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广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·清远期末）为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（　　）
A．34 B．40 C．56 D．68
2．（2024高一下·清远期末）要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（　　）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
3．（2024高一下·清远期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
4．（2024高一下·清远期末）将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·清远期末）弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·清远期末）已知正方形的边长为2，，，，则（　　）
A．0 B．8 C． D．
7．（2024高一下·清远期末）设为复数，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024高一下·清远期末）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·清远期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（　　）
A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件
C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件
10．（2024高一下·清远期末）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则（　　）
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
11．（2024高一下·清远期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．角的最大值为
C． D．若，则
12．（2024高一下·清远期末）复数，则的虚部为　 　．
13．（2024高一下·清远期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　 　．
14．（2024高一下·清远期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为　 　．
15．（2024高一下·清远期末）已知复数，求当实数为何值时；
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）为虚数．
16．（2024高一下·清远期末）某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求，的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
17．（2024高一下·清远期末）中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求；
（2）若且的面积为，求边长．
18．（2024高一下·清远期末）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
19．（2024高一下·清远期末）将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意得，抽样比为，
所以，从学校中应抽取的人数为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，从而得出从学校中应抽取的人数.
2．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得的图象.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换，从而找出正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：因为正棱锥底面是正多边形，
还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，故A错误；
因为多面体中面数最少为三棱锥，有四个面，故B正确；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，
还需要满足各个侧面的交线互相平行，故C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，
故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据简单几何体的结构特征逐项判断找出说法正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大，
所以球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，
可能制作的最大零件的表面积为.
故答案为：B.
【分析】由正方体的棱长得出正方体内切球的半径，再代入球的表面积公式得出可能制作的最大零件的表面积．
5．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数（，），
由图象可知，最小正周期，
则.
故答案为：C.
【分析】由正弦型函数图象得到正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期得出的值.
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量的坐标运算，从而得出的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出向量的模.
7．【答案】A
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设复数，
因为，所以，即，
由，解得，
则，当时，有最小值，且.
故答案为：A.
【分析】设复数，根据求得的关系，再根据复数的模的公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取的中点，
分别连接
在正方形中，
因为分别为的中点，
，
可得，
所以，
因为，
所以，
所以，则，
又因为分别为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，又因为且平面，
所以平面，
则平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为4，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，
所以，截面的面积为：
.
故答案为：D.
【分析】取的中点，由得出，再由平面证出，从而得到平面，同理证出，利用线面垂直的判定定理证出直线平面，从而得到平面截正方体的截面为，进而得出截面的面积.
9．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，
所以E，F是对立事件，故选项A正确；
因为点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，
所以G，H为互斥且对立事件，故选项B不正确；
因为点数为奇数与点数大于2可能同时发生，
所以E，G不互斥，故选项C正确；
因为点数大于2与点数为1不可能同时发生，
所以G，R为互斥事件，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和对立事件的定义、互斥事件的定义和事件之间的关系，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，由已知可得，
甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确；
对于B，由已知可得，
甲组数据的平均数为，
乙组数据的平均数为，故B正确；
对于C，由已知可得，甲组数据的方差为：，
乙组数据的方差为：
，
故C正确；
对于D，由以上可知甲、乙两组数据混合后，方差为，
故D项错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲和乙两组数据混合后的方差，再进行比较，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可知，
整理可知，故A正确；
因为，
当且仅当时取等号，
又因为，
所以的最大值为，故B正确；
由特例，满足，故C错误；
由，
可得，解得，
又因为，
可得，，为最大边，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出，则可判断出选项A；利用已知条件结合余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而可得角的最大值，则判断出选项B；举反例判断出选项C；结合已知条件可得，，再利用余弦定理得出角A的余弦值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数，
则，
所以，此复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】由复数的除法运算法化简复数，再由复数虚部的定义得出复数的虚部.
13．【答案】5
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理得，
得，
所以，
解得或，
又因为，
所以.
故答案为：5.
