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2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共40分。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，且与方向相反，则的值为 ．
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
A. B. C. D. 且
7.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于( )
A. B. C. D.
8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点，，处，其中入口点定点在桥上，且到直线，的距离分别为，为定值，入口，分别在直线，上，公园的一边与直线所成的锐角为，另一边与垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为
C. 若，且则
D. 若，且，则
9.在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，任取，定义集合：，点，满足设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记则函数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.复数的虚部是 ，共轭复数是 ．
12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则 ； ．
13.在中，，．
若，则 ；
面积的最大值为 ．
14.已知函数的部分图象如图所示，其中，是直线与曲线的两个相邻交点若，则 ， ．
15.已知函数给出下列四个结论：
的最小正周期是；
的一条对称轴方程为；
若函数在区间上有个零点，从小到大依次记为，则；
存在实数，使得对任意，都存在且，满足．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（13分）已知，，，．
求的值；
求的值．
17.（13分）如图所示，在边长为的正方形中，，分别是和的中点．
求证：用向量法证明；
设，求的值．
若点不与点重合为正方形边上的动点，直接写出的取值范围．
18.（14分）已知函数其中，，从条件、条件、条件这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定．
求函数的解析式；
求函数在上的最大值和最小值．
条件：；
条件：是的对称中心；
条件：可以由函数平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
19.（15分）在中，．
求；
若的面积为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.（15分）已知向量，向量，函数．
求单调递减区间；
已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积．
21.（15分）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
当时，已知集合若不是的完美子集，求的值；
已知集合，其中，若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ；
12.
13.
14.
15.
16.由，，得，，
所以．
由，，得，
又，解得，故，
，
所以．

17.以直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，
，，
所以．
由知，，
由，得，解得，
所以．
由知，
当在线段上时，设，，；
当在线段上时，设，，
；
当在线段上时，设，，；
当在线段上时，设，，
，
所以的取值范围是．

18.，由，得；
，由是的对称中心，得，
则，；
，由，
因为可以由函数平移得到，
则，．
由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选．
选，由上述可知，，，，
则，即，
所以或，，
则或，，
又，则，即．
选，由上述可知，，，，，
则，，即，，
又，则，即．
由，得，
则，则，
所以函数在上的最大值为，最小值为．

19.在中，因为，
由余弦定理，得．
因为，所以．
选择条件：
因为，所以，．
由题意得，所以．
因为，，
所以
．
由正弦定理，得，
又，解得，所以．
选择条件：
由题意得，所以．
因为，且，所以．
又，所以，
又，解得或．
选择条件：不符合题意，因为中，，不可能．

20.
．
．
由知：，
时，，
当时取得最大值，此时．
由得．
由余弦定理，得，
，
即，则．

21.解：Ⅰ是完美集；
设，
即．
所以是完美集．
不是完美集．
设，
即
令，则．
所以不是完美集．
Ⅱ因为不是完美集，
所以存在，使得，
即
因为，
由集合的互异性得，且．
所以，，．
所以
所以．
所以或．
检验：
当时，存在使得．
当时，因为，所以，舍．
所以．
Ⅲ一定是的完美子集．
假设存在不全为的实数满足，
不妨设，则否则与假设矛盾．
由，得．
所以．
与，即矛盾．
所以假设不成立．
所以．
所以．
所以一定是的完美子集．
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