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2024-2025 学年山东省济宁市第一中学高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 2( )在 = 2 处有极值，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2.已知随机变量 的分布列如下：
2 3 5
2
若 ( ) = 4，则 =( )
A. 118 B.
1 1 1
12 C. 9 D. 6
3.一袋中装有大小 质地均相同的 5 个白球，3 个黄球和 2 个黑球，从中任取 3 个球，则至少含有一个黑球
的概率是( )
A. 715 B.
8 1 1
15 C. 5 D. 2
2
4. + ( + )
6展开式中， 3 4的系数为( )
A. 15 B. 20 C. 30 D. 40
5 2.甲、乙两人同时解答一道数学题，两人各自独立思考互不影响．已知甲能正确解答的概率为3，乙能正确
1
解答的概率为2，则在此题被正确解答的条件下，甲能正确解答的概率为( )
A. 1 B. 2 C. 32 3 4 D.
4
5
6.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章
算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨
辉三角”中从左往右第 3 斜行的数构成一个数列：1,3,6,10,15, …，则该数列前 10 项的和为( )
A. 66 B. 120 C. 165 D. 220
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7.设函数 ( )的导函数为 ′( )，若 ( )在其定义域内存在 0，使得 ′0 = 0 ，则称 ( )为“有源”
函数.已知 ( ) = ln 2 是“有源”函数，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. ( 1, + ∞) C. ∞, ln2 1 D. ln2 1, + ∞
8.已知函数 ( ) = 2 + πcos + 在 0, π 上有两个不同的零点 1, 2 1 < ′2 ，给出下列结论：① 1 < 0；
② ′ 2 > 0；③ 1 + 2 < π.其中错误结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者．现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，
则下列说法正确的是( )
A.若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种
B.若安排 5 人排成一排训练，小张不站在第一位，小赵不站在第五位，则有 78 种不同的方案
C.若安排 5 人排成一排训练，小张必须站在小李的左侧，则有 60 种不同的站法
D.若安排 5 人排成一排训练，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有 24 种不同的站法
10.已知函数 ( ) = 3 3 2，则下列说法正确的是( )
A. = 2 是函数 ( )的一个极小值点
B.函数 ( )的对称中心为(1, 2)
C.过点(1, 2)能作两条不同直线与 = ( )相切
D.函数 = [ ( )] + 2 有 5 个零点
11.设 1 5 1、 为一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 3， ( | ) = 6， ( | ) = 2，则( )
A. ( + ) = 3 1 3 14 B. ( ) = 3 C. ( | ) = 4 D. ( ) = 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 2, 2 ，若 ( ≥ 0) = 0.7, (2 ≤ ≤ ) = 0.2，则 = ．
13.某大学为提高学生的文化艺术素养，特开设了 6 门公共必修课程，要求每位同学每学年至少选 1 门，至
多选 3 门，大二到大四这三学年必须将 6 门公共必修课程全部选完，且不能提前修完，则每位同学的不同
选择方式有 ．
14.已知函数 ( ) = + ln ， ( ) = ln ，若 1 = 2ln ， 2 = 2
ln
，则 的最大值为 ．1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知(2 + 1 ) 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比为 2: 5．
(1)求 的值；
(2)系数最大的项．
16.(本小题 15 分)
7
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为8，当
1 1
输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2 .已知输入的问题表达不清晰的概率为5．
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3 个问题(3 个问题相互独立)，设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布列、
期望及方差．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = e 2 + ( < 0)．
(1)若 ( )的图象在点 0, (0) 3处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为2，求 的值；
(2)当 = 3 时，求 ( )在区间[ 4,2]上的最大值和最小值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ln 1, ( ) = e 2( ∈ ).
