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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
思考1：已知，，怎样用与的坐标表示呢？
因为，，
所以.
又
所以
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例10.若则是什么形状？证明你的猜想.
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下.
因为，
所以
于是.
因此，是直角三角形.
例11.设求及的夹角(精确到1°).
解：
因为
所以用计算器计算可得，
利用计算工具可得
例12.用向量方法证明两角差的余弦公式
解：如图，在平面直角内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，.则：
由向量数量积的坐标表示，有
设与的夹角为，则
所以
图1
图2
例12.用向量方法证明两角差的余弦公式
解：另一方面，由图1可知，
由图2可知，.于是
所以
于是，
图1
图2
题型一：向量数量积的坐标运算
1.(1)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上.若，则
解：以为坐标原点，为轴、为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.
可设，因为，所以，.
所以.
1.(2)已知与同向，，.
①求的坐标；②若，求及.
解：①设，则有
∴∴
②∵
∴
数量积坐标运算的技巧
(1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径“一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；而是利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算.
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积.
题型二：向量模的问题
2.(1)(2019全国卷)已知向量，则( ).
A. B.2 C. D.50
解：∵
∴
A
2.(2)已知向量，向量则的最大值为__________.
解：∵
∴
当且仅当时，取最大值.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
(2)坐标表示下的运算：
若，则，于是有.
题型三：向量的夹角和垂直问题
3.设平面上向量()，.
(1)求与的夹角；
解：由题意知，
则
∵，∴.
又，∴，即两向量的夹角为.
3.设平面上向量()，.
(2)求证：与垂直.
证明：∵
∴.
利用向量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积：利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模：利用计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值：
由公式求夹角余弦值.
(4)求角：由向量夹角的范围及求的值.
注：涉及非零向量垂直问题时，一般借助来解决.
通过本节课学习，你掌握到了什么？

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