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6.2.3 向量的数乘运算
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义；
2.理解两个平面向量共线的含义；
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
回顾1 向量的加法运算的法则有哪些？向量加法的运算律有哪些？
O
A
B
C
????????=????????+????????
?
起点相同，对角为和
????????=????????+????????
?
首尾相连首尾连
????+????= ????+????
?
????+????+????=????+????+????
?
向量加法满足交换律和结合律
回顾2 向量的减法是如何描述的？它的几何意义是怎样的？
向量的减法：?????????=????+(?????)
?
自然语言：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
首同尾连向被减：????????=?????????0????
?
即?????????可以表示为从向量????的终点指向向量????的终点的向量
这就是向量减法的几何意义
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1.向量的加法运算：
①三角形法则：首尾相接，首指向尾
②平行四边形法则：起点相同，对角为和
2.向量的减法运算：共起点，连终点，指被减
思考：向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？
问题1 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出????+????+????和?????+?????+?????，并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化?
这些变化与那些因素有关?
?
一、向量的数乘运算及其几何意义
B
C
O
A
如图，?????????=????????+????????+????????=????+????+?????.
类比数的乘法，我们把 ????+????+????记作 3?????，即?????????=3????.
显然3????的方向与????的方向相同，
3???? 的长度是????的长度的3倍，即3????=3????.
?
N
M
Q
P
类似的，?????????=????????+????????+????????=?????+?????+?????.
我们把?????+?????+?????记作 ?3?????，即?????????=?3????.
显然3????的方向与????的方向相反，
?3???? 的长度是????的长度的3倍，即?3????=3????.
?
一般地，我们规定实数????与向量????的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作?????????.
?
长度： ????????=????????
方向：当????>0时，????????的方向与????的方向相同；
当????<0时， ????????的方向与????的方向相反；
当????=0时， ????????=0
?
注：1.向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由????与????决定；
2.实数和向量可以相乘，但不能相加减
?
问题2 向量数乘运算的几何意义是什么?
????
?
????????
?
????????
?
因为向量数乘的结果仍然是向量；
所得的向量的方向由????与????决定；
?
如图是????????把向量????沿????的方向或????的反方向伸长或压缩????倍.
?
????
?
????????
?
????????
?
（1）当????>0时，????????的方向与????的方向相同；
（2）当????<0时， ????????的方向与????的方向相反；
（3）当????=0时， ????????=0（若????=0， ????????=0也成立）
?
相反向量： ?1????=?????；
零向量： ????=0或????=0? ????????=0
?
相反向量与零向量的另一种解释方式
问题3 数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？
设????，????是实数，那么有
(1)????????????=????????????
(2)????+????????=????????+????????
(3)????(????+????)=????????+????????
?
二、数乘运算的运算律及其线性运算
向量数乘的运算律：
设????，????是实数，那么有
(1)结合律：????????????=????????????
(2)分配律：①????+????????=????????+????????
②????(????+????)=????????+????????
?
特别地，我们有(?????)????=?????????=????(?????)
????(?????????)=?????????????????
?
向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
向量线性运算的结果仍是向量.
推广：对于任意向量????,????,以及对于任意实数????，????1，????2，恒有????（????1????+????2????）=????????1????+????????2????）
?
例5：计算（1）(?3)×4????
（2）3(????+????)?2(?????????)?????
（3）(2????+3?????????)?(3?????2????+????)
?
解：1原式=?3×4????=?12????
?
2原式=3????+3?????2????+2?????????= 5????
?
3原式=2????+3??????????3????+2?????????=?????+5?????2????
?
例6：如图，平行四边形?????????????????的两条对角线相交于点M，且????????=????,????????=???? ，
用????，????表示????????，????????，????????和????????.
?
????
?
????
?
A
B
C
D
M
向量的拆拆凑凑
解：在????????????????中， ????????=????????+????????=????+????,????????=?????????????????=?????????
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
????????=12????????=?12????????=?12(????????+????????)=?12?????12????
????????=12????????=12(?????????????????)=12?????12????
????????=12????????=12????????=12(????????+????????)=12????+12????
????????=12????????=12(?????????????????)=12?????12????
?
思考2：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
向量的数乘：实数????与向量????的积是一个向量，记作?????????.
?
（1）当????>0时，????????的方向与????的方向相同；
（2）当????<0时， ????????的方向与????的方向相反；
（3）当????=0时， ????????=0（若????=0， ????????=0也成立）
?
????????与????这两个是共线的
?
三、平面向量共线定理
实数与向量的积与原向量共线
????????与????这两个是共线的
?
事实上，对于向量????（ ?????≠ 0）， ?????，如果有一个实数????，使????=????????，那么由向量数乘的定义可知????与????共线．
反过来，已知向量????与????共线，且向量????的长度是向量????的长度的????倍，即 ????=????????，那么当????与????同方向时，有????=?????????；当????与????反方向时，有????=??????????
?
向量共线定理：
向量????（ ?????≠ 0）与??????共线的充要条件是：存在唯一一个实数????，使????=????????
?
根据这一定理，设非零向量????位于直线????上，那么对于直线????上的任意一个向量?????， 都存在唯一的一个实数????，使????=?????????．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．
?
例7.如图，已知任意两个非零向量????，?????，试作向量????????=????+????, ????????=????+2????, ????????=????+3???? ,猜想????，????，????三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
?
分别作向量????????, ????????, ????????，过点????，????作直线???????? 观察发现，不论向量????，????怎样变化，点????始终在直线????????上，猜想????，????，????三点共线．
事实上，因为
????????=???????????????????= ????+2?????????+????= ?????;
????????=???????????????????= ????+3?????????+????=2?????
所以，????????=2????????，
因此，????，????，????三点共线，
?
例8.如图,已知????，?????是两个不共线的向量??????????????，12?????32????共线，求实数????的值.
?
由????，????不共线，易知12?????32????为非零向量.
由向量??????????????，12?????32????共线可知，
存在实数????，使得?????????????=????12?????32????,即????+12????????=32????+1????.
由????，????不共线，必有????+12????=32????+1=0,
否则，不妨设 ????+12????≠0，则????=32????+1????+12????????
由两个向量共线的充要条件可知， ????，????会共线，与已知矛盾.
由????+12????=032????+1=0，解得????=13
因此，当向量??????????????，12?????32????共线时， ????=13
?
（1）向量的数乘运算及其几何意义
（2）数乘的运算律与向量的线性运算的概念
（3）共线向量定理

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