【分析】利用余弦定理，将，，代入计算，从而可得出的值.
14．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算；余弦定理的应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取靠近点的三等分点，连接，
取靠近点的三等分点，连接，
因为底面是矩形，，，
又因为，，
则，且，
又因为底面，底面，，，
又因为，平面，
所以平面，平面，
则为三棱锥的高，
所以，
在中，，，
在中，，
在中，，，
在中，，
则，，
在中，，
在中，
在中，，，，
由余弦定理得，
则
所以，
设到平面的距离为，
，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件得出点到平面的距离为三棱锥的高，由和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面的距离.
15．【答案】（1）解：当且时，复数为实数，
解得，
所以时，复数为实数.
（2）解：当且且时，
复数为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数为纯虚数.
（3）解：当且时，复数为虚数，
解得且，
所以且时，复数为虚数.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数为实数的条件列方程和不等式组，从而得出m的值.
（2）根据复数为纯虚数的条件列方程和不等式组，从而得出m的值.
（3）根据复数为虚数的条件列不等式组，从而求出m的值.
（1）当且时，复数为实数，解得，
所以时，复数为实数；
（2）当且且时，复数为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数为纯虚数；
（3）当且时，复数为虚数，解得且，
所以且时，复数为虚数.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，
取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为.
（2）解：由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
由第三、四、五组的频率之和为0.7，
则，
化简得：，
所以.
（3）解：第一组频率为，
第二组频率为，
第三组频率为，
第四组频率为，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，
则，解得：，
则可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值，从而估计出这100名候选者面试成绩的众数.
（2）利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合概率和为1，从而联立方程组得出a，b的值.
（3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数，从而估计出这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
（1）根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为；
（2）由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则，
化简得：，所以；
（3）第一组频率为，第二组频率为，
第三组频率为，第四组频率为，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，
则，解得：，
即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．
17．【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得，
由，
所以，
因为，，
则，
所以，
又因为，则，
所以.
（2）解：由（1）可得，
则
由正弦定理得，
则，，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为：
，
由的面积为，
可得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再结合两角和的正弦公式、辅助角公式以及三角形中角B的取值范围，从而化简进行求解，进而得出角B的值.
（2）由正弦定理得，，再代入三角形面积公式结合已知条件，从而求出边长的值.
（1）中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，则，所以.
（2）由（1），
而，
由正弦定理有，从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
18．【答案】（1）证明：如图，连接，
因为为边上的中点，为边上的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：在四边形中，，，，
则，
所以，
则，
所以都是等腰直角三角形，则，
又因为平面平面，，
所以，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（3）解：因为，
又因为直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，
则，
在中，，，
取的中点，连接，过作的垂线交于，连接，
由，平面，
平面平面，平面平面，
则平面，
又因为平面，所以，，
，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又因为，
所以，
又因为，
在中，
由勾股定理得，
则，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，可得，从而证出直线平面.
（2）由已知条件可得都是等腰直角三角形，则，从而可得平面，则得出，再结合线面垂直的判定定理得出平面，从而证出.
（3）由已知条件和（2）可得为直线与底面所成的角，从而证出为二面角的平面角，利用三角形相似得出的长，再结合正切函数的定义得出二面角的正切值.
（1）如图，连接，
因为为边上的中点，为边上的中点，
所以，又平面，又平面，
所以平面.
（2）在四边形中，，，，
则，
所以，则，
所以都是等腰直角三角形，则，
又平面平面，，即，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，又平面，
所以平面，又平面，
所以.
（3）已知，直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，则，
所以在中，则，，
取的中点，连接，过作的垂线交于，连接，
由，平面，平面平面，平面平面，
则平面，
又平面，所以，，
，平面，，
所以平面，又平面，所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又，所以，又，
则在中，由勾股定理，
则，所以.
19．【答案】（1）解：当时，，
则这个数中共有195个数字，其中数字0的个数为12，
则恰好取到0的概率为.
