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广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题
1．（2024高二下·广东期末）等差数列中，，则的公差（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024高二下·广东期末）已知随机变量的分布列如下表：
1 2 3
则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024高二下·广东期末）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·广东期末）已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程，已知，则（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2024高二下·广东期末）画条直线，将圆的内部区域最多分割成（　　）
A．部分 B．部分
C．部分 D．部分
6．（2024高二下·广东期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广东期末）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为（　　）
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．4.238 B．4.972 C．6.687 D．6.069
8．（2024高二下·广东期末）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·广东期末）下列函数中，存在极值点的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·广东期末）已知数列，其前项和记为，则（　　）
A．若是等差数列，且，则
B．若是等差数列，且，则
C．若是等比数列，且，其中为常数，则
D．若是等比数列，则也是等比数列
11．（2024高二下·广东期末）设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（　　）
A．A，B相互独立 B．
C． D．
12．（2024高二下·广东期末）当时，函数的最小值为　 　.
13．（2024高二下·广东期末）将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是　 　.
14．（2024高二下·广东期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为　 　.
15．（2024高二下·广东期末）数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·广东期末）小家电指除大功率 大体积家用电器（如冰箱 洗衣机 空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为.
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据：；
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
17．（2024高二下·广东期末）某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①；②；③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题：
（1）计算：；(请用数字作答)
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
18．（2024高二下·广东期末）为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为，已知各家庭抽查结果相互独立.
（1）求；
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值.
19．（2024高二下·广东期末）已知函数.
（1）求曲线与的公切线的条数；
（2）若，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，可得.
故答案为：A．
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的公差计算公式求解即可．
2．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列的性质可得：，即，
则.
故答案为：B．
【分析】根据分布列概率之和为1得，再由随机变量的期望公式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，，，，
由正态曲线的对称性可得：.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
4．【答案】B
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：设，则回归直线方程，
因为，所以，即样本点中心为，
又因为样本中心过回归直线方程，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】求和的平均数，根据回归方程必过样本点中心求解即可.
5．【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：设画条直线，将圆最多分割成部分，
则，，
，
累加可得：，
则，
经检验当，，符合上式，则 .
故答案为：B.
【分析】设画条线把圆最多分成部分，根据已知条件得到递推关系式，求出通项公式即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在区间上为增函数，所以，
则，
设，，则函数在单调递增，即，故实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由函数的定义域，求导，由题意可得恒成立，求导，求最值即可.
7．【答案】D
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解：由题意可知：，则的值可能为6.069.
故答案为：D.
【分析】由题意求得的取值范围，判断即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的图象；幂函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由可得，
对于，当时，在第一象限上递减，
对应图象在第四象限且递增，故A符合；
对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，
故且，则，
又由可得，
即与的图象交点横坐标应大于1，显然C不符合，B、D均符合.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，再通过特殊值和函数的单调性，则得出导函数图象在第四象限且单调递增，则判断出选项A；利用在第一象限上与的图象在上都单调递增，从而得出实数a的取值范围，再由可得与的图象交点横坐标应大于1，则判断出选项B、选项C和选项D，进而找出在同一直角坐标系中，与不可能的大致图象.
9．【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；函数在某点取得极值的条件；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，易知，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；
B、易知函数在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；
C、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故C正确；
D、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值逐项判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A、若为等差数列，当数列为常数列，不能得到，故A错误；
B、 若是等差数列， 设等差数列公差为，
由前项和，可得，故B正确；
C、 若是等比数列， 由，可得等比数列公比不为1，设公比为，
由等比数列前和公式得，则有，，
则常数，故C正确；
D、 若是等比数列，当公比时，若，，则就不是等比数列，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】举反例即可判断AD；由等差等比数列的前项和公式即可判断BC.
11．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知，
事件互斥且，同理，
所以，
即，解得，所以事件A，B相互独立，故A选项正确；
由A选项可得也相互独立，则，故B选项正确；
由条件概率公式可知：，故C选项错误；
，
即，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据独立事件，互斥事件的定义即可判断A，B，根据条件概率的定义可判断出C，D.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
则当时，函数取得最小值.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数定义域内的单调性，求函数的最小值即可.
13．【答案】240
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把5名志愿者分成4组，其中有2人一组，再将分好的4组分配到四个社区，则不同的分配方法数是种.
故答案为：240.
【分析】先将5名志愿者分成4组，再分配到4个社区，结合排列、组合知识求解即可.
14．【答案】
【知识点】数列的求和；二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：“杨辉三角”第行各项之和为：，
则第行去掉所有为的项的各项之和为：
从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为：
，即至第行结束，数列共有项，
第项为第行第个不为的数，即，
则前项的和为：.
故答案为：.
【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果.
