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2024-2025 学年四川省成都市第十二中学高二下学期半期考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列 中， 4 = 8，且 2， 4， 10构成等比数列，则公差 等于( )．
A. 83 B. 0 C.
8
3 D. 0
8
或3
+2
2.已知函数 ( ) = cos ，则 lim 2 2 =( ) →0
A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
3 { } { } = 1 .设等差数列 前 项和为 ，等差数列 前 项和为 5 ，若 +1 .则 =( )5
A. 2 B. 4 C. 3 D. 53 5 2 4
4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今
有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官
府陆续派遣 1984 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 8 人，修
筑堤坝的每人每天分发大米 3 升”.在该问题中前 5 天共分发多少升大米？( )
A. 1200 B. 1440 C. 1512 D. 1772
25 1.函数 ( ) = e 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.设函数 ( ) = + 的导数为 ′( ) = 2 + 1 2，则数列 ( ) ∈ N
的前 项和是( )
A. 2 2 +1 B. +1 C. 1 D.
2( +1)

7.若函数 ( ) = 6ln + 2在区间[1, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. [4, + ∞) B. ( ∞,4] C. (4, + ∞) D. ( ∞,4)
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8.已知函数 ( )的定义域为( ∞,0)， ( 1) = 1，其导函数 ′( )满足 ′( ) 2 ( ) > 0，则不等式
( + 2025) + ( + 2025)2 < 0 的解集为( )
A. ( 2026, + ∞) B. ( ∞, 2025) C. ( ∞, 2026) D. ( 2026, 2025)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 为数列 的前 项和，且 = 2 + 1 ∈ ，则下列说法中正确的是( )
A. 3 = 4 B. 5 = 64
C. 是等比数列 D. 1 是等比数列
10.若函数 ( )的定义域为 ，且存在 0 ∈ ，使得 0 + 2 ′ 0 = 0，则称 0是 ( )的一个“二倍阶值
点”.下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是( )
A. ( ) = 1 B. ( ) = e 2 C. ( ) = ln D. ( ) = e
+
11.已知 ， 分别是等差数列 的公差及前 项和， 7 > 9 > 8，设 = +1 +2，数列 的前
项和为 ，则下列结论中正确的是( )
A.满足 > 0 的最小 值为 17 B. 8 < 9
C. 7 8 > 9 10 D. = 8 时， 取得最小值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列 中，若 1 = 2,

+1 = +1 ，则数列 的通项公式为 ．
13.若函数 ( ) = 3 + 2 + 2 恰有三个单调区间，则实数 的取值范围为 ．
14.已知函数 ( ) = + ln ． ′( )为函数 ( )的导函数，若 ′( ) > ln( +1)+1对任意 > 0 恒成立，则整
数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = a 2 + ln 在 = 1 1处有极值 2
(1)求 , 的值；
(2) 1求函数 ( )在区间 , 上的最值
16.(本小题 15 分)
如图， , , 是圆柱上底面圆周上的三个不同的点， 为直径， 1， 1均为该圆柱的母线．
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(1)证明：平面 1 ⊥平面 1 1．
(2)若 = 2， 1 = 3，∠ = 30°，求 1与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
1
已知数列 满足 1 = 1, +1 = 1 4 ，其中 ∈ N
．

(1)设 2 = 2 1，求证：数列 是等差数列；
(2) 在(1)的条件下，求数列 3 +1 的前 项和 ；
(3)在(1)的条件下，若 1 = 6 + ( 1) 2 ，是否存在实数 ，使得对任意的 ∈ N ，都有 +1 > ，
若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ．
(1)若点 ( , 1)到抛物线准线的距离是它到焦点距离的 3倍，求抛物线的方程；
(2)点 ( , 1)，若线段 的中垂线交抛物线于 ， 两点，求三角形 面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 33 +
2 3 2 ， ∈
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 = 1 时，以 0 0, (0) 为切点，作直线 1交 ( )的图像于异于 0的点 1 1, 1 ，再以 1为切点，
作直线 2交 ( )的图像于异于 1的点 2 2, 2 ，…，依此类推，以 , 为切点，作直线 +1交 ( )
的图像于异于 的点 +1 +1, +1 ，其中 ∈ N+.求 的通项公式．
(3)在(2) 1 1 1 1的条件下，证明： 1 + 1+1
1 + 2+1
1 + 1+ < e3+1 +1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. =
2

