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6.2.1 向量的加法运算
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题.
3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算．
数
运算及运算律
整数
整数的运算及运算律
指数
对数
指数的运算及运算律
对数的运算及运算律
2+3
2－3=2+(－3)
2×4=2+2+2+2
减法
乘法
加法
人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.
向量加法
向量减法
向量数乘运算
混合运算
类比
数
运算律
应用
数的运算法则
思考：物理中有没有与向量加法相关的背景？
应用
向量
向量的运算法则
运算律
位移的合成
A
B
C
A
B
C
问题1：我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．
能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
物理知识告诉我们，小华位移????????, ????????的结果，与小明从点????直接到点????的位移????????结果相同．因此，位移????????可以看作位移????????与????????合成的．数的加法启发我们，从运算 的角度看， ????????可以看作????????与????????的和，即位移的合成可以看作向量的加法．
?
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则
位移的合成
作法：在平面内任取一点A
①向量加法的三角形法则：
首尾相接，和向量由起点指向终点.
注意
1.两向量的和仍然是一个向量
2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
对与零向量与任意向量????，规定????+0=0+????=????
?
O
A
B
C
力的合成
问题2：如图，在光滑的平面上，汽车同时受到两个外力????1与????2的作用，你能作出这个物体所受的合力????吗？
?
O
A
B
C
C
O
A
B
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
我们知道，合力????在以????????、????????为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长．从运算的角度看， ????可以看作????1与????2的和，即力的合成可以看作向量的加法
?
力的合成
向量的加法运算法则
作法：在平面内任取一点A
②向量加法的平行四边形法则：
同起点，和向量由起点指向对角线端点
适用于不共线的向量求和.
对与零向量与任意向量????
规定????+0=0+????=????
?
②向量加法的平行四边形法则：
同起点，和向量由起点指向对角线端点
适用于不共线的向量求和.
首尾相接，和向量由起点指向终点.
①向量加法的三角形法则：
适用于任意非零向量求和.
问题3：向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？
本质上一致，平行四边形法则中运用了相等向量的平移。
向量是可以平移的
{8799B23B-EC83-4686-B30A-512413B5E67A}物理
位移的合成
力的合成
图形
法则
口诀
联系
三角形法则
平行四边形法则
首尾相连，首尾连
共起点，连对角
两法则本质是一致的，只是表现形式不同
规定：
思考：使用向量加法的法则的具体注意事项有哪些？
1.对与零向量与任意向量????，规定????+0=0+????=????
?
2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型
3. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，
平行四边形法则只适用于两个不共线向量求和
4.两向量不共线时，三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的
5.作三个或三个以上向量求和时，三角形法则更简单
例1：如图，已知向量 ， ，求作向量 .
A
B
C
B
A
O
C
法一：三角形法则
法二：平行四边形法则
变式：当向量 ， 是共线向量时， 又如何作出？
你能发现 ， ， 之间的关系吗？请分组讨论.
A
B
C
A
B
C
B
A
C
你能发现 ， ， 之间的关系吗？请分组讨论.
向量三角不等式
你能发现 ， ， 之间的关系吗？请分组讨论.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}向量关系
， 共线
， 不共线
同向
反向
模长关系
几何关系
????+????≤????+????，当且仅当????，????同向时等号成立
?
问题4：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
????+????= ????+???? ？
?
????+????=????????+????????=????????
?
????+????=????????+????????=????????
?
????+????= ????+????
?
????+????+????=????+????+???? ?
?
????+????+????=????????+????????+????????=????????+ ????????=????????
?
????+????+????=????????+????????+????????=????????+ ????????=????????
?
????+????+????=????+????+????
?
向量加法满足交换律和结合律
探索规律：
规律总结：n个首尾相接的向量相加，其和向量是
首向量的起点指向末向量的终点(三角形法则的推广)
多边形法则
[练习3]求下列向量的和向量
首尾顺次相连，起点指向终点
A
B
C
D
例2.如图，在平行四边形?????????????????中，????是????????和????????的中点
（1）????????+ ????????=_____;
（2）????????+ ????????+????????=_____;
（3）????????+ ????????+????????=_____;
（4）????????+ ????????+????????=_____.
?
应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序
意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
????????
?
????????
?
????????
?
0
?
1
结合律
交换律
两个法则
一不等式
多种思想
两运算律
三角形法则, 平行四边形法则
交换律， 结合律
数形结合，分类讨论，类比

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