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四、解答题
15.已知a,b为单位向量，且a与6的夹角为60°
(1)求a-2b的值：
(2)若向量2ā-祁与A石-b的夹角为锐角，求实数A的取值范围
I6.如图，正方形ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD,BC的母线，M,N分别是DE,BF的
中点，AB=2,DF=√5
(I)证明：MN/平面ABE;
D
(2)设平面BDE与圆O所在平面的交线为/，证明：I1/平面BEF.
M
-N
17.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB),
6bcosC+6ccosB=a2
(I)求角A与a;
(2若点O为VABC的所在平面内一点，且满足(OA+OB)AB=(OB+OCBC=0,求4O|的值；
(3)若点M为VABC的重心，且AM=2√5，求VABC的面积
试卷第3页，共4顷
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥PD,且AD=4AB=4,PA=2,PC=√3，
点E为AD中点
(I)求证：平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角P-CE-B的正切值；
(3)点F为对角线AC上的点，且FG⊥PB,垂足为G,求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值（注：
本题建系不得分)】
19.已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx,称向量OM=(a,b)为f(x)的相伴向量，同时称f(x)
为向量OM的相伴函数
0记O-的相件福数为/。当xe-晋时，若f化)-
,求sinx,的值；
5
(2已知动点M(L,b)满足h∈0,5]，且OW的相伴函数g)在x=x时取得最大值，求，+am,的最
tan2x。
小值；
(3)已知OA=(0,1)为函数h(x)的相伴向量，在VABC中，AB=2,cosC=h(马，且点G为VABC的外心，
求GC.AB+CA.CB的最大值
试卷第4顷，共4页
武钢三中20242025学年度高中数学5月月考卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1.设复数z满足z+同=8-4i,那么z=（)
A.3+4i
B.3-4i
C.-3+4i
D.-3-4i
2.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形AB'CD,已知AB'=4,
D
CD=2,则四边形ABCD的面积是（)
O(A)
B
A.3
B.12√2
C.8
D.65
3.如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,这个正四棱锥的高与半球的半径相
等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（)】
A.42x
B.4π
C.6π
D.8π
3
B
4.一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为4m ,
水深3m,丰水时节水面面积大约为9m2,水深5m,则枯水时节的水量大约为（)
B.2m
C.m
D.7m'
5.在VABC中，AB=l,4C=2,∠A=60°若茄=3，正=AC-AB(aeR),且D.AE=,则
|AE=（)
A.5
B.√万
C.3
D.19
6.在三棱锥S-ABC中，底面VABC为斜边AC=2√2的等腰直角三角形，J顶点S在底面ABC上的射影为
AC的中点.若SA=2,E为线段AB上的一个动点，则SE+CE的最小值为()
A.6+2
B.25
C.2(5+1)
D.2(5-)
7.已知二面角a-1-B为60°，ABca,AB1I,A为垂足，CDcB,C∈1，∠ACD=45,则异面直线
AB与CD所成角的余弦值为（)
A子
B.②
C.
4
D.2
8.已知非等腰VABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,且++c+a=2cd,若c为最大边，
a2+b2
则+b的取值范围是()
c
D.
二、多选题
试卷第1页，共4项【详解)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,又a2=b+bc,则b2+bc=b2+c2-2 bccos A,即
bc=c2-2 bccos A,于是b=c-2 bcos A,由正弦定理得sinB=sinC-2 sin BcosA,
即sinB=sin(A+B)-2 sin BcosA=sin AcosB-cos AsinB=sin(A-B),在锐角VABC中，A,B∈(0，)，
0<2B<π
4-Be(←孕，而正弦函数y=血x在（受孕上递增，则B=A-B,即A=2B,此时
2
0<π-3B<
I2=sin(A+B)2
6
4’2
2’2
4'b cos'B sin B'cos'B sin B
cos2B
_sin3B 2 sin B cos2B+cos Bsin 2B 2
2
sin B'cos2B
sin B
cos'B=cos'B-sinB+2cos'Bsin B
sin B
cos2B
=22c0s2B+1
H,令0sB6题v-204的在
马上递减在9寻上递端，
当-号时45-1，当-时=5所以号a的取值范国为5-l5
2
15.()5
(23-√7，√2)U(2,3+7列
【详解)(1)对ā-261先平方可得：|a-262=(a-2b)展开得：1a-2b=2-4a.b+4b因为ā，6为单
位向量，所以ā曰6=1，则a2aP=1,b2bP=1.因为a与6的夹角为60，可得：
a6a51eos60=1x将=l,=1,a6=代入a-26--4a5+46可得
1a-26=1-4x+4x1=1-2+4=3所以后-26=5
(2)因为向量2a-5与a-b的夹角为锐角，所以(2ā-b)-(aā-b)>0且2a-b与Aa-b不同向共线
可得：2a-(da-)=2A后-2+a6+,将后=1，=1，a6=号代入上式可得：
21×1-2+)x+Ax>0,整理得：21-1父+A0,即-父+3A-0,得：术-6A+20,解得
3-√万0,使得2a-b=k(Aā-b),即2a-b=kAā-k5.
「2=k入
所以可得
=K,将入=k>0)代入2=k1得：=2，解得A=反所以当两向量不同向共线时，A:V2
综合以上两个条件，实数A的取值范围是(3-√万，√2)U(√2.3+√7)
I6(I)证明：如图连接AE、AE,根据圆柱的性质可得ADIIEF且AD=EF,
D
所以四边形AEFD为平行四边形，因为M为DE的中点，所以M为AF的中点，
又N为BF的中点，所以MN∥AB,因为MN平面ABE,ABC平面ABE,所以
答案第4顷，共7顶
B

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