15．【答案】（1）解：数列中，，，则，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，
故数列通项公式为；
（2）解：由（1）可知：，
当时，，，
当时，，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）等式变形可得，利用等差数列求通项即可；
（2）利用（1）的结论，求出，按为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和即可.
（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
16．【答案】（1）解：由上表数据可得：，
，则，
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
（2）解：由题可得：，
，，
故关于的经验回归方程为.
【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
（2）利用最小二乘法求出，，即可得到关于的经验回归方程.
（1）由已知得，
.
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题可得，
，
故关于的经验回归方程为.
17．【答案】（1）解：
；
（2）证明：显然，而，
因此，
则，
所以原命题成立；
（3）证明：设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
，
即对任意的，是关于x的一次函数.
【知识点】等差数列的性质；组合及组合数公式；二项展开式
【解析】【分析】（1）由题意，利用，结合组合数公式计算即可；
（2）根据给定条件，利用变形等式左边，再结合推理即可；
（3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即可.
（1）原式
.
（2）显然，而，
因此，
则.
所以原命题成立.
（3）设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
.
所以对任意的，是关于x的一次函数.
18．【答案】（1）解：由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，则；
（2）解：因为，
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以，
由，得，
令，
则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，所以整数的最小值是7.
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用错位相减法求抽取的家庭数不超过的概率，再结合数列的单调性求解即可.
（1）由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，
所以.
（2）因为.
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以.
由，得，
令，
则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，
所以整数的最小值是7.
19．【答案】（1）解：设曲线的切点分别为，求导可得，
则曲线在切点处的切线方程分别为，即，
，即，
由题意可得：，则，
解得或，因此曲线与有两条不同的公切线；
（2）解：由可得，
即对于恒成立，
，结合，解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以
，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得，即a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求导，分别求解的切线方程，
由题意可得，求解或，从而判断切线条数即可；
（2）将问题转化为对于恒成立，根据可得，进而构造函数证明，即可先求解，构造函数，求导，结合分类讨论求解即可.
（1）设的切点分别为，
则，
故在切点处的切线方程分别为，
则需满足；
，故，
解得或，
因此曲线与有两条不同的公切线，
（2）由可得，
即对于恒成立，
，结合解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得
1 / 1广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题
1．（2024高二下·广东期末）等差数列中，，则的公差（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，可得.
故答案为：A．
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的公差计算公式求解即可．
2．（2024高二下·广东期末）已知随机变量的分布列如下表：
1 2 3
则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列的性质可得：，即，
则.
故答案为：B．
【分析】根据分布列概率之和为1得，再由随机变量的期望公式计算即可.
3．（2024高二下·广东期末）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，，，，
由正态曲线的对称性可得：.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
4．（2024高二下·广东期末）已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程，已知，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】回归分析
【解析】【解答】解：设，则回归直线方程，
因为，所以，即样本点中心为，
又因为样本中心过回归直线方程，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】求和的平均数，根据回归方程必过样本点中心求解即可.
5．（2024高二下·广东期末）画条直线，将圆的内部区域最多分割成（　　）
A．部分 B．部分
C．部分 D．部分
【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：设画条直线，将圆最多分割成部分，
则，，
，
累加可得：，
则，
经检验当，，符合上式，则 .
故答案为：B.
【分析】设画条线把圆最多分成部分，根据已知条件得到递推关系式，求出通项公式即可.
6．（2024高二下·广东期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在区间上为增函数，所以，
则，
设，，则函数在单调递增，即，故实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由函数的定义域，求导，由题意可得恒成立，求导，求最值即可.
7．（2024高二下·广东期末）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为（　　）
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．4.238 B．4.972 C．6.687 D．6.069
【答案】D
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】解：由题意可知：，则的值可能为6.069.
故答案为：D.
【分析】由题意求得的取值范围，判断即可.
8．（2024高二下·广东期末）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；幂函数的图象与性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由可得，
对于，当时，在第一象限上递减，
对应图象在第四象限且递增，故A符合；
对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，
故且，则，
又由可得，
即与的图象交点横坐标应大于1，显然C不符合，B、D均符合.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，再通过特殊值和函数的单调性，则得出导函数图象在第四象限且单调递增，则判断出选项A；利用在第一象限上与的图象在上都单调递增，从而得出实数a的取值范围，再由可得与的图象交点横坐标应大于1，则判断出选项B、选项C和选项D，进而找出在同一直角坐标系中，与不可能的大致图象.
9．（2024高二下·广东期末）下列函数中，存在极值点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；函数在某点取得极值的条件；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，，易知，则函数在和上单调递增，没有极值点，故A错误；
B、易知函数在定义域上单调递减，没有极值点，故B错误；
C、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故C正确；
D、函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即当时，函数取得极小值，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值逐项判断即可.
