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江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级下学期5月月考
数学试卷
（考试时长：100分钟 试卷分值：150分 形式：闭卷）
(
班级_____________ 姓名_______________ 学号______________ 考号_______________
…………………………………
装
………………………………………
订
………………………………
线
…………………………………………
)一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（本题3分）的相反数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义的知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题根据相反数的定义，进行作答，即可求解；
【详解】解：的相反数是-2025，
故选：B；
2．（本题3分）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
3．（本题3分）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．9 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．（本题3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，符合题意；
D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
5．（本题3分）下列四个有理数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键．将每一个数算出比较大小即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故选D．
6．（本题3分）下列式子不能因式分解的是( )
A．x2－4 B．3x2＋2x C．x2＋25 D．x2－4x＋4
【答案】C
【详解】解：A、x2-4=（x+2）（x-2），故选项不符合题意；
B、3x2+2x=x（3x+2），故选项不符合题意；
C、x2+25不能分解，选项符合题意；
D、x2-4x+4=（x-2）2，故选项不符合题意．
故选C．
【点睛】因式分解的意义．
7．（本题3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式的除法法则逐项分析即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
8．（本题3分）如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．方程 有两个实数根
D．二次函数 的顶点坐标为
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
根据二次函数的图像和性质即可求解；
【详解】解：A、当时，根据函数图象可得：；
故该选项错误；
B、∵对称轴经过点，
∴，
故该选项错误；
C、二次函数的图像与x轴交于，两点，
将，代入中，
可得：，
解得：，
函数解析式为：
将代入，
可得：，
即，
，，，
，故方程没有实数根，
该选项错误；
D、，故二次函数 的顶点坐标为，
该选项正确；
故选：D
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（本题3分）|x－2|＋9有最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据绝对值的非负性解答即可．
【详解】解：∵
∴
∴的最小值为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
10．（本题3分）已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是注意进行分类讨论，①长为1的边是直角边，长为3的边是斜边时，②长为3、1的边都是直角边时，分别根据勾股定理求出第三边长即可．
【详解】解：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为1的边是直角边，长为3的边是斜边时：
第三边的长为：
；
②长为3、1的边都是直角边时：
第三边的长为：
；
∴第三边的长为：或．
故答案为：或．
11．（本题3分）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题考的是二元一次方程的解，以及立方根，解题的关键是求出、的值．先把代入方程组，求出、的值，即可得到答案.
【详解】解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
，
的立方根为，
故答案为：．
12．（本题3分）若使分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．由分母不为零可得，从而可得答案．
【详解】解：分式有意义，
，
，
故答案为：．
13．（本题3分）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式方程增根的定义，解题关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得出，代入整式方程求解即可．
【详解】解：将分式方程化为整式方程为，
分式方程有增根，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（本题3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且/且
【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量的取值范围，即可求解．
【详解】解：函数中，且，
解得：且，
故答案为：且．
15．（本题3分）如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值，再由均为等腰直角三角形，可得，可证，根据对应边成比例解题即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴当点D在的延长线上时（如图所示），的长度取得最大值．
由题意得：均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的长最大值为．
故答案为：
16．（本题3分）小华参加“中探协”组织的徒步探险旅行活动，每天有“低强度”“高强度”“休整”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休整”（第一天可选择“高强度”）．则小华5天徒步探险旅行活动的最远距离为 km．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 7 5 6 5
高强度 12 13 14 12 9
休整 0 0 0 0 0
【答案】
【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天＋当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．
【详解】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，
∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离＋当天“低强度”距离时选择“高强度”时，把前一天休息未走的距离能补上，会使徒步距离最远，
∵第3天“高强度”14＞7＋5，第4天“高强度”12＞6＋5，
∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，
又∵第一天可选择“高强度”，
∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12＋0＋14＋6＋5＝37（km），
方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12＋6＋0＋12＋5＝35（km），
综上，徒步的最远距离为37km．
【点睛】本题主要考查最优路线选择，有理数的加法，找出适合选择“高强度”的时间是解决问题的关键．
三．解答题（共102分）
17．（本题6分）化简：
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】解：
．
18．（本题6分）求满足不等式组的所有整数解之和．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．
求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的整数解，求其和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，
所以不等式组的整数解之和为．
