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6.2.4 课时1 向量数量积概念
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会计算平面向量的数量积.　
情境1：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中力????对小车所做的功是？
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前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力????的作用下产生位移????，那么力????所做的功????=|????||????|???????????? ????，其中????是????与????的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
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因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念.
已知两个非零向量????，????(如图)，????是平面上的任意一点，作????????=????，????????=????，则∠????????????=????(0≤????≤????)叫做向量????与????的夹角.
显然，当????=0时，????与????同向；
当????=????时，????与????反向.
如果????与????的夹角是????2，我们说????与????垂直，记作????⊥????.
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????，????的夹角记作.
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已知两个非零向量????与????，它们的夹角为????，我们把数量|????||????|????????????????叫做向量????与????的数量积(或内积)，记作?????????，即?????????=|????||????|????????????????.
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规定：零向量与任一向量的数量积为0.
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
注：(1)?????????是两个向量的数量积，书写时要严格区分.符号“?”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(2)?????????是一个实数，而不是向量.
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例9.已知|????|=5，|????|=4，????与????的夹角????=2????3，求?????????.
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解：?????????=|????|||????|????????????????
=5×4×????????????2????3
=5×4×(?12)
=?10.
?
例10.设|????|=12，|????|=9，?????????=?542，求????与????的夹角????.
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解：由?????????=|????|||????|????????????????，得
????????????????=?????????|????|||????|=?54212×9=?22.
因为????∈[0，????]，所以????=3????4.
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如图1，设????，????是两个非零向量，????????=????，????????=????，我们考虑如下的变换：过????????的起点????和终点????，分别作????????所在直线的垂线，垂足分别为????1，????1，得到????1????1，我们称上述变换为向量????向向量????投影，????1????1叫做向量????在向量????上的投影向量.(与????平行的向量)
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图1
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图2
如图2，我们可以在平面内任取一点????，作????????=????，????????=????.过点????作直线????????的垂线，垂足为????1，则????????1就是向量????在向量????上的投影向量.
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思考1：如图，设与????方向相同的单位向量为????，????与????的夹角为????，那么????????1与????，????，????之间有怎样的关系？
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M
????1
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图1
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显然，????????1与????共线，于是????????1=????????.
下面我们探究????与????，????的关系，进而给出????????1的明确表达式.我们分????为锐角、直角、钝角以及????=0，????=????等情况进行讨论.
当????为锐角(如图1)时，????????1与????方向相同，????=|????????1|=|????|???????????? ????，
所以????????1=|????????1|????=|????|???????????? ???? ????；
?
当????为直角(如图2)时，????=0，所以????????1=????=|????|???????????? ????2 ????；
当????为钝角(如图3)时，????????1与????方向相反，
所以????=?|????????1|=?|????|???????????? ∠????????????1=?|????|????????????(?????????)=|????|???????????? ???? ，
即????????1=|????|???????????? ????????.
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图2
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图3
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当????=0时，????=|????|，所以????????1=|????|????=|????|???????????? 0 ????；
当????=????时，????=?|????|，所以????????1=?|????|????=?|????|???????????? ???? ????.
从上面的讨论可知，对于任意的????∈[0，????]，都有????????1=|????|???????????? ???? ????.
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思考2：从上面的探究我们看到，两个非零向量????与????相互平行或垂直时，向量????在向量????上的投影向量具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？
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由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质.
设????，????是非零向量，它们的夹角是????，????是与????方向相同的单位向量，则
(1)?????????=?????????=|????|???????????? ????.
(2)????⊥??????????????=0.
(3)当????与????同向时，?????????=|????||????|；当????与????反向时，?????????=?|????||????|.
特别地，?????????=|????|2或|????|=?????????.
此外，由|???????????? ????|≤1还可以得到
(4)|?????????|≤|????||????|.
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思考3：如果?????????=0，是否有????=????，或????=????？
不一定，还有可能????=????2.
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注：?????????常常记作????2.
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辨析：判断正误.
1.两个向量的数量积是一个向量. ( )
2.向量????在向量????上的投影向量一定与????共线. ( )
3.若?????????<0，则????与????的夹角为钝角. ( )
4.若????≠????，则对任一非零向量????都有?????????≠0. ( )
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×
×
×
√
题型一：向量数量积的基本计算
例1.已知|????|=6，|????|=5，分别根据下列条件计算????与????的数量积：
(1)????//????；(2)????⊥????；(3)????与????的夹角为60°.
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解：设????与????的夹角为????.
(1)当????//????时，若????与????同向，则????=0，?????????=|????||????|???????????? 0=6×5=30；
若????与????反向，则????=180°，?????????=|????||????|???????????? 180°=6×5×(?1)=?30.
