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8.5 课时3 平面与平面平行
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
用符号表示：
a
b
α
简述为：线线平行 线面平行
直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的性质定理
用符号表示：
定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
简述为：线面平行 线线平行
α
m
β
l
a
b
（1）平行
（2）相交
α∥β
怎样判定平面与平面平行呢？
问题：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
一、平面与平面平行的判定定理
两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断.
思考：能否简化平面与平面平行的判定方法呢
如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行.
因为平面内有无数条直线，我们难以对所有直线逐一检验.
无限
有限
转 化
思考：能否将一个平面内任意直线都平行于另一个平面中的任意直线减少，得到更简便的方法呢
减少到一条直线可以吗？为什么？
思考：如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？
符号语言：
图形表示：
如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
关键：在一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
线//面 面//面
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
α
β
a
b
推论:
p
a’
b’
练习1：如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D.
∴四边形AB C1D1为平行四边形.
又∵ D1A 平面 BC1D， C1B 平面BC1D，
∴ D1A ∥平面 BC1D.
同理 D1 B1 ∥平面 BC1D.
∴D1A ∥C1B.
证明：∵ ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴ C1D1//A1B1，AB//A1B1.
∴ C1D1 //AB.
=
=
=
又∵ D1A ∩ D1 B1 =D1，
∴平面AB1D1∥平面BC1D.
练习2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点. 求证：平面AMN // 平面EFDB.
N
M
E
F
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
证明　∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
二、平面与平面平行性质
问题 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？从哪些角度考虑呢？
思考1 一个平面内的直线是否平行于另一个平面 　
a
b
平行或异面
面//面 线//面
思考2 分别在两个平面内的两条直线具有什么位置关系
思考 线线平行是一种重要的关系，分别位于两个平行平面的直线中，什么情况下这两条直线平行呢？
结论: 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行.
两个平面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．
符号表示：
面//面 线//线
a
b
γ
β
α
α∥β
α ∩γ=a
β ∩γ=b
a ∥ b
作用：判定直线与直线平行的依据.
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
常用的面面平行的其他几个性质
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
证明　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
解　取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E为棱的中点，
∴ME=A1B1，
又A1B1=C1D1，
∴ME=C1D1，∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM=C1F，∴F为棱CC1的中点.
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明　过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
又B1C1∥BC，∴FG∥BC，
又FG 平面ABCD，BC 平面ABCD，∴FG∥平面ABCD，
又EG∥AB且EG 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EG∥平面ABCD，
∵FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD.
∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
反思感悟　(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行.
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用.
跟踪训练3　如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.

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