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九年级数学抽测试题
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）的相反数是（ ）
A． B．5 C． D．
2．（本题3分）榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（本题3分）截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）若在实数范围内有意义，则满足的条件为（ ）
A． B． C．且 D．
5．（本题3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作交于点E，分别过点D、点C作、的平行线交于点F，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（本题3分）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ）
A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在实数范围内分解因式： ．
12．（本题3分）在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为 ．
13．（本题3分）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则 ．
14．（本题3分）如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为 ．
15．（本题3分）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为 ，的面积为 ．（用含正整数的代数式表示）
三、解答题（共75分）
16．（本题7分）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
(1)老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
(2)请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值．
17．（本题8分）如图，在△ABC中，．
(1)实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)计算：若，，求线段的长．
18．（本题8分）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c
(1)在以上成绩统计表中，_____，_____，_____．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
19．（本题8分）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为74°，即．
(1)求立管的长；
(2)当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，）
20．（本题8分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上；
(3)在（2）的条件下，连接，，求的面积．
21．（本题10分）如图，内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点D，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．（本题12分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，经过点的直线与该抛物线交于另一点，是第四象限的该抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
给出部分点的横坐标与对应的长的值如表，请补全表格；
请在如图所示的平面直角坐标系中描出点，并画出函数图象．
(3)设直线与轴交于点，在点的运动过程中，是否存在一点，使得△CEQ为直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标和的长；若不存在，请说明理由．
23．（本题14分）综合与探究
数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质．
【操作探究】
（1）如图1，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转到矩形的位置，当经过点D时，连接，线段的长度为 ；
（2）如图2，菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点E，与交于点F，延长、交于点M．判断四边形的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）①如图3，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，小华猜想此时点D应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空：
②在①的条件下，若，，，则的长为 ；
【拓展提升】
（4）如图5，在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置，当点第一次落在边上时，边与边相交于点G，则的长为 ．（用含的式子表示）2024-2025学年度第二学期第三次学业水平检测
17(8分).
九年级数学答题卡
考号： 姓名： 班级： 考场： 座号：
注 意 事 项 准 考 证 号
1. 答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号等填写清 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
楚。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
净。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3. 主观题必须使用黑色签字笔书写。
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4. 18(8分).必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
效。
5. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6保持答卷清洁完整。
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
正确填涂 缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
一、选择题(30分)
1 A B C D 6 A B C D
2 A B C D 7 A B C D
3 A B C D 8 A B C D 19(8分).
4 A B C D 9 A B C D
5 A B C D 10 A B C D
二、填空题(15分)
11. 12. 13.
. 14 15.
三、解答题(75分)
16(7分).
20(8分).
第1页(共4页) 第2页(共4页)
{#{QQABYYYQoggIQABAARhCEQFICgIQkAGAAQoOAAAcMAAAwANABAA=}#}
反 面 答 题 卡 ， 请 保 持 字 迹 清 晰
21(8分). 23(10分).
22(8分).
第3页(共4页) 第4页(共4页)
{#{QQABYYYQoggIQABAARhCEQFICgIQkAGAAQoOAAAcMAAAwANABAA=}#}2024-2025学年度第二学期第三次学业水平检测
九年级数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C C A A A C D
1．C
【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义
【分析】本题考查了绝对值和相反数，根据负数的绝对值等于它的相反数，以及结合只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可．
【详解】解：，
∵的相反数是，
∴的相反数是，
故选：C
2．C
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了物体的三视图，掌握物体三视图的画法（看不见的线条用虚线）是解题的关键．
根据从上面看到的图形即可求解解答．
【详解】
解：榫的俯视图为．
故选C．
3．C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．正确的确定的值即可．
【详解】解：亿，
故选：C
4．C
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0．据此求解即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，，
，且，
故选：C．
5．C
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
6．A
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列出表格如下：
宫 商 角 徵 羽
宫 宫，宫 宫，商 宫，角 宫，徵 宫，羽
商 商，宫 商，商 商，角 商，徵 商，羽
角 角，宫 角，商 角，角 角，徵 角，羽
徵 徵，宫 徵，商 徵，角 徵，徵 徵，羽
羽 羽，宫 羽，商 羽，角 羽，徵 羽，羽
共25种等可能的结果，其中，先发出“宫”音，再发出“羽”音的结果只有1种，
∴；
故选：A．
7．A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
∵正方形的边在x轴上，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
8．A
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定与性质以及锐角三角函数，由菱形的性质得，，由，得出，证明四边形是矩形，得，证明，由可求出，即，求出，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故选：A．
9．C
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H，
∵六边形是正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴；
故选C．
10．D
【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax +bx+c的图象与性质、求反比例函数值
【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy= x+18y=2a+1xy= x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D．
【详解】解：A．∵，
∴不是“乾坤点”，故选项A错误；
B．∵函数的图象上存在“乾坤点”，
∴，
解得，
∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误；
C．若函数是“乾坤函数”，
则，即，
∴，
∴方程无解，
∴函数的图象上不存在“乾坤点”，
∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误；
D．∵是“乾坤函数”，
∴，
化简，得，
∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，
∴有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴方程为，
解得，
∴，
∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确，
故选：D．
11．
【知识点】实数范围内分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用提公因式及平方差公式进行分解因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解：原式；
故答案为．
12．
【知识点】求圆锥的高
【分析】本题考查了圆锥的计算，同时考查了弧长公式和勾股定理．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用弧长求得弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴，
解得，
故圆锥的高为：，
故答案为：．
13．4
【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求其他不规则图形的面积
【分析】设的半径为，则，根据，即，求，然后代入求面积即可．
【详解】解：由题意知，，设的半径为，则，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．
14．10
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质，证明，设点，从而得到，再将点和代入一次函数解析式，求出、的值，进而得到的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
设点，
，，
，，
，
一次函数的图象经过正方形的顶点和，
，解得：，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
15． /
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
根据特殊直角三角形的性质，求出，的边长，即可求出其面积，同理求出的边长，即可求其的面积．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的边长，
∵，，
∴，
又∵，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，
在中，，，
∴，，
∴，
在中，同理可求的边长，
∴；
在中，，，
∴，，
∴，
在中，同理可求的边长
……，
∴的边长，
∴．
故答案为：，．
16．(1)小明的解法：①错误；小红的解法：②错误
(2)
【知识点】分式化简求值、异分母分式加减法
【分析】此题考查了异分母分式减法，分子化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据异分母分式减法运算法则判断即可；
（2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】（1）解：小明的解法：①错误，原因是直接去掉了分母；
小红的解法：②错误，原因是合并时分子减分子，符号错误．
（2）解：原式


；
当时，原式．
17．(1)见解析
(2)
【知识点】尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图)、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，作垂直平分线，等角对等边以及勾股定理的应用，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）作的垂直平分线交于点，连接，或直接作作 ；
（2）根据得出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）答案不唯一，如图，即为所求
（2）
∴
在中，
∴，
即
解得：
18．(1)6；7；7
(2)小明是甲组的学生，理由见解析
(3)选乙组参加决赛，理由见解析
【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、运用方差做决策
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
，
乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
所以众数．
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
19．(1)
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，等腰直角三角形的性质等知识．
（1）设，则，根据勾股定理即可求出．
（2）过点作于，由正弦与余弦的定义求出和，由等腰直角三角形的性质得出，最后再根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）解：设，则
由题意得：
解得：（不合题意，舍去）
因此，
（2）解：过点作于
在中，
，
因此，
20．(1)
(2)说明见解析
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和轴对称、中心对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可；
（3）首先得到点N，O，C三点共线，且，然后利用代数求解即可．
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）已知，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点N的坐标为．
∵，
∴点N在反比例函数的图象上；
（3）如图所示，
∵点C的坐标为，点N的坐标为，
∴点C和点N关于原点中心对称，
∴点N，O，C三点共线，且，
∴
21．(1)证明见解析
(2)6
【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再利用圆周角定理结合切线的性质可证，进而推出，利用垂径定理可得，推出，由圆周角定理得到，推出，即可得出结论；
（2）证明，推出，设，求出，利用勾股定理求出，由，建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，是的切线，切点为，
∴，即，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴的半径为．
22．(1)；
(2)；；；见解析；
(3)存在，点的坐标为，的长为或点的坐标为，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形运动问题(实际问题与二次函数)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，待定系数法求解析式，画函数图象等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求解析式即可；
（）先求出直线解析式，令，然后求出点的坐标为，由题意得点的坐标为，则点的坐标为，然后分当时，当时求出与之间的函数关系式即可；
将代入，得；当时，点和点重合，即可；
根据画函数图象的步骤即可；
（）求出点的坐标为，又点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后分两种情况当时，当时分析即可．
【详解】（1）解：把点，代入中，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵点在直线图象上，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
令，
解得，，
把代入，得，
∴点的坐标为，
由题意得点的坐标为，则点的坐标为，
∵是第四象限的该抛物线上一点，
∴当时，；
当时，；
综上所述，与之间的函数关系式为；
将代入，得；当时，点和点重合，
∴；
故答案为：；；
画出函数图象如下图所示：
（3）解：存在，如图，
由直线解析式为，得当时，，
∴点的坐标为，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∵是直角三角形，且，
分两种情况．
当时，，
，解得或（舍去），
此时点的坐标为，的长为；
当时，即，
∴，解得，
此时点与点重合，点的坐标为，，
综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为，的长为或点的坐标为，．
23．（1）；（2）四边形是菱形，证明见解析；（3）①，；②；（4）
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(旋转综合题)
【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由旋转的性质得，，，， ，然后由勾股定理得，则，即可解决问题；
（2）先证四边形是平行四边形，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（3）①连接，证明，可得，结合四边形是平行四边形，得，再证、、共线，即可得出结论；
②先证明，可得，，如图，过作，则，证明，，可得，，进一步即可解决问题．
（4）如图，连接，，，，证明四边形是矩形，可得，，而，在的延长线上，求解，再证明，从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，
∵四边形是矩形，
，，，
由旋转的性质得：，，， ， ，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
在中，由勾股定理得：
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
菱形绕点旋转，与共线，
，，，，，
四边形是平行四边形，
，即，
在和中，
，
∴，
，
四边形是菱形；
（3）①如图，连接，
由旋转的性质得：，，，
和都是等腰三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形由四边形旋转而成，
四边形是平行四边形，
，
又，
、、共线，
图中①为：，图中②为：；
②由①得：，
∴，
∵，，，四边形，是平行四边形，结合旋转；
∴，，，
∴，
∴，
∴，
如图，过作，则，
∴，，，
由旋转可得：，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（4）∵在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置，
∴，，，，
如图，连接，，，，
∵为的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，而，
∴，在的延长线上，
∴，
∵四边形，四边形都是平行四边形，结合旋转，
∴，而，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，锐角三角函数的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

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