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6.3.1 平面向量基本定理
1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.
2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力.
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？
如图(1)，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点，作，，.将按的方向分解，你有什么发现？
图(1)
图(2)
如图(3)，过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点则由与共线，与共线可得，存在实数，，使得，所以.也就是说，与，都不共线的向量都可以表示成的形式.
当是与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式；当是零向量时，同样可以表示成的形式.(为什么？)
图(3)
上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果还可以表示成的形式，那么可得由此式可以推出全为0(假设不全为0，不妨假设，则.由此可得，共线.这与已知，不共线矛盾)，即也就是说，有且只有一对实数，使.
综上，我们得到如下定理：
平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使.
若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便.
辨析1：判断正误.
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ）
(2)零向量可以作为基底. （ ）
(3)若，是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ）
辨析2：若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）.
A.， B.，
C.， D.，
D
√
×
×
练1.如图，，不共线，且，用，表示.
解：因为，
所以
思考1：观察，你有什么发现？
若三点共线，为直线外一点存在实数，使且.
练2.如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形.
证明：如图，设，，则，，于是.
因为，所以
因为，，所以
因此.
于是是直角三角形.
题型一：对平面向量基本定理的理解
例1.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）.
A.与 B.与 C.与 D.与
解：结合图形可知，与不共线，与不共线，
∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底.
AC
1.设向量，是平面内的一组基底，若向量与共线，则（ ）.
A. B. C. D.
解：因为与共线，所以存在，使得，
即.
故，，解得.
故选B.
B
方法技巧：
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
题型二：用基底表示向量
例2.(多选)分别为的边上的中点，且，，则下列结论中正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
解：如图，，A正确；，B正确；，，C正确；，D不正确.
ABC
2.如图所示，在□中，点分别为边上的中点，与交于点.若，，试用表示向量，.
解：
方法技巧：
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(1)依据：
①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义.
用基底表示向量的依据和两个“模型”
(2)模型：
模
型
一
条件
结论
多个向量首尾相接，并且最后一个向量的终点与第一个向量的起点重合
这些向量的和为零向量，其中任意一个向量可用其他向量表示
模
型
二
条件
结论
中，为中点
题型三：平面向量基本定理的应用
例3.如图，在中，点是的中点，点在上，且，与相交于点，求与的值.
解：设，，则，.∵和分别共线，∴存在实数使得∴而，由平面向量基本定理，得解得∴∴
3.平面内有一个和一点(如图)，线段的中点分别为的中点分别为，设，，.
(1)试用，，表示向量；
解(1)：∵
∴
同理：，.






3.平面内有一个和一点(如图)，线段的中点分别为的中点分别为，设，，.
(2)求证：线段，，交于一点且互相平分.
证明(2)：设线段的中点为，
则
设，的中点分别为，
同理可求得，
∴，即，，交于一点且互相平分.






方法技巧：
用向量解决平面几何问题的一般步骤
(1)选取不共线的两个平面向量为基底；
(2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题；
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解；
(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
平面向量基本定理
(1)定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使.
(2)基底
若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

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