（2）解：当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，
则；
当时，
这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，
则；
当时，
这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，个四位数组成，
则，
综上所述：.
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
则，
同理得出：，
由，
可知，
所以，当时，，
当时，；
当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，
有最大值为，
又因为，
所以当时的最大值为．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）计算，数字0的个数为12，再结合古典概率公式得出的值.
（2）先考虑，，，四种情况，再利用的定义，从而依次计算得出当时的的表达式.
（3）考虑当时，时， 当时三种情况，从而得到函数和函数的解析式，从而得到，再计算概率的最值得到当时的最大值.
（1）当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为.
（2）当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：.
（3）当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为．
1 / 1广东省清远市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
1．（2024高一下·清远期末）为了调查某地三所学校未成年人的视力情况，计划采用分层随机抽样的方法从该地的，，三所中学抽取130名学生进行调查，已知，，三所学校中分别400，560，340名学生，则从学校中应抽取的人数为（　　）
A．34 B．40 C．56 D．68
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意得，抽样比为，
所以，从学校中应抽取的人数为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，从而得出从学校中应抽取的人数.
2．（2024高一下·清远期末）要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（　　）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得的图象.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换，从而找出正确的选项.
3．（2024高一下·清远期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：因为正棱锥底面是正多边形，
还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，故A错误；
因为多面体中面数最少为三棱锥，有四个面，故B正确；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，
还需要满足各个侧面的交线互相平行，故C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，
故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据简单几何体的结构特征逐项判断找出说法正确的选项.
4．（2024高一下·清远期末）将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为正方体的棱长为1，要使制作成球体零件最大，
所以球内切于正方体，则球的直径为1，半径为，
可能制作的最大零件的表面积为.
故答案为：B.
【分析】由正方体的棱长得出正方体内切球的半径，再代入球的表面积公式得出可能制作的最大零件的表面积．
5．（2024高一下·清远期末）弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数（，），
由图象可知，最小正周期，
则.
故答案为：C.
【分析】由正弦型函数图象得到正弦型函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最小正周期得出的值.
6．（2024高一下·清远期末）已知正方形的边长为2，，，，则（　　）
A．0 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量的坐标运算，从而得出的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而得出向量的模.
7．（2024高一下·清远期末）设为复数，若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设复数，
因为，所以，即，
由，解得，
则，当时，有最小值，且.
故答案为：A.
【分析】设复数，根据求得的关系，再根据复数的模的公式求解即可.
8．（2024高一下·清远期末）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取的中点，
分别连接
在正方形中，
因为分别为的中点，
，
可得，
所以，
因为，
所以，
所以，则，
又因为分别为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以，所以，
又因为且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，又因为且平面，
所以平面，
则平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为4，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，
所以，截面的面积为：
.
故答案为：D.
【分析】取的中点，由得出，再由平面证出，从而得到平面，同理证出，利用线面垂直的判定定理证出直线平面，从而得到平面截正方体的截面为，进而得出截面的面积.
9．（2024高一下·清远期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（　　）
A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件
C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：因为点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，
所以E，F是对立事件，故选项A正确；
因为点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，
所以G，H为互斥且对立事件，故选项B不正确；
因为点数为奇数与点数大于2可能同时发生，
所以E，G不互斥，故选项C正确；
因为点数大于2与点数为1不可能同时发生，
所以G，R为互斥事件，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和对立事件的定义、互斥事件的定义和事件之间的关系，从而逐项判断找出结论正确的选项.
