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第十九章 一次函数—八年级下册数学人教版期末四步复习法
第一步：学习目标
1.函数 （1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义，并能正确区分常量与变量 （2）了解函数的概念和三种表示方法：解析式法，列表法和图象法，并能根据需要选择适当的表示方法描述实际问题中的两个变量之间的关系 （3）能根据实际问题或解析式求出自变量的取值范围，会求函数值
2.正比例函数、一次函数 （1）理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质，能根据所给的条件求出正比例函数的解析式 （2）理解一次函数的概念，掌握一次函数的图象和性质，会用待定系数法求一次函数解析式 （3）会利用一次函数的有关知识解决简单的实际问题
3.一次函数与方程、不等式 （1）体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）之间的内在联系 （2）能够运用数形结合的思想，借助一次函数的图象求一元一次方程、二元一次方程组的解或一元一次不等式的解集
4.选择方案 （1）会建立实际问题的数学模型，将实际问题转化为数学问题 （2）会综合运用一次函数的图象和性质、方程（组）和不等式（组）等知识解决方案设计问题
第二步：思维导图
第三步：重难知识、易混易错
函数的相关概念
类别 定义
常量 在某一变化过程中，数值固定不变的量
变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量
函数 对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与它对应，那么称是的函数，是自变量
函数值 当时，，那么称叫做当自变量的值为时的函数值
函数的表示方法
方法 定义
解析式法 用关于自变量的代数式表示函数与自变量间的关系
列表法 把自变量的一系列值与对应的函数值列成一个表格
图象法 用图象表示函数的关系
函数图象的画法
用描点法画函数图象的一般步骤如下表：
步骤 具体操作方法
列表 表中给出一些自变量的值与对应的函数值
描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点
连线 按照自变量由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来
自变量的取值范围
整式型 自变量的取值范围：任意实数，如中，为任意实数
分式型 自变量的取值范围：分母不为0，如中，
二次根式型 自变量的取值范围：被开方数大于等于0，如中，
分式二次根式型 自变量的取值范围：分母不为0且被开方数大于等于0，如中，；中，且
实际问题中 自变量的取值范围：使实际问题有意义
【例题】1．函数中自变量x的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据题意得：,
解得：.
故函数中自变量x的取值范围是.
故选：A.
【例题】下列各图象中不表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.根据图象知给自变量一个值,有且只有1个函数值与其对应,故A选项是函数,不符合题意；
B.根据图象知给自变量一个值,有且只有1个函数值与其对应,故B选项是函数,不符合题意；
C.根据图象知给自变量一个值,有且只有1个函数值与其对应,故C选项是函数,不符合题意；
D.根据图象知给自变量一个值,都有2个函数值与其对应,故D选项不是函数,符合题意；
故选：D.
【例题】如表所示的数据,则下列结论不正确的是( )
高度 10 20 30 40 50 …
下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
A.在这个变化中,高度是自变量
B.随着高度的增加,下滑时间越来越短
C.当时,t约为
D.高度每增加,下滑时间就减少
答案：D
解析：根据表格可知,高度是自变量,下滑时间是因变量,
A选项正确,不符合题意.
从表中数据看到：当h由10逐渐增大到50时,t的值由3.25逐渐减小到2.56,
随高度增加,下滑时间越来越短.
B选项正确,不符合题意.
从表中的对应值可以看到当时,,
C选项正确,不符合题意.
因为时间的减少是不均匀的,
D选项错误,符合题意.
综上,只有D选项错误.
故选：D.
【例题】甲、乙两人同起点同方向出发,匀速步行米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3分钟,甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,则先到终点的人原地休息了______分钟.
答案：4.5
解析：由图可得,甲的速度为米分,
设乙的速度为x米/分,
由图可得,,
解得,
∴乙的速度为米/分,
∴甲到达终点的时间为分钟,
乙达到终点的时间为分钟,
∵甲先出发3分钟,
∴乙先到终点原地休息了分钟,
故答案为：.
正比例函数的图象与性质
的取值范围 象限 图象 增减性
一、三 随的增大而增大
二、四 随的增大而减小
一次函数的定义
形如（是常数，）的函数叫做一次函数.当时，，所以正比例函数是特殊的一次函数，其中是自变量，是因变量.
