，
所以，
故四边形的面积为．
17.【详解】连结，交于点，连结
在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，
又为的中点，
又平面，平面，
平面．
由已知，梯形中，，，，
过作，交于点，
，，
所以梯形的面积为
正四棱台的表面积为：
．

18.【详解】由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以．
因为，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
因为为角的平分线，所以，
因为，
所以，
即，所以．

19.解：直线与直线是异面直线；直线与平面相交，
理由如下：因平面，平面，平面，
故直线与直线是异面直线；
又因平面，因点是的中点，，
故相交，设交点为，则点平面，
又点平面，故直线与平面相交；
证明：取的中点为，连接，
是棱的中点，
且，
点是棱的中点，
且，
且，
四边形是平行四边形，
，
且平面，平面，
所以平面；
当点为棱的中点时，平面平面，
证明：分别是棱的中点，
，，，
平面，平面，平面，
分别是棱的中点，，
平面，平面，平面，
，平面，
平面平面．

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