19．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解．
20．（本题9分）有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为，乙车从N地驶往M地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动．途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往N地．设甲车行驶的时间为t（单位：h），甲、乙两车之间的距离为s（单位：），s与t之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题：
(1)M，N两地之间的距离为______；
(2)求出点B的横坐标；
(3)当甲、乙两车相距时，请直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)点B的横坐标是1
(3)当甲、乙两车相距时，t的值为或
【分析】本题考查函数的图象，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用．由图象获得正确的信息是解题的关键．
（1）由图象得，M，N两地之间的距离为，然后作答即可；
（2）由图可知，点甲乙相遇，点甲车开始停车修理，设行驶x小时后，甲车发生故障，由题意得：，计算求解即可；
（3）由图象可知，点甲车开始停车修理，点甲车重新开始运动，表示的时间为，当甲乙相遇前，甲、乙两车相距时， 题意得，，计算求解即可；当甲乙相遇后，甲车重新开始运动时，甲乙的距离为，然后作答即可．
【详解】（1）解：由图象得，M，N两地之间的距离为，
故答案为：；
（2）解：由图可知，点甲乙相遇，点甲车开始停车修理，
设行驶x小时后，甲车发生故障，
由题意得：，
解得，
∴点B的横坐标是1；
（3）解：由图象可知，点甲车开始停车修理，点甲车重新开始运动，表示的时间为，
由（2）得：点B的横坐标是1
∴
∴
当甲乙相遇前，甲、乙两车相距时，
依题意得，，
解得，，
当甲乙相遇后，甲车重新开始运动时，
甲乙的距离为，
综上所述，当甲、乙两车相距时，t的值为或．
21．（本题9分）如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形．
(1)点的坐标为 ；
(2)求证：是的切线；
(3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查的是圆的综合，涉及切线的判定与性质，直角三角形的性质，直角坐标系等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）连接，过点作于点，过点作于点，根据为等边三角形，可得，，进而得到，再根据三角函数求出，进而求出，最后求出即可求解；
（2）由（1）知，，得到，的度数即可证明；
（3）由于的运动方向不确定，故分为当沿水平方向向右平移至时和沿水平方向向左平移至时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知，，
，
为等边三角形，
，
，
是的切线；
（3）如图2，当沿水平方向向右平移至时，设与相切于点，与轴相切于点，连接、、，
为等边三角形，
，
，
与均为的切线，
，
，
，
；
如图3，沿水平方向向左平移至时，连接、，
由（2）知，是的切线，
当过点、时，是的切线，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
又
，
，
，
综上所述，或．
22．（本题8分）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；
(2)点E坐标为．
【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键．
（1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可；
（2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意点B的坐标为，
∵点、B都在反比例函数图象上，
∴，解得，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵点A坐标为，点E坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数图象上，
∴，
解得，，
因为点A坐标为，
所以舍去，所以点E坐标为．
23．（本题10分）如图，在中，O是边上的一点，以点O为圆心，的长为半径的恰好与边相切于点A，与边交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等边对等角等等，熟知圆的相关性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角可得，，则可证明，进一步可证明，再由相似三角形的判定定理即可证明结论；
（2）利用相似三角形对应边成比例建立比例式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
由题意得，为的直径，
∴，
∴，
∵与边相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵的半径为，
∴，
∵，
∴，即，
∴或（舍去）．
24．（本题12分）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F，
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值；
(3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)4或
【分析】（1）先证明，再证明，进而即可求得线段EF的长；
（2）过点N作于点M，证明得出再证明得出，设则，代入比例式得出，进而即可求解；
（3）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q；当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：
又
解得；
（2）如图，过点N作于点M，
即，
又
设，则
解得
；
（3）如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作于点Q，
设，则，
又
即
解得
在中，，
；
如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，
设，则
即
解得
，
综上所述：的长度为4或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键
25．（本题12分）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批发价/（元/千克） 4 3
零售价/（元/千克） 5
(1)（6分）第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元；
(2)（6分）受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）．
①请求出w与m的函数关系式；
②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)全部售完获利为580元
(2)①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用；
（1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解；
（2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜的获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解；
②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解；
找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克，
根据题意列出方程组为：
解得：，
全部售完获利：
（元）．
（2）解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜（）件，
根据题意
，
②超市第二次获利不能超过第一次获利，
理由如下：
，
解得：，
由①可知，，
，
一次函数w随m的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
（元），
，
超市第二次获利不能超过第一次获利．
26．（本题12分）桑梯—登以探桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．
(1)（5分）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．
(2)（7分）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，精确到米）
【答案】(1)2.2米