一次函数的图象与性质
的取值范围 的取值范围 象限 图象 增减性
一、二、三 随的增大而增大
一、三、四
一、二、四 随的增大而减小
二、三、四
确定的符号：一次函数图象从左至右呈上升趋势，即当随的增大而增大时，；反之，
确定的符号：一次函数图象与轴的交点在正半轴时，；反之，
的作用：的符号函数增减性或图象的倾斜方向；直线的倾斜程度
的作用：的符号直线与轴交点的位置
用待定系数法求一次函数解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.下表中以过点与确定一次函数的解析式为例：
步骤 具体操作方法 举例
①设 设一次函数的解析式 设解析式为
②代 把点的坐标代入解析式 代入坐标，得
③解 解方程（组），求出 解方程组，得
④定 确定函数解析式 故解析式为
【例题】下列四个选项中,不符合直线的性质与特征的是( )
A.经过第一、三、四象限 B.y随x的增大而增大
C.与轴交于点 D.与y轴交于点
答案：C
解析：∵,,
∴该直线经过第一、三、四象限,y随x的增大而增大,
故A、B选项正确,
∵当时,由得：,
∴该直线与x轴交于点,
故C选项错误；
∵当时,,
∴该直线与y轴交于点,
故D选项正确,
故选：C.
【例题】学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y（）是烘焙温度x（）的一次函数，部分数据如下表所示：
烘焙温度x（） … 160 170 180 190 200 …
烘焙时间y（） … 30 27.5 25 22.5 20 …
则y与x之间的关系式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设y与x的函数关系式为，
把，代入，
得，
解得：，
y与x的函数关系式为：；
故答案为：C.
【例题】点和都在直线上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
答案：A
解析：∵，
∴，y随x的增大而减小，
∵都在直线上，
∴，
故选A.
一、一次函数与方程（组）的关系
方程（组） 方程： 方程组：
一次函数 ；
图象
关系 方程的解是直线与轴交点（）的横坐标，即 方程组的解是直线与直线交点（）的横、纵坐标，即
三、一次函数与不等式的关系
不等式
一次函数 ；
图象
关系 不等式的解集是直线在轴上方（）所对应的的取值范围，即 不等式的解集是直线在下方所对应的的取值范围，即
【例题】下表是一次函数中x与y的几组对应值,则方程的解为( )
x … 0 1 2 …
y … 1 7 13 19 …
A. B. C. D.
答案：A
解析：由表格信息可得：当时,,
∴的解为,
故选A
【例题】如图,直线与直线相交于点,则关于x的一元一次不等式的解集是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵直线与直线相交于点,
∴由图像可知,关于x的一元一次不等式的解集为.
故选：C.
【例题】已知一次函数与的图像的交点为，则方程组的解是________.
答案：
解析：一次函数与的图像的交点为，
方程组的解是.
故答案为：.
一次函数的实际应用
判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位
常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值. 注意：根据实际情况确定变量的取值范围
知识延伸：分段函数
自变量在不同的取值范围内，其解析式也不同的函数叫做分段函数.在实际问题中，常用到分段函数的有出租车计费问题、行程问题、阶梯水电费问题等，解答时需根据自变量的取值范围分段讨论.
下表中以确定下图的函数解析式为例：
类别 举例
①找自变量的分界值 为该函数自变量的分界值
②分别求每段函数的解析式 当时，； 当时，
③确定分段函数解析式 故解析式为
【注意】分段函数由多个解析式组成，写分段函数解析式时必须带上自变量的取值范围.
【例题】一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行.已知两车相遇时轿车比货车多行驶了，设行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系，根据图象提供的信息，下列说法不正确的是( )
A.甲、乙两地的距离为
B.轿车的速度为
C.货车的速度为
D.点C的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为
答案：C
解析：当时，设，
将点和代入得：，解得，
则，
当时，，
甲、乙两地的距离为，则选项A正确；
两车相遇时轿车比货车多行驶了，
设相遇时轿车行驶的距离为，则相遇时货车行驶的距离为，
，
解得，
，
轿车的速度为，则选项B正确；
货车的速度为，则选项C错误；
轿车从甲地到达乙地所需时间为，
当轿车到达乙地时，货车行驶的距离为，
点C的实际意义是轿车出发后到达乙地，此时两车间的距离为，选项D正确；
故选：C.
