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6.4.3 课时2 正弦定理
1.通过正弦定理的推导，掌握正弦定理及其常见变形；
2.能利用正弦定理求解三角形的边、角等问题.
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.
思考1：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：
在中，设的对边为，的对边为，求，，之间的定量关系.
如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在中，已知，求”的问题.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.
根据锐角三角函数，在中，有:
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立.观察发现，它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得：
又因为所以上式可以写成与它的对角的正弦的比相等的形式，即
c
思考2：对于锐角三角形和钝角三角形，关系式是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.我们希望获得中的边，，与它们所对角的正弦之间的关系式.在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.
思考3：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？
由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.
下面先研究锐角三角形的情形.
如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.
同理，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.
因此，有.
当 是钝角三角形时，不妨设为钝角(如图).过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.
所以.同理，有成立.
综上，我们得到下面的定理：
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： .
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理.事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁.你还能想到其他方法吗？
辨析：判断正误.
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ）
(2)正弦定理不适用于直角三角形.（ ）
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ）
(4)在中，（ ）
×
×
√
√
例7.在中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
由正弦定理，得：
例8.在中，已知，，，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：
因为，所以
于是或
(1)当时，
此时，
(2)当时，
此时，
注：由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
例8.在中，已知，，，解这个三角形.
题型一：已知两角及一边解三角形
1.(1)在中，，则等于（ ）.
A. B. C. D.
解(1)：因为，所以
因为根据正弦定理，
得故选A.
A
1.(2)在中，已知，，则
答案：.
解(2)：由正弦定理得，即，
解得
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如)，再根据上述思路求解.
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
2.在中，已知求.
解：∵ ，∴，解得.
又∵，，∴.∴，
，
∴.
已知两边及一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断出另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论.
题型三：三角形形状的判断
3.在中，若且试判断的形状.
解：(法一)根据正弦定理，得 .
∵∴
∴是直角，，
∴
∴.∵，∴
∴是等腰直角三角形.
解：(法二)根据正弦定理，得 .
∵∴
∴是直角，∵
∴
∴.又，∴
∴是等腰直角三角形.
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；②
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①为外接圆的半径)；②
1.正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
符号语言
2.正弦定理的常见变形
(1)(为外接圆的半径).
(2)(为外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即
(4).
(5),

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