13. ∞, 6 ∪ 6, + ∞
14.3
15.【详解】(Ⅰ)由题意得 ′( ) = 2 + ，定义域为(0, + ∞)
因为 ( ) 1在 = 1 处有极值2，
(1) = + ln1 = 12 1所以 ，解得 = , = 1；
′(1) = 2 + = 0 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) = 12 , = 1，所以 ( ) =
1 22 ln ，
′( ) = 1 ，
令 ′( ) = 1 1 = 0，在定义域内解得 = 1，当 ∈ , 1 时，
′( ) < 0，所以 ( )单调递减；当 ∈ (1, ]
1 1 1 2 1 1+2 2
时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 = 2 × ln = 2 2 ，
2
( ) = 12 ×
2 ln = 2 12 ，易得 ( ) > ，
2
所以当 ∈ 1 , ( ) = ( ) = 2 时， max 2 ， ( )
1
min = (1) = 2．
16.【详解】(1)证明：因为 为直径， 是上底面圆周上异于 , 的一点，所以 ⊥ ．
因为 1为该圆柱的母线，所以 1 ⊥平面 ， 平面 ，
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所以 1 ⊥ ，又 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1．
所以 ⊥平面 1 1．
因为 平面 1，所以平面 1 ⊥平面 1 1．
(2)设点 在圆柱下底面的射影为 1，连接 1 1．
以 1为坐标原点， 1 1， 1 1， 1 的方向分别为 , , 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
因为 = 2，∠ = 30°，所以 = 1, = 3，
所以 1(0,0,0), (1,0,3), 0, 3, 3 , 1 0, 3, 0 ，
= 1, 3, 0 , 1 = ( 1,0, 3), 1 = 1, 3, 3 ．
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
则 = = 0，即 + 3 = 01 , 3 = 0
取 = 1，得 = 3, 3, 1 ．

由 cos , 1 3 31 = = = ， 1 13× 13 13
得 31与平面 1 所成角的正弦值为13．
17.【详解】(1)证明： +1 =
2 2 2 22 +1 1 2 1
=
2 1 1 1 2 14
= 2 1
2 4 2
1 2 1
= 2 1 = 2，
2
21 = 2 1 = 2, ∴数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，1
(2) = 1 + ( 1) = 2 + ( 1) × 2 = 2
2 ，3 +1 = 3 +1，
=
2×1+ 2×232 33 + . . . +
2
3 +1①，
1 = 2×1 + 2×2 + . . . 2( 1) 2 3 33 34 3 +1 + 3 +2②，
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2 = 2 2 2 2 2 2 2 2① ②得：3 32 + 33 + . . . 3 +1 3 +2，其中32 + 33 + . . . 3 +1，是首项 1 = 9，
1
公比 = 3的等比数列的前
1
项和，根据等比数列的前 项和公式 1 = 1 ，
2 1
= 2 = 1 2×1
1
这里的首项 1 9，公比 3，项数为 ， 32 +
2×2+ . . . + 2 9 3 1 133 3 +1 = = 1 ，1 1 3 3 3
2 1 1 2
所以3 = 3 1 3 3 +2，
=
1 1 1 1 1 1 3+2 2 3 3 +1 = 2 2×3 3 +1 = 2 2×3 +1．
(3)存在，理由如下：
= 6 + ( 1) 1 2 = 6 ( 4) ,
+1 +1 = 6 + ( 1) 22 +2 = 6 6 + 4 ( 4)

则 2 +1 = 5 6 + ( 4) = 5 × 6 1 + 3 ，
若对任意的 ∈ ，都有 +1 > ，

则等价于 +1 = 5 6 + ( 4) = 5 × 6 1 +
2
3 > 0 恒成立，

即 1 + 2 > 0 恒成立， ∈ N 3 ，
2 ∈ 0, 4当 为偶数时， 3 9 ，则 >
1 9
2 = ， 43 max
2 ∈ 2 , 0 < 1 3当 为奇数时， 3 3 时，则 2
= 2 .
3 min
综上，存在 ∈ 94 ,
3
2 ，使得对任意的 ∈
，都有 +1 > ．
18. 【详解】解：(1)抛物线的准线方程是 = 2，焦点坐标为 2 , 0 ，

