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2024-2025 学年内蒙古自治区锡林郭勒盟太仆寺旗宝昌第一中学高二
下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ( | ) = 47， ( ) =
7
9，则 ( ) =( )
A. 4 B. 4 C. 1 287 9 3 D. 49
2.C2 39 + C9 =( )
A. 120 B. 360 C. 720 D. 840
3.5 名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数
是( )
A. 6 B. 120 C. 125 D. 243
4.已知(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 22 + + 55 ，则 1 + 2 + + 5 =( )
A. 80 B. 81 C. 242 D. 243
5.已知随机变量 ( , )，若 ( ) = 4, = 2 + 3, ( ) = 3.2，则下列结论正确的是( )
A. = 4 B. ( = 2) = 32625 C. = 0.6 D. = 6
6. (1 )4的展开式中 4的系数为( )
A. 2 B. 6 C. 4 D. 4
7.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量 ～ (1000,2500)(单位：个)，估计 300 天内小笼
包的销售量约在 950 到 1050 个的天数大约是( )(若随机变量 ～ , 2 ，则 ( ≤ ≤ + ) ≈
0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973)
A. 205 B. 246 C. 270 D. 275
8.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 2 + 2 在 = 1 处取得极．大．值．，则实数 的取值为( )
A. 2 或 1 B. 2 或 1 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 10 件产品中有 4 件次品和 6 件正品．现从中随机抽取 3 件产品，记取得的次品数为随机变量 ，则下
列结论正确的是( )
A.若是有放回的抽取，则 ( = 2) = 36125
B. 36若是无放回的抽取，则 ( = 2) = 125
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C. 6若是有放回的抽取， 的数学期望 ( ) = 5
D. 6若是无放回的抽取， 的数学期望 ( ) = 5
10.若函数 = ( )，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A. ( )在 = 1 与 = 1 处的瞬时增长率相同
B. ( )在[ 1,1]上不单调
C. = ( )可能为奇函数
D. (1.2) + (1) > 2 (1.1)
11.围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文
明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一
1
方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为3，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决
赛的比赛总场数为 ，则下列结论正确的是( )
A. ≤ 4 1且甲获得冠军的概率是27
B. 8有连续三场比赛都是乙胜的概率是72
C. ( = 4) = 1027
D.若甲赢了第一场，则乙仍有超过 50％的可能性获得冠军
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：
第 天 1 2 3 4
最低气温 (单位 C) 14 17 15 14
由最小二乘法得到经验回归方程 = 0.2 + ，则 的值为 ．
13.为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人
3 1
数之比为 5: 4，其中甲班女生占5，乙班女生占2，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ．
14.下列说法中正确的是 ．
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1 5
①设随机变量 服从二项分布 6, 2 ，则 ( = 3) = 16
②小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 =“4 个人去的景点互不相同”，
2
事件 =“小赵独自去一个景点”，则 ( | ) = 9；
③ (2 + 3) = 2 ( ) + 3, (2 + 3) = 2 ( ) + 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求函数 ( ) = 2 ln 的单调区间．
16.(本小题 15 分)
盒中有四张卡片，分别标有数字 1,2,3,4，现从盒中任取两张卡片．
(1)求两张卡片的数字之积为偶数的概率；
(2)取后放回，重复操作 次，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为 , , ，求证： ( ) + ( )
( ) = ．
17.(本小题 15 分)
某人工智能公司从 2018 至 2024 年的利润情况如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
利润 (单位：亿元) 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)根据表中的数据，推断变量 与 之间是否线性相关．计算 与 之间的相关系数(精确到 0.01)，并推断它
们的相关程度；
(2)求出 关于 的经验回归方程，并预测该人工智能公司 2025 年的利润；
参考数据：7 =1 = 14,
7 2 7 2
=1 = 7.08, =1 = 28, 28 × 7.08 ≈ 14.08

参考公式：对于一组数据 , , , , , ，①相关系数为： = =1 1 1 2 2 ;
2 =1

=1 2
= + =

=1 ②经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 2 ， = =1
18.(本小题 17 分)
+ 1

