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2024-2025 学年上海市宝山区世外学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量 1, 2 , (0 < < 2) = 0.6，则 ( > 2) =( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6
2.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 //
C.若 // ， ， ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
3.函数 ( ) = cos2 cos 是( )
A.偶函数，且最小值为 2 B.偶函数，且最大值为 2
C.周期函数，且在 0, π π2 上单调递增 D.非周期函数，且在 2 , π 上单调递减
4.若 , , ∈ ， ( ), ( ), ( )可以作为一个三角形的三条边长，则称函数 ( )是区间 上的“稳定函数”.
已知函数 ( ) = ln 1 2 + 是区间 2 , 上的“稳定函数”，则实数 的取值范围为( )
A. 2 + 1 , + ∞ B. 2
2 + 1 1 , + ∞ C. 4 + , + ∞ D. 4
2 + 1 , + ∞
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知复数 = 3 ，其中 为虚数单位，则 的虚部是
6.若 为正整数，则不等式 2 < 4 的解集是
7.函数 ( ) = (1 )的最大值为 ．
8.函数 ( ) = cos2 在 = 0 处的切线方程为
9.设 为等比数列 的前 项和，已知 5 = 6 2, 4 = 5 2，则公比 =
10.若( + )5的二项式展开式中 2的系数为 10，则 = ．
→
11.已知向量 = 1, 3 ，向量 在 1上的投影向量为 ，则 2
=
12.若直线 : + = 1 上有且仅有一点 ，使得| | = 2，则直线 被圆 : 2 + 2 = 16 截得的弦长为
13 .已知随机变量 ( = ) = ( +1) ( = 1,2, , 100)，则实数 的值为
14.将一枚质地均匀的硬币抛掷 3 次，设事件 为“第 1 次出现正面”，事件 为“第 3 次出现反面”，则
( ∣ ) = ．
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2 2
15.若 1为双曲线 : 4 5 = 1 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则| |
4
| |的取值范围是
2
16 .若对任意的正整数 ，函数 ( ) = 2 + ln + 2 均存在两个极值点 1、 2，且满足 2 1 =
( + 1) ，则数列 的前 项和 = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，若 2 6 3 = 9， 5 = 15．
(1)求数列 的通项公式 及前 项和 ；
(2)若 = 2 +1，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 14 分)
如图(1)，在 Rt 中，∠ = 90 , = 3, = 6, , 分别是 , 上的点，且 // , = 2，将
沿 折起到 1 的位置，使 1 ⊥ ，如图(2).设 点为 1 的中点．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 1 的距离．
19.(本小题 14 分)
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工
厂试生产的一批零件的合格品率为 94%;乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混
合放在一起，则合格品率为 97%．
(1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明：3 = ；
(2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差．
20.(本小题 14 分)
e
已知函数 ( ) = ．
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(1)当 > 0 时，求函数 ( )的最小值；
(2) ( ) = +1证明方程 2 有且仅有一正一负根：
(3)若关于 的不等式 ( ) ≥ ln + e 1 恒成立，求实数 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆Γ: 2 + 2 = 1( > > 0)的左 右焦点分别为 1 2．
(1)以 2为圆心的圆经过椭圆的左焦点 1和上顶点 ，求椭圆Γ的离心率；
(2)已知 = 5, = 4，设点 是椭圆Γ上一点，且位于 轴的上方，若 1 2是等腰三角形，求点 的坐标；
(3)已知 = 2, = 3，过点 π2且倾斜角为2的直线与椭圆Γ在 轴上方的交点记作 ，若动直线 也过点 2且
与椭圆Γ交于 两点(均不同于 )，是否存在定直线 0: = 0，使得动直线 与 0的交点 满足直线
的斜率总是成等差数列？若存在，求常数 0的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 1
6.{2,3}
7.12/0.5
8. = 1
9.2
10.1
11. 2
12.4 3
13.101100
14.12/0.5
15. 14 ,
1
5
16.3 2 2 +1 +2
17.(1)设公差为 ，则 2 6 3 = 2 1 + 10 1 2 = 1 + 8 = 9，
5 = 5 1 + 10 = 15，
解得 1 = = 1，故 = 1 + 1 = ；
= + ( 1) =
2+
2 2 ；
(2) = ( + 1) 2 ，
故 2 3 = 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 + + ( + 1) 2 ①，
则 2 2 3 4 = 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 + + ( + 1) 2 +1②，
+1
式子① ②得 = 4 + 22 + 23 + + 2 ( + 1) 2 +1 = 4 +
4 2
1 2 ( + 1) 2
+1
= 2 +1，
所以 +1 = 2 ．
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18.(1) ∵ ⊥ , // , ∴ ⊥ ， ⊥ ， 1 ⊥ ，
又 , 1 平面 1 ， ∩ 1 = ，∴ ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，∴ 1 ⊥ ，
又∵ 1 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
∴ 1 ⊥平面 ．
(2)如图：
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，
2
在 中，因 = 3, = 6， // , = 2，则 = ，即 6 = 3，得 = 4， = 2，
则在 Rt 1 中， 1 = 16 4 = 2 3，
则 1 0,0,2 3 , (0,0,0), ( 2,0,0)， (0,3,0), ( 2,2,0)，
∴ 1 = 0,3, 2 3 , 1 = 2,2, 2 3 ，
设平面 1 法向量为 = ( , , )，
1 = 0 3 2 3 = 0则
，可得： ,
1 = 0 2 + 2 2 3 = 0
取 = 2，可得 = 3, = 1，∴ = 1,2, 3 ，
∵ 1,0, 3 , ∴ = 1,3, 3 ，
2 2
则 = 2 2 = 2 ，
即点 到平面 21 的距离 2 ．
19.(1)设 事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”，
事件 为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”，
事件 为“混放在一起的某一个零件为合格品”，
则 ( ) = + , ( ) =