∴ | + 2 | = 3 ( 2 )
2 + 1
∵ > 0，∴ = 2
∴抛物线的方程为 2 = 2 2
(2) 3 1 1 0 2由题意知线段 的中点坐标为 4 , 2 ， = =2
，
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∴ = 2
∴ 1 3 直线 的方程为 2 = 2 4
设 1, 1 ， 2, 2
2 = 2 2
由 1 3 ，得 2 + 4
3
= 2
2 = 0
2 2 4
∴ 1 + 2 = 4， =
3 21 2 2 2
1 4 6( 2 +4)
∴ | | = 1 + 2 |
2
1
2| = 1 + 2 × ( 1 + 2) 4 1 2 =
2 2+4
又| | = 2 + 1 = 2
1 1 6( 2 +4) 2 +4 6 ( 2 +4)3
∴ = 2 × | | × 2 | | = 8 = 8 × 2
= 2( > 0) ( ) = ( +4)
3
′( ) = 2( +4)
2( 2)
令 ，则 ， 2
∴当 0 < < 2 时， ′( ) < 0， ( )递减，当 > 2 时， ′( ) > 0， ( )递增，
∴当 = 2 = 2 6 9 2即 时， 取得最小值，最小值为 8 × 108 = 4 ．
19.【详解】(1) ′( ) = 2 + 2 3 2 = ( + 3 )( )
①若 < 0，当 ∈ ( ∞, ) ∪ ( 3 , + ∞)时， ′( ) > 0；当 ∈ ( , 3 )时， ′( ) < 0，
故 ( )在( ∞, )上单调递增，在( , 3 )上单调递减，在( 3 , + ∞)上单调递增，
②若 = 0，则 ′( ) = 2 ≥ 0，则 ( )在 上单调递增，
③若 > 0，当 ∈ ( ∞, 3 ) ∪ ( , + ∞)时， ′( ) > 0；当 ∈ ( 3 , )时， ′( ) < 0，
故 ( )在( ∞, 3 )上单调递增，在( 3 , )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
综上所述：
①当 < 0 时， ( )在( ∞, )上单调递增，在( , 3 )上单调递减，在( 3 , + ∞)上单调递增；
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②当 = 0 时，则 ( )在 上单调递增；
③当 > 0 时， ( )在( ∞, 3 )上单调递增，在( 3 , )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)当 = 1 时， ( ) = 1 33 +
2 3 ， ′( ) = 2 + 2 3 1，切点 3 2 , 3 + 3 ，切线斜率：
2
+
2 3，
故切线方程为： = 2 + 2 3 +
1 3 3 +
2
3 ，
联立 ( ) = 1 33 +
2 3 得： 2 + 2 3 +
1
3
3
+ 2 3 =
1
3
3 + 2 3 ，
化简得： 3 + 3 2 3 2 3 2 + 6 + 2 + 3 = 0，
因式分解得： 2 + 2 + 3 = 0．
故 +1 = 2 3
上式亦满足由 0作切线而得到的 1的横坐标 1，故 1 = 3，
+1 + 1 = 2 + 1 ，则 + 1 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
故 + 1 = ( 2) ，故 = ( 2) 1．
(3)构造 ( ) = ln(1 + ) ，( > 0)
′( ) = 1 1+ 1 = 1+ < 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递减，故 ( ) < (0) = 0
故当 > 0 时，ln(1 + ) < ，
ln 1 + 1故 +1 <
1 = 1 1
+1 ( 2)
= 2 ，
ln 1 + 1 < 1 ln 1 + 1 1则 +1 21， +1 < 22，……，ln 1 +
1 1
1 2 +1
< 2
将上式累加，得
ln 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1+1
1 + 2+1
1+ < + + + +1 21 22 2 = 1 2 ，
1 1 1
故 ln 1 + +1 1 + 1+ < 1，1 2+1 +1
1 + 1 1 + 1故 +1 +1 1 +
1 1
1 2 3+1
1+ +1 < e．
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