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7.1 课时2 复数的几何意义
1.理解复数的几何意义；
2.掌握复平面的实轴、虚轴的概念；
3.理解复数的模，共轭复数的概念，并会用与求解相关问题.
1545年
卡尔丹《大衍术》中负数开方
1633年
笛卡尔提出“虚数”
1799年
韦塞尔第一次复数几何解释
1831年
高斯复数表达式
01
02
03
04
复数
发展史
已知
未知
实数
复数
问题：实数的几何意义？
实数
数轴上的点
(形)
(数)
一一对应
实数a的绝对值
A到原点O的距离
一一对应
问题：复数的一般形式是什么？
复数相等的充要条件是什么？
z=a+bi(a, b∈R)
实部
虚部
实部和虚部分别相等时，复数相等
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应
如z=3-2i 　　 (3,-2)
x
y
o
b
a
Z(a,b)
一一对应
一一对应
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面
x轴------实轴
y轴------虚轴
------复平面
思考：在复平面上，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？
x
y
0
Z(a,b)
a
b
z=a+bi
（1）实轴上的点表示实数；
（2）虚轴上的点除原点外
都表示纯虚数；
（3）各象限内的点表示实部
和虚部都不为零的虚数.
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
复数的几何意义
口答：在复平面上，下列各点对应哪个复数？
（1）原点（0,0）表示 ；
（2）实轴上的点（2,0）表示 ；
（3）虚轴上的点（0，-1）表示 ；
（4）点（-2，3）表示 .
实数0
实数2
纯虚数-i
复数-2+3i
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
表示复数的点所在象限的问题
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
转化
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于直线y=2x+4，求实数m允许的取值范围.
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴(m2+m-2) =2(m2+m-6)+4，
∴m=3或m=-2
x
y
O
Z:a+bi
a
b
复数z=a+bi
平面向量
一一对应
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见，常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数.
x
y
O
Z(a,b)
a
b
z=a+bi
复数的模
当b=0时，复数z=a+bi是一个实数a，
它的模等于|a|(a的绝对值).
|z|=|a+bi|
复数 z=a+bi的模就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
复数模的几何意义:
例2 设复数
（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；
（2）求复数的模，并比较它们的大小.
例3 设,在复平面内的点为,那么满足下列条件的点的集合是什么图形？
（1）
D
A
复数z=a+bi
平面向量
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
一一对应
1.复数的几何意义：
2.复数的模：
3.共轭复数：
类比
数形结合

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