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)证明： ( ) + ( ) ≥ ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 cos ( ∈ )
(1)当 = 1 时，求 ( )的零点个数；
(2)若 ∈ , ( ) ≤ 0，求 的最大值；
(3) 1证明： ∈ , 1 < =1 cos ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.450
14. 12e
15.解：(1)因为第二项与第三项的二项式系数之比是 2: 5，
C 1 = 2 2则C2 5，即 ( 1) = 5，解得 = 0(舍)或 = 6， 2
所以 的值为 6．
3
(2)(2 + 1 )6 1 的展开式的通项为 = C
(2 )6 ( ) = C 26 +1 6 6
6 2
0 ≤ ≤ 6, ∈ N ，
C 26 ≥ C 1 7
令 6 6
2 4 7
，解得 ≤ ≤ ，C626 ≥ C +16 25 3 3
又∵ ∈ N，∴ = 2，
∴展开式中系数最大的项为第 3 项，且 33 = 240 ．
16.解：(1)设 =“智能客服的回答被采纳”， =“输入的问题表达不清晰”，
1
依题意， ( ) = 5 , ( ) =
4
5， ( | ) =
1 7
2 , ( | ) = 8，
因此 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 15 ×
1 + 4 × 7 42 5 8 = 5，
4
所以智能客服的回答被采纳的概率为5．
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(2) 4依题意， 的所有可能取值为 0，1，2，3， (3, 5 )，
( = 0) = C0( 4 )0( 1 33 5 5 ) =
1 1 4 1 1 2
125 , ( = 1) = C3( 5 ) ( 5 ) =
12
125，
( = 2) = C2 43( 5 )
2( 15 )
1 = 48125 , ( = 3) = C
3
3(
4 3 1 0 64
5 ) ( 5 ) = 125，
所以 的分布列为：

0 1 2 3
1 12 48 64
125 125 125 125
( ) = 3 × 4 = 12 4 1 12数学期望 5 5； ( ) = 3 × 5 × 5 = 25．
17.解：(1) ( ) = e 2 + ( < 0)，则 ′( ) = e 2 + 2 + ， (0) = ，
所以切线斜率为 ′(0) = ，则切线方程为 = + ，
切线方程与两坐标轴的交点分别为( 1,0), (0, )，
1
则三角形的面积为 2 =
3
2，解得 = 3．
(2)当 = 3 时， ( ) = e 2 3 ， ′( ) = e 2 + 2 3 = e ( 1)( + 3)，
因为 ∈ [ 4,2]，则 ′( ) > 0 得 4 ≤ < 3 或 1 < ≤ 2； ′( ) < 0 得 3 < < 1，
则 ( )在[ 4, 3)和(1,2]上单调递增，在( 3,1)上单调递减，
因为 ( 4) = 13e 4， ( 3) = 6e 3， (1) = 2e < ( 4)， (2) = e2 > ( 3)，
所以 ( )的最大值为 (2) = e2，最小值为 (1) = 2e．
2
18.解：(1) 1 2 1由题意可得： ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2 = ，
当 ≤ 0 时，则 2 2 1 < 0 在(0, + ∞)上恒成立，
可知 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 1 1时，令 ′( ) > 0，解得 > ′2 ；令 ( ) < 0，解得 0 < < 2 ；
可知 ( ) 0, 1 1在 2 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增；
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综上所述：当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 1 1时， ( )在 0, 2 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增．
(2)构建 ( ) = ( ) + ( ) = e ln 1, > 0，
′( ) = ( + 1)e 1则 1 = ( + 1) e
1 ，
由 > 0 可知 + 1 > 0，
1
构建 ( ) = e , > 0，
因为 = e , = 1 在(0, + ∞)上单调递增，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
1
且 2 = e 2 < 0, (1) = e 1 > 0，
可知 ( )在(0, + ∞) 1上存在唯一零点 0 ∈ 2 , 1 ，
当 0 < < 0，则 ( ) < 0，即 ′( ) < 0；
当 > ，则 ( ) > 0，即 ′0 ( ) > 0；
可知 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
则 ( ) ≥ 0 = 0e 0 ln 0 0 1，
1 1
又因为e 0 = 0，则e 0 = , = e 0 0
1
， 0 ∈ 2 , 1 ，0 0
可得 0 = ×
1
0 lne
0 0 1 = 0，
0
即 ( ) ≥ 0，所以 ( ) + ( ) ≥ ．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 2 2 cos ，所以 ′( ) = sin 2 ，
令 ( ) = sin 2 ，则 ′( ) = cos 2 < 0，
所以 ( )在 上单调递减，即 ′( )在 上单调递减，
又 ′(0) = 0，则 ′( ) < 0 的解集为(0, + ∞)，则 ′( ) > 0 的解集为( ∞,0)，
所以 ( )在区间(0, + ∞)上单调递减，在区间( ∞,0)上单调递增，
又因为 (0) = 1 > 0, (2) = ( 2) = 2 cos2 < 0，
所以存在 1 ∈ ( 2,0), 2 ∈ (0,2)，使得 1 = 2 = 0，
所以 ( )有两个零点．
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(2) 1 1由 (0) = 2 1 ≤ 0，得 ≤ 2，下证当 = 2时， ∈ , ( ) ≤ 0，
令 ( ) = 12 2
2 cos ，则 ′( ) = sin ，
令 ( ) = sin ，则 ′( ) = cos 1 ≤ 0，
所以 ( )在 上单调递减，又 (0) = sin0 0 = 0，则 ′( ) < 0 的解集为(0, + ∞)，则 ′( ) > 0 的解集为
( ∞,0)，
所以 ( )在区间( ∞,0)上单调递增，在区间(0, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (0) = 12 × (2 0) cos0 = 0，即 ( ) ≤ 0，
所以 1的最大值为2．
(3) 1证明：由(2)可得 cos ≥ 1 22 ，当且仅当 = 0 时取等号，
2 2
所以 cos 1 1 1 > 1 2 ，所以 2
1
=1 cos > 2
1
=1
1 2 1 1 1
且因为当 ≥ 2 时， < ( 1) = 1
所以 1
2
=1 =1 +
1
22 +
1
32 + +
1
2 < 1+ 1
1 1 1 1
2 + 2 3 + + 1
1
= 2
1
< 2，
所以 2 1 1
2
=1 cos > 2 =1 > 2 2
即 ∈ , 1 < 1 =1 cos ．
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