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6.4.3 课时1 余弦定理
1.会用向量方法证明余弦定理并能够从余弦定理得到它的推论；
2.会用余弦定理解三角形；
3.运用余弦定理判断三角形的形状.
复习引入
上述判定定理表明给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的这些元素有怎样的数量关系？是否可以用向量的方法来研究这个问题呢？
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么表示的公式如何呢？
同理可得
文字语言
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
1. 余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
用途：三角形中已知两边及其夹角求出第三边.
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.
同理可得:
你能用其他方法证明余弦定理吗？
坐标法
余弦定理指出了三边和其中一个角之间的关系，那是否可以根据三边确定三角形的角呢？如何确定？
2. 余弦定理的推论：
用途：三角形中已知三边求出第三角.
勾股定理则指出了直角三角形中的三条边之间的关系，你能说说这勾股定理和余弦定理之间的关系吗？
余弦定理是勾股定理的推广；
勾股定理是余弦定理的特例；
辨析1：判断正误.
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形.（ ）
(2)在中，若，则一定为钝角三角形. （ ）
(3)在中，已知两边和其夹角时，不唯一. （ ）
辨析2：在中，已知，则等于（ ）.
A. B. C. D.
C
√
√
×
应用举例
所以
由余弦定理的推论，得
所以
利用计算器，可得
解：由余弦定理，得
所以c=3
所以
由余弦定理，得
进而
利用计算器可得
解：因为 ，且C为锐角
题型一：已知两边和一角解三角形
1.在中，(1)若，，，求及.
解(1)：由余弦定理，得:
=，∴
由
∵，
∴
1.在中，(2)若，，，求，.
解(2)：由余弦定理，得:
=，
∴即
由解得或
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.
题型二：已知三边解三角形
2.在中，已知，，，求.
解：根据余弦定理，得
∵∴.
又
∵∴.
∴.
∴，.
已知三角形的三边求角的基本步骤
求第一个角——先利用余弦定理的推论求一个角的余弦值，再判定此角的取值，求得第一个角(一般先求最小角)
求第二个角——继续用余弦定理求另一个角
求第三个角——最后用三角形内角和定理求出第三个角
题型三：三角形形状的判断
3.在中，已知且试确定的形状.
解：∵∴
而∴∴∴
又，
∴
即∴
又∴
故为等边三角形.
判断三角形形状的基本思路和两条思路
基本 思想 判断三角形的形状，要从“统一”入手，体现转化思想
两条 思路 化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式
化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式
梳理总结

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