在 4 的展开式中，前 3 项的系数成等差数列．2
(1)求展开式中 的一次项；
(2)证明展开式中没有常数项；
(3)求展开式中所有的有理项．
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19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 2 ln ( ∈ )．
(1)当 = 2 时，
①讨论函数 = ( )的单调性；
( )+ ( )
②若 ( )存在两个极值点 , ，且 + ≥ 4，求 的取值范围；
(2)当 = 2且 ≠ 0 时，若相异的 1, 2满足 1 =
+
2 ，求证： ′ 1 22 > 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15.5
13.59
14.①②
15.解：函数 ( )的定义域为(0, + ∞)．
′( ) = 2 1 = ( 2 1)( 2 +1) ．
因为 > 0，所以 2 + 1 > 0．
由 ′( ) > 0 2 2，解得 > 2 ；由 ′( ) < 0，解得 0 < < 2
( ) 2 , + ∞ 0, 2所以函数 的单调递增区间为 2 ，单调递减区间为 2 ．
16.解：(1)记“两张卡片的数字之积为偶数”为事件 ，则事件 的对立事件为两张卡片均是奇数，
2
所以 ( ) = 1 C2 = 5
C24 6
．
(2)每次操作，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数分别为事件 , , ，
2 1 1
所以 ( ) = ( ) = 1 C2 = 5， ( ) = C2C22 6 2 =
2
C4 C4 3
，
5 5 2
所以 ～ , 6 ， ～ , 6 ， ～ , 3 ，
故 ( ) = ( ) = 56
2
， ( ) = 3 ，
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所以 ( ) + ( ) ( ) = 2 × 5 26 3 = ．
17.解：(1)由题设，易知 与 线性相关，且 = 4, = 4.3，
=
7
=1 = 1428×7.08 =
14 ≈ 0.99，
7 2 7 2 14.08 =1 =1
由于 ≈ 0.99，可以推断变量 与 成正线性相关且相关程度很强．
7
(2)由题设， = =1 147 2 = 28 = 0.5， =
= 4.3 0.5 × 4 = 2.3，
=1
所以 = 0.5 + 2.3，因此 关于 的回归方程为 = 0.5 + 2.3，
当 = 8 时， = 0.5 × 8 + 2.3 = 6.3，即预测该人工智能公司 2025 的利润为 6.3 亿元．
1 1 1 1 318.解：(1)设该二项式展开式通项为 +1，则 +1 = C 2 2
4 = C
1
2 2
4 ，
2C1 1
1
= C0 1
0 2
由题意可得： 2 2 + C
2 1 2
2 8 = 8 + = 1 或 = 8，
显然 = 1 不符题意，舍去，故 = 8．
1 3 4
令2 × 8 4 = 1 = 4
1 35
，即含 的一次项为：C48 2 = 8 ；
3
(2) (1) = C 1 4 4 3由 展开式通项为 +1 8 42 ，则 4 = 0，
所以 = 163不满足 ∈ N，所以展开式中没有常数项；
1 3(3)由(1) 3知二项式展开式通项 4 +1= C8 42 ，由题意知 4 4 ∈ Z, ∈ [0,8]，
= 0,4,8 = 4, = 35 , = 1令 得 21 5 8 9 256 为展开式中所有的有理项．
19.解：(1) = 2 时 ( ) = 2 + 2ln ( > 0)
2 2 2 +2
① ′( ) = 2 + =
设 ( ) = 2 2 + 2, Δ = 2 16
1° 2 2，当 ≤ 4 时，因为 2 + ≥ 2 2 = 4(当且仅当 = 1 时取等)，所以
′( ) ≥ 0，
即 ( )在(0, + ∞)上单调递增
2 2
2°，当 > 4 时，Δ = 2 16 > 0 16 + 16，令 ( ) = 0 解得 1 = 4 , 2 = 4 ，
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所以
0, 2,11 1, 22 +∞
′( )
+ 0 0 +
( ) ↗ ↘ ↗
极大值 极小值
2 2
此时 ( ) 0, 16 + 16在 4 和 4 , + ∞ 单调递增，
2 16 , +
2 16
在 4 4 单调递减；
+ =
②由①得此时 > 4 且设 1 = , 2 = ，由韦达定理得 2 ,
= 1
( )+ ( ) 2+ 2= ( + )+2 ln +ln 所以 + +
( + )2 2 ( + )+ 2ln( )
= +
2 4 4
= + + = 2 = 2 +
( )+ ( ) 4
因为 + ≥ 4，所以 2+ ≥ 4，解得 4 2 2 ≤ ≤ 4 + 2 2，
因此 的取值范围是 4,4 + 2 2 ；
2
(2)由 = 2得 ( ) = 2 2ln ，即 ′( ) = 2 = (2 + )( ) ，
> 0 ′ 1+ 当 时，要证 2 > 0 ，即证 1+ 22 2 > 0，即证 1 > 2 2，
若 2 ≥ 2 ，则 1 > 2 2恒成立，下证 2 < 2 时 1 > 2 2．
当 ∈ (0, )， ′( ) < 0，所以 ( )在(0, )单调递减，
当 ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0，所以 ( )在( , + ∞)单调递增，
不妨设 0 < 1 < < 2 < 2 ，则有 2 2 < ，现要证 1 > 2 2，即证 1 < 2 2 ，
因为 1 = 2 ，即证 2 < 2 2 ，即证 2 2 2 < 0，
设 2 = 2 2 2 ，
′ = 2 2+ 2 4 2 2+ 2 2 则 2 +2 2 2
2
= 2
+ 5 2
2
2
2 2 2
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2 + 2
= 2 2 2
5 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
= 2 2+3 2+2
2 5 2+2 22 2 2
2 2 = 2 2 < 0，2 2 2 2
所以 2 < ( ) = 0
+
，即 2 2 2 < 0 得证，所以 ′ 1 22 > 0 得证；
当 < 0 时，要证 ′ 1+ 22 > 0，即证 1 + 2 + > 0，即证 1 > 2，
若 2 ≥ ，则 1 > 2恒成立，
下证：当 2 < 时有 1 > 2．
当 ∈ 0, 2 ，
′( ) < 0，所以 ( )在 0, 2 单调递减，
当 ∈ 2 , + ∞

， ′( ) > 0，所以 ( )在 2 , + ∞ 单调递增，

不妨设 0 < 1 < 2 < 2，则有 2 < 2，现要证 1 > 2，
即证 1 < 2 ，
因为 1 = 2 ，即证 2 < 2 ，即证 2 2 < 0，
设 2 = 2 2 ，
则 ′ = 2 2+ 2 + 2 2 2+ 2 2 2 2
2 +
= 2 2 +
2

2
2 + 2
= 2 + 2 + 2 2 + 2 2
2
= 2 + 2 2 = 2 + +2 22 + + 2 + 2 < 0，2 2 2 2 2 2 2 + 2
所以 2 < ( ) = 0，即 2 2 2 < 0 得证，所以 ′
1+ 2
2 > 0 得证；
+
综上所述： ′ 1 22 > 0．
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