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2024-2025学年北京师范大学附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则在下列区间上，单调递减的是( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在处取得极小值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.等比数列中，公比为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是( )
A. 是的极值点
B. 在区间上单调递增
C. 是在区间上的最小值点
D. 曲线在点处的切线斜率小于零
9.设数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
10.若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是( )
A. 对任意，
B. 当时，存在，使得
C. 可以是常数列
D. 当时，对任意，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.曲线的一条切线斜率为，则该切线的切点坐标为 ．
12.名学生和位老师站成一排合影，位老师不相邻的排法种数为 结果用数字作答
13.已知函数的导函数为，对任意，恒成立，则的一个取值可以是
14.数列满足：对任意，数列，，是公差为的等差数列，且数列也是等差数列．若，，，则 ；的前项和等于 ．
15.已知函数，，给出下列四个结论：
当时，有个极值点；
当时，存在极值点；
当时，有个零点；
当时，存在实数，使得有个零点．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在等差数列中，，．
求通项公式及其前项和的最小值；
若数列为等比数列，且，，求的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
18.本小题分
在数列中，，．
求的通项公式；
若数列满足对任意，，且，，设其前项和为．
(ⅰ)设数列的前项和为，求证：；
(ⅱ)若对任意，恒成立，写出实数的最小值．结论不要求证明
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间，
若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数的定义域为．
求的值；
求证：不存在极值点；
对任意给定的，求证：关于的方程恰有一个正根．
21.本小题分
已知数列，若存在，使得对任意，都有，则称为周期数列，其中满足条件的最小的称为的最小周期．设数列满足，其中，，，．
当，分别为，，，时，直接写出数列的最小周期；
当时，求证：对任意，的最小周期为定值；
当为大于的质数，时，设为的最小周期，求证：为整数．参考结论：若为大于的质数，则是的倍数
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，只要满足即可
14.
15.
16.设等差数列的公差为．
因为，所以，解得
所以．
所以．
因为，所以当或时取得最小值，
且最小值为．
由可得：，，
所以等比数列的公比为，
所以，所以等比数列的前项和．

17.函数的定义域为，
又
令，解得，令，则或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间．
由可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
则，解得，
所以，又，，
所以在区间上的最小值为．

18.因为，即，
所以，，，将这个等式累加，
得，
又，所以，
因为也满足，所以．
因为，所以为等差数列，
设公差为，又，，所以，
所以，则；
所以，
所以
；
(ⅱ)因为对任意，恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
所以，
所以，所以，则实数的最小值．

19.当时，则，，
所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为；
函数的定义域为，又，
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时当且仅当时取等号，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
综上可得：
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，．
由可知，当时在上单调递增，，
所以当，恒成立，符合题意；
当时，
若，即时在上单调递增，，
所以当，恒成立，符合题意；
若，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，不符合题意；
综上，当时，对任意的，恒成立，即实数的取值范围为．

20.要使函数有意义，须满足
若，解得，不符合题意，舍去；
若，解得，
因为函数的定义域为，
所以，解得；
由知，，
所以，
令，
所以
，
因为在上是单调递增的，
所以当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即，
但是不在函数的定义域内，
因此在定义域内没有零点，即不存在极值点；
由知在上单调递减，且，
所以，即在上单调递减，
当时，由洛必达法则可知，
当时，和都趋近于，
但是的增长速度比慢，所以，
综上可知，当时，，
所以当时，方程恰有一个正根．

21.对于
数列是的最小周期是；
对于
数列的最小周期是；
对于
数列是的最小周期是；
对于
数列是的最小周期是；
故数列的最小周期是．
当时，数列是由和递推关系定义的，
递推关系可表示为模运算：
该递推的周期与在模下的阶数有关，即最小的使得，
因为，，，．
因此，的阶数为，即，
推广到任意初始值，由于是质数，且，故与互质，
此时，数列的周期仅取决于的阶数，与初始值无关，
因此，无论取何值，数列的最小周期均为．
数列是由和递推关系定义的，
数列的递推关系为，
因为，故数列的通项为：
根据费马小定理，，因此是的约数，
设为的最小周期，即是在模下的阶数，即最小的满足，
在一个周期内，
由等比数列前项和可知，
因为是的阶数，所以，因此：
即整除，从而整除，
因此：，
所以，
因为，所以是整数．

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