【例题】某超市销售着一种牛奶草莓,为了推广这种草莓,该超市做出两种促销方案,两种方案下购买这种草莓的费用y(元)与购买量x(千克)之间的函数关系图象如图所示.
(1)分别求出两种方案下y与x之间的函数关系式；
(2)请直接写出图中线段的长,并说明它的实际意义；
(3)如果顾客购买21千克这种草莓,选择哪种方案更省钱？结合图象说明理由.
答案：(1)方案一的函数关系式为：；方案二的函数关系式为：当,和当,
(2)5,当购买10千克的草莓时,方案一需要45元钱,方案二需要50元钱.
(3)方案二,理由见解析
解析：(1)根据题意可知,方案一经过和的一条直线,
设方案一的直线为,
则,
,
方案一函数关系式为：.
方案二经过和为一条直线,过点A后向上的直线经过,
当时,设方案二的直线为,
则,
,
方案二函数关系式为：,
当时,直线的解析式为,
则,
解得,
过点A后向上的直线的解析式为.
即方案二的函数关系式为：当,和当,
(2)由图象可知：
.
当购买千克的草莓时,方案一需要元钱,方案二需要元钱.
(3)如果顾客购买21千克这种草莓,方案二更省钱些.
理由：
方案一需要的钱是(元),
方案二需要的钱是(元),
所以方案二更省钱.
由图象可知,过交点后的方案二的图象比方案一图象低,所以方案二比方案一更省钱些.
第四步：对接中考
1．[2024年新疆中考真题]若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
2．[2024年甘肃兰州中考真题]一次函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．[2024年广东中考真题]已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4．[2024年湖南长沙中考真题]对于一次函数，下列结论正确的是( )
A.它的图象与y轴交于点 B.y随x的增大而减小
C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限
5．[2024年内蒙古通辽中考真题]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，.下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6．[2024年内蒙古中考真题]点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．[2024年黑龙江哈尔滨中考真题]一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，当时，( )
A.36L B.38L C.40L D.42L
8．[2024年天津中考真题]若正比例函数（k是常数，）的图象经过第三、第一象限，则k的值可以是______（写出一个即可）.
9．[2024年吉林长春中考真题]区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示.
（1）a的值为________；
（2）当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
10．[2024年内蒙古包头中考真题]如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？
11．[2024年黑龙江牡丹江中考真题]一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地.甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
答案以及解析
对接中考
1．答案：D
解析：由一次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大，观察选项，只有选项D符合题意.故选D.
2．答案：B
解析：，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B.
3．答案：B
解析：A.不等式的解集是，故本选项不符合题意；
B.不等式的解集是，故本选项符合题意；
C.不等式的解集是，故本选项不符合题意；
D.不等式的解集是，故本选项不符合题意；
故选：B.
4．答案：A
解析：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A.
5．答案：A
解析：由一次函数：的图象可得：
，，
由一次函数：的图象可得：
，，
，，，，
正确的结论是A，符合题意，
故选A.
6．答案：D
解析：联立方程组，
解得，
P的坐标为，
点P在第四象限，
故选∶D.
7．答案：B
解析：设当时的直线方程为:.
图象过、,
.
.
.
令,
.
故选:B.
8．答案：1（答案不唯一,满足即可）
解析：因为正比例函数(k是常数,)的图象经过第三、第一象限,
所以,
则k的值可以是:1(答案不唯一).
故答案为:1(答案不唯一).
9．答案：（1）
（2）
（3）没有超速
解析：（1）由题意可得：，解得：.
故答案为：.
（2）设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，
.
（3）当时，，
先匀速行驶小时的速度为：（千米/时），
，
辆汽车减速前没有超速.
10．答案：(1)
(2)碗的数量最多为10个
解析：(1)由表中的数据，x的增加量不变，
y是x的一次函数，
设，
由题意得：，
解得：，
y与x之间的函数表达式为；
(2)设碗的数量有x个，
则：，
解得：，
的最大整数解为10，
答：碗的数量最多为10个.
11．答案：（1）70，300
（2）
（3）或
解析：（1）由图可知，甲车小时行驶的路程为，
甲车行驶的速度是，
A、C两地的距离为：，
故答案为：70；300；
（2）由图可知E，F的坐标分别为，，
设线段所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：，
A、B两地的距离为：，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
，
解得；
当甲乙相遇后时：
，
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.

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