(2)当????⊥????时，????与????的夹角为90°，?????????=|????||????|???????????? 90°=0.
(3)当????与????的夹角为60°时，?????????=|????||????|???????????? 60°=6×5×12=15.
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1.已知正三角形????????????的边长为1，求：
(1)?????????????????；(2)?????????????????；(3)?????????????????.
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解：(1)∵????????与????????的夹角为60°，
∴?????????????????=|????????||????????|???????????? 60°=1×1×12=12.
(2)∵????????与????????的夹角为120°，
∴?????????????????=|????????||????????|???????????? 120°=1×1×(?12)=?12.
(3)∵????????与????????的夹角为60°，
∴?????????????????=|????????||????????|???????????? 60°=1×1×12=12.
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方法技巧：
利用定义法求平面向量的数量积，关键是找到两向量的模以及夹角，直接利用公式?????????=|????||????|???????????? ????求解.
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题型二：投影向量的计算
例2.在等腰三角形????????????中，????????=????????=2，∠????????????=30°，????为????????的中点.
(1)求????????在????????上的投影向量；(2)求????????在????????上的投影向量的长度.
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解：如图，连接????????.因为?????????????为等腰三角形，且????为????????的中点，所以????????⊥????????.
又????????=2，∠????????????=30°，所以????????=????????=????????×???????????? 30°=3.
由图可知????????与????????的夹角为∠????????????的补角，
所以????????与????????的夹角为150°.
(1)????????在????????上的投影向量为|????????|???????????? 150°?????????|????????|=2×(?32)×????????3=?????????.
(2)????????在????????上的投影向量为|????????||???????????? 150°|=3×32=32.
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????
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????
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????
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????
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解：由已知得向量????在向量????上的投影向量的模为|????|???????????? 45°=3× 22= 322 .
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2.已知|????|=3，|????|=5，????与????的夹角为45°，则向量????在向量????上的投影向量的模为（ ）.
A. 322 B.3 C.4 D.5
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A
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清楚是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键，确定两向量的夹角时，一定要注意“共起点”.
题型三：平面向量的夹角
例3.已知|????|=|????|=2，且????与????的夹角为60°，则????+????与????的夹角是多少？?????????与????的夹角又是多少？
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解：如图所示，作????????=????，????????=????，且∠????????????=60°.
以????????，????????为邻边作平行四边形????????????????，则????????=????+????，????????=?????????.
因为|????|=|????|=2，所以平行四边形????????????????是菱形，
又∠????????????=60°，
所以????????与????????的夹角为30°，????????与????????的夹角为60°，
即????+????与????的夹角是30°，?????????与????的夹角是60°.
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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3.在?????????????中，∠????=90°，????????=12????????，则????????与????????的夹角是（ ）.
A.30° B.60° C.120° D.150°
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解：如图，作向量????????=????????，则∠????????????是????????与????????的夹角，在?????????????中，因为∠????????????=90°，????????=12????????，所以∠????????????=60°，所以∠????????????=120°，即????????与????????的夹角是120°.
?
A
?
D
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C
?
B
?
C
(1)求两个向量的夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，????与????的夹角为????，????1????与????2????(????1，????2是非零常数)的夹角为????0，当????1????2<0时，????0=180°?????；当????1????2>0时，????0=????.
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向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量????，????(如图)，????是平面上的任意一点，作????????=????，????????=????，则∠????????????=????(0≤????≤????)叫做向量????与????的夹角.
(2)当????=0时，????与????同向；当????=????时，????与????反向.
如果????与????的夹角是????2，我们说????与????垂直，记作????⊥????.
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向量的数量积及其几何意义
(1)定义：已知两个非零向量????与????，它们的夹角为????，我们把数量|????||????|????????????????叫做向量????与????的数量积(或内积)，记作?????????，即?????????=|????||????|????????????????.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)投影：设????，????是两个非零向量，????????=????，????????=????，我们考虑如下的变换：过????????的起点????和终点????，分别作????????所在直线的垂线，垂足分别为????1，????1，得到????1????1，我们称上述变换为向量????向向量????投影，????1????1叫做向量????在向量????上的投影向量.
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向量数量积的性质
设????，????是非零向量，它们的夹角是????，????是与????方向相同的单位向量，则
(1)?????????=?????????=|????|???????????? ????.
(2)????⊥??????????????=0.
(3)当????与????同向时，?????????=|????||????|；当????与????反向时，?????????=?|????||????|.
特别地，?????????=|????|2或|????|=?????????.
此外，由|???????????? ????|≤1还可以得到
(4)|?????????|≤|????||????|.

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