10．（2024高二下·广东期末）已知数列，其前项和记为，则（　　）
A．若是等差数列，且，则
B．若是等差数列，且，则
C．若是等比数列，且，其中为常数，则
D．若是等比数列，则也是等比数列
【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A、若为等差数列，当数列为常数列，不能得到，故A错误；
B、 若是等差数列， 设等差数列公差为，
由前项和，可得，故B正确；
C、 若是等比数列， 由，可得等比数列公比不为1，设公比为，
由等比数列前和公式得，则有，，
则常数，故C正确；
D、 若是等比数列，当公比时，若，，则就不是等比数列，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】举反例即可判断AD；由等差等比数列的前项和公式即可判断BC.
11．（2024高二下·广东期末）设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（　　）
A．A，B相互独立 B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知，
事件互斥且，同理，
所以，
即，解得，所以事件A，B相互独立，故A选项正确；
由A选项可得也相互独立，则，故B选项正确；
由条件概率公式可知：，故C选项错误；
，
即，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据独立事件，互斥事件的定义即可判断A，B，根据条件概率的定义可判断出C，D.
12．（2024高二下·广东期末）当时，函数的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
则当时，函数取得最小值.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数定义域内的单调性，求函数的最小值即可.
13．（2024高二下·广东期末）将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是　 　.
【答案】240
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：把5名志愿者分成4组，其中有2人一组，再将分好的4组分配到四个社区，则不同的分配方法数是种.
故答案为：240.
【分析】先将5名志愿者分成4组，再分配到4个社区，结合排列、组合知识求解即可.
14．（2024高二下·广东期末）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为　 　.
【答案】
【知识点】数列的求和；二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：“杨辉三角”第行各项之和为：，
则第行去掉所有为的项的各项之和为：
从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为：
，即至第行结束，数列共有项，
第项为第行第个不为的数，即，
则前项的和为：.
故答案为：.
【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果.
15．（2024高二下·广东期末）数列满足，.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：数列中，，，则，
即数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，
故数列通项公式为；
（2）解：由（1）可知：，
当时，，，
当时，，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）等式变形可得，利用等差数列求通项即可；
（2）利用（1）的结论，求出，按为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和即可.
（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
16．（2024高二下·广东期末）小家电指除大功率 大体积家用电器（如冰箱 洗衣机 空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为.
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据：；
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（1）解：由上表数据可得：，
，则，
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
（2）解：由题可得：，
，，
故关于的经验回归方程为.
【知识点】线性回归方程；回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
（2）利用最小二乘法求出，，即可得到关于的经验回归方程.
（1）由已知得，
.
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题可得，
，
故关于的经验回归方程为.
17．（2024高二下·广东期末）某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①；②；③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题：
（1）计算：；(请用数字作答)
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
【答案】（1）解：
；
（2）证明：显然，而，
因此，
则，
所以原命题成立；
（3）证明：设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
，
即对任意的，是关于x的一次函数.
【知识点】等差数列的性质；组合及组合数公式；二项展开式
【解析】【分析】（1）由题意，利用，结合组合数公式计算即可；
（2）根据给定条件，利用变形等式左边，再结合推理即可；
（3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即可.
（1）原式
.
（2）显然，而，
因此，
则.
所以原命题成立.
（3）设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
.
所以对任意的，是关于x的一次函数.
18．（2024高二下·广东期末）为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为，已知各家庭抽查结果相互独立.
（1）求；
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值.
【答案】（1）解：由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，则；
（2）解：因为，
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以，
由，得，
令，
则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，所以整数的最小值是7.
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用错位相减法求抽取的家庭数不超过的概率，再结合数列的单调性求解即可.
（1）由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，
所以.
（2）因为.
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以.
由，得，
令，
则.，
所以，所以数列是递减数列，
因为，
所以整数的最小值是7.
19．（2024高二下·广东期末）已知函数.
（1）求曲线与的公切线的条数；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：设曲线的切点分别为，求导可得，
则曲线在切点处的切线方程分别为，即，
，即，
由题意可得：，则，
解得或，因此曲线与有两条不同的公切线；
（2）解：由可得，
即对于恒成立，
，结合，解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以
，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得，即a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求导，分别求解的切线方程，
由题意可得，求解或，从而判断切线条数即可；
（2）将问题转化为对于恒成立，根据可得，进而构造函数证明，即可先求解，构造函数，求导，结合分类讨论求解即可.
（1）设的切点分别为，
则，
故在切点处的切线方程分别为，
则需满足；
，故，
解得或，
因此曲线与有两条不同的公切线，
（2）由可得，
即对于恒成立，
，结合解得
设，
则当时单调递减，当时，单调递增，
故当，故
因此，，
令，则，
令，得，
当时，此时，，故在上单调递减，
所以，
所以，由于进而，满足题意，
当时，此时，
令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
故，
令，则，
由于，所以，
故在单调递减，故，即可，
因此
所以，由于进而，满足题意，
综上可得
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