+ ，
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( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 94％ × + + 98 ×

％ + = 97％．

即 0.94 × + + 0.98 × + = 0.97．
得 0.94 + 0.98 = 0.97( + ).即 0.01 = 0.03 ，
所以 3 =
(2)由 = 3 1 1 3可知，零件来自甲工厂的概率为 + = +3 = 4，来自乙工厂的概率为 1 4 = 4．
1 1表示这 3 个零件中来自甲工厂的个数，则 服从参数为 = 3， = 4的二项分布，即 ～ (3, 4 )．
则 ( = ) = C 3(
1 ) (1 1 )3 4 4 ， = 0,1,2,3．
当 = 0 时， ( = 0) = C03(
1 0 1 3 0
4 ) (1 4 ) = 1 × 1 × (
3 )3 = 274 64；
1
当 = 1 时， ( = 1) = C13( 4 )
1(1 1 )3 14 = 3 ×
1 3 2 27
4 × ( 4 ) = 64；
当 = 2 时， ( = 2) = C2( 1 2 1 3 2 1 2 3 93 4 ) (1 4 ) = 3 × ( 4 ) × 4 = 64；
当 = 3 时， ( = 3) = C33(
1
4 )
3(1 1 )3 3 = 1 × ( 14 4 )
3 × 1 = 164．
所以 的分布列为：
0 1 2 3
27 27 9 1
64 64 64 64
1 3
则 ( ) = ，所以期望为 ( ) = 3 × 4 = 4，
方差为 ( ) = 3 × 14 × (1
1
4 ) = 3 ×
1 3 9
4 × 4 = 16．

20.(1) > 0， ′( ) = ( 1)e 2
当 ∈ (0,1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
( )min = (1) = e；
(2) +1 1方程 ( ) = 2 可化简为e
1 = 0，
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方程e 1 1 = 0
1
的根就是函数 ( ) = e 1 的零点，
( ) = e 1由解析式易知 1 在( ∞,0)，(0, + ∞)上单调递增，
3 3 1 1
因为 = e 22 3 < 0， ( 1) = e > 0,
所以函数 ( )在( ∞,0) ∈ 3有唯一零点 1，且 1 2 , 1 ，
1
因为 2 = e 3 < 0， (1) = e 2 > 0，所以函数 ( )在(0, + ∞)有唯一零点 2，所以有且仅有一正一
负根．
(3)设 ( ) = ( ) + ln (e 1)，
则当 > 0 时 ( ) ≥ 0 恒成立，
( 1)e ( 1)(e )
′( ) = 2 +
=
2
e
①由(1)得 ≥ e，e
≥ e
当 ≤ e 时，e ≥ e e ≥ 0
∈ (0,1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
( ) ≥ (1) = e (e 1) = 1 ≥ 0. ∴ ≤ 1
②当 > e 时， (1) = 1 < 0，这与 ( ) ≥ 0 矛盾，
综上， ≤ 1．
所以实数 的取值范围( ∞,1]．
21.(1) 1由题意得 2 + 2 = 2 即 = 2 ，所以离心率 = = 2．
2 2
(2) 由题意得椭圆 : 25 + 16 = 1
①当 1 = 2 时，由对称性得 (0,4)．
②当 1 = 1 2 时， 1 = 1 2 = 6，故 2 = 2 1 = 4，设 ( , )，
( + 3)2 + 2 = 36 2 + 6 + 2 = 27
由 1( 3,0), 2( 3,0)得 2 2 2 2 ,( 3) + = 16 6 + = 7
两式作差得 = 53，
8 2 5 8 2
代入椭圆方程，得 = 3 (负舍)，故 3 , 3
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5 8 2
③当 2 = 1 2 时，根据椭圆对称性可知 3 , 3 ．
2 2(3) 3由题意得椭圆Γ: 4 + 3 = 1, 1( 1,0), 2(1,0), 1, 2 ．
设直线 : = ( 1)，
= ( 1)
由 2 2 得 4 2 + 3 2 8 2 + 4 2 12 = 0．
4 + 3 = 1
2
1 + 2 =
8
2
设 , , , ，则 4 +31 1 2 2 2 ,
1 2 =
4 12
4 2+3
3 3 3 31
+ = 2
2 2 1 1 2 2 1 2
1 1
+ 2 1
= +1 1 2 1
4 2 12 2
2 1 2 2 +
3 1+ 2 +2 +3 2 2 2 +
3 8 +2 +3
= 2 = 4 +3 2 4 2+3 + +1 2 2 = 2 1，1 2 1 2 4 12 8 2 2 +14 +3 4 +3
3 3
= 0
2 0 1 2 3
= = ，0 1 0 1 2 0 1
由 2 1 = 2 3 ，得 0 = 4．0 1
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