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知易得是等边三角形，从而可得，再根据线段中点的定义可得米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义列式求出的长，即可得到答案；
（2）过点作，垂足为，然后分两种情况：当时；当时，分别运用三角函数列式求出的长，即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示：
米，，
是等边三角形，
，
点是的中点，
米，
米，
在中，，
答：此人离地面（）的高度约为米；
（2）解：过点作，垂足为，如图所示：
当 时，
米，
，
米，
米，
在中，；
当时，
米，
，
米，
米，
在中，；
在安全使用范围下，桑梯顶端到地面的距离范围是．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及等边三角形的判定与性质、中点定义、正弦定义、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线，构造直角三角形运用三角函数求解是解题的关键．
27．（本题12分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变．
(1)（6分）若，求的长（结果保留到小数点后一位）；
(2)（6分）当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长（结果保留到小数点后一位）．（参考数据：，取）
【答案】(1)的长约为；
(2)点O在此过程中运动的路径长约为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，求弧长：
（1）作于H，解直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据题意，点运动的路径长为半径为，圆心角为60度的弧长，利用等边三角形的性质和弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，作于H，
，
，
在中，
，
，
，
的长约为；
（2），
，
，
是等边三角形，
半径为，圆心角为60度的弧长，
点O在此过程中运动的路径长约为．江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级下学期5月月考
数学试卷
（考试时长：100分钟 试卷分值：150分 形式：闭卷）
(
班级_____________ 姓名_______________ 学号______________ 考号_______________
…………………………………
装
………………………………………
订
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线
…………………………………………
)一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（本题3分）的相反数是（ ）
A． B．-2025 C． D．
2．（本题3分）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．9 B．4 C．5 D．6
4．（本题3分）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼
5．（本题3分）下列四个有理数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
6．（本题3分）下列式子不能因式分解的是( )
A．x2－4 B．3x2＋2x C．x2＋25 D．x2－4x＋4
7．（本题3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．方程 有两个实数根
D．二次函数 的顶点坐标为
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（本题3分）|x－2|＋9有最小值为 ．
10．（本题3分）已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为 ．
11．（本题3分）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为 ．
12．（本题3分）若使分式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（本题3分）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
14．（本题3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
15．（本题3分）如图，在中，，，是线段外一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为 ．
16．（本题3分）小华参加“中探协”组织的徒步探险旅行活动，每天有“低强度”“高强度”“休整”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休整”（第一天可选择“高强度”）．则小华5天徒步探险旅行活动的最远距离为 km．
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
低强度 8 7 5 6 5
高强度 12 13 14 12 9
休整 0 0 0 0 0
三．解答题（共102分）
17．（本题6分）化简：
18．（本题6分）求满足不等式组的所有整数解之和．
19．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
20．（本题9分）有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为，乙车从N地驶往M地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动．途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往N地．设甲车行驶的时间为t（单位：h），甲、乙两车之间的距离为s（单位：），s与t之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题：
(1)M，N两地之间的距离为______；
(2)求出点B的横坐标；
(3)当甲、乙两车相距时，请直接写出t的值．
21．（本题9分）如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形．
(1)点的坐标为 ；
(2)求证：是的切线；
(3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标．
22．（本题8分）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
23．（本题10分）如图，在中，O是边上的一点，以点O为圆心，的长为半径的恰好与边相切于点A，与边交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．
24．（本题12分）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F，
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值；
(3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度．
25．（本题12分）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批发价/（元/千克） 4 3
零售价/（元/千克） 5
(1)（6分）第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元；
(2)（6分）受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）．
①请求出w与m的函数关系式；
②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
26．（本题12分）桑梯—登以探桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．
(1)（5分）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．
(2)（7分）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，精确到米）
27．（本题12分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变．
(1)（6分）若，求的长（结果保留到小数点后一位）；
(2)（6分）当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长（结果保留到小数点后一位）．（参考数据：，取）

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