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7.3 课时1 复数的三角表示式
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.
2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义.
3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
1.复数的辐角有怎样的特征？
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
2.你能根据复数的三角形式来解释 的几何意义吗？
本身可以用坐标平面 轴上的点 表示.而 表示把 轴上的点 绕原点逆时针转90度，就变为 轴上的点 .
3.任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？
辐角有无限多个值，这些值相差 的整数倍.
4.复数的辐角的主值有多少个值？
辐角的主值只有一个值，在 范围内.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）复数的辐角是唯一的.( )
×
（2） 是复数的三角形式.( )
×
（3） 是复数的三角形式.( )
×
（4）复数 的模是1，辐角的主值是 .( )
√
2.复数 的辐角的主值是( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 因为复数 ，所以该复数的辐角的主值是 .故选B.
3.复数 的三角形式为( ).
A. B.
C. D.
C
[解析] 复数 在复平面内所对应的点为 ，位于第二象限，
则 ， ，所以 ，即 .
所以 .故选C.
探究1 复数的三角表示式
我们知道 ，而复数的代数形式 ，由此联想 的三角表示式.
问题1：你能类比上述三角变换，推出复数的三角形式吗？
[答案] 能. ，
令 ， ， ，则 .
问题2：若角 的顶点在坐标原点，始边在 轴非负半轴上，
已知终边上一点 ，如何表示角 的三角函数？
[答案] 设 ，则 , , .
1.定义： 叫作复数 的三角表示式，简称三角形式，
< ，其中 ， 为复数 的辐角.
2.非零复数 辐角 的多值性：以 轴的非负半轴为始边，向量 所在
的射线（射线 ）为终边的角 叫作复数 的辐角.因此复数
的辐角是 .
一、复数的代数形式化为三角形式
例1 将复数 化成三角形式：
[解析] ，所以 ，
又该复数对应的点在第一象限，所以 ，
故 .
&1& 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（1）求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
方法总结：
1.下列复数是三角形式的是( ).
A. B.
C. D.
D
[解析] 选项A中， 与 之间用“-”连接，不是用“ ”连接；选项B中， 不符合 要求；选项C中， 与 用“ ”连接，但不是 的形式.故A，B，C均不是复数的三角形式.故选D.
2.复数 的三角形式为( ).
A. B.
C. D.
D
[解析] 因为 ，所以 ，又与 对应的点在第四象限，所以 ，故 .
二、复数的三角形式化为代数形式
例2 复数 化为代数形式为( ).
A. B.
C. D.
B
[解析] .
&2& 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法：复数的三角形式为 ，代数形式为 ，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即 ， .
方法总结：
复数 的代数形式为______.

[解析]


.
探究2 辐角的主值
问题1：我们知道复数 的辐角是 ，而三角函数是周期函数，且正弦函数、余弦函数的周期是 ，那么如何确定辐角的主值的取值范围呢？
[答案] 辐角的主值的取值范围为 .
问题2：终边相同的角有什么关系？
[答案] 终边相同的角相差 的整数倍.
情境设置
1.定义及表示：在 范围内的辐角 的值为辐角的主值，通常
记作 ，即 .
2.唯一性：复数 的辐角的主值是确定唯一的.
特别注意：
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差
的整数倍.
（2）复数0的辐角是任意的.
（3）当且仅当两个非零复数的模与辐角的主值分别相等时，两复数相等.
例3 （1）求复数 的辐角的主值；
（2）求复数 的辐角的主值.
[解析] （1）
,
所以 .
（2） ,
所以 .
先把所给复数写成复数的三角形式，然后写出辐角，进而写出辐角的主值.
求复数 的辐角的主值.
[解析] ，
.
方法总结：
巩固训练
1. 的辐角的主值为( ).
A. B. C. D.
C
[解析] ，辐角的主值为 .故选C.
2.下列复数中已用三角形式表示的是( ).
A. B.
C. D.
D
[解析] 复数的三角形式为 ，其满足的条件：① ；②加号连接；③ 在前， 在后；④ 前后一致，可取任意值.
3.复数 的三角形式为_ ________________.

[解析] ， ，
又因为 在复平面内对应的点位于第一象限，
所以 .
所以 .
4.设复数 满足 的辐角的主值为 ， 的模为 ，求复数 .
[解析] 设 . 由 ，得 ，
. ①
又 ，
②
由①②可得 ， .
.

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