10．（2024高一下·清远期末）甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲68 71 72 72 82
乙66 70 72 78 79
则（　　）
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D．甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，由已知可得，
甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，故A正确；
对于B，由已知可得，
甲组数据的平均数为，
乙组数据的平均数为，故B正确；
对于C，由已知可得，甲组数据的方差为：，
乙组数据的方差为：
，
故C正确；
对于D，由以上可知甲、乙两组数据混合后，方差为，
故D项错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据已知数据求出甲与乙的极差、平均数、方差、甲和乙两组数据混合后的方差，再进行比较，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2024高一下·清远期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．角的最大值为
C． D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可知，
整理可知，故A正确；
因为，
当且仅当时取等号，
又因为，
所以的最大值为，故B正确；
由特例，满足，故C错误；
由，
可得，解得，
又因为，
可得，，为最大边，
所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出，则可判断出选项A；利用已知条件结合余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而可得角的最大值，则判断出选项B；举反例判断出选项C；结合已知条件可得，，再利用余弦定理得出角A的余弦值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高一下·清远期末）复数，则的虚部为　 　．
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数，
则，
所以，此复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】由复数的除法运算法化简复数，再由复数虚部的定义得出复数的虚部.
13．（2024高一下·清远期末）在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则　 　．
【答案】5
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理得，
得，
所以，
解得或，
又因为，
所以.
故答案为：5.
【分析】利用余弦定理，将，，代入计算，从而可得出的值.
14．（2024高一下·清远期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且点满足，已知，，，则到平面的距离为　 　．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算；余弦定理的应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取靠近点的三等分点，连接，
取靠近点的三等分点，连接，
因为底面是矩形，，，
又因为，，
则，且，
又因为底面，底面，，，
又因为，平面，
所以平面，平面，
则为三棱锥的高，
所以，
在中，，，
在中，，
在中，，，
在中，，
则，，
在中，，
在中，
在中，，，，
由余弦定理得，
则
所以，
设到平面的距离为，
，所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件得出点到平面的距离为三棱锥的高，由和三棱锥的体积公式，从而得出点到平面的距离.
15．（2024高一下·清远期末）已知复数，求当实数为何值时；
（1）为实数；
（2）为纯虚数；
（3）为虚数．
【答案】（1）解：当且时，复数为实数，
解得，
所以时，复数为实数.
（2）解：当且且时，
复数为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数为纯虚数.
（3）解：当且时，复数为虚数，
解得且，
所以且时，复数为虚数.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数为实数的条件列方程和不等式组，从而得出m的值.
（2）根据复数为纯虚数的条件列方程和不等式组，从而得出m的值.
（3）根据复数为虚数的条件列不等式组，从而求出m的值.
（1）当且时，复数为实数，解得，
所以时，复数为实数；
（2）当且且时，复数为纯虚数，
解得或，
所以或时，复数为纯虚数；
（3）当且时，复数为虚数，解得且，
所以且时，复数为虚数.
16．（2024高一下·清远期末）某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的众数；
（2）求，的值；
（3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，
取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为.
（2）解：由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
由第三、四、五组的频率之和为0.7，
则，
化简得：，
所以.
（3）解：第一组频率为，
第二组频率为，
第三组频率为，
第四组频率为，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，
则，解得：，
则可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值，从而估计出这100名候选者面试成绩的众数.
（2）利用频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合概率和为1，从而联立方程组得出a，b的值.
（3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数，从而估计出这100名候选者面试成绩的第80百分位数．
（1）根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为，
所以估计这100名候选者面试成绩的众数为；
（2）由频率分布直方图中的频率和为1可得，，
化简得：，
又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则，
化简得：，所以；
（3）第一组频率为，第二组频率为，
第三组频率为，第四组频率为，
所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为，
则，解得：，
即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为．
17．（2024高一下·清远期末）中，角，，的对边分别为，，，若．
（1）求；
（2）若且的面积为，求边长．
【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得，
由，
所以，
因为，，
则，
所以，
又因为，则，
所以.
（2）解：由（1）可得，
则
由正弦定理得，
则，，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为：
，
由的面积为，
可得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再结合两角和的正弦公式、辅助角公式以及三角形中角B的取值范围，从而化简进行求解，进而得出角B的值.
（2）由正弦定理得，，再代入三角形面积公式结合已知条件，从而求出边长的值.
（1）中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，则，所以.
（2）由（1），
而，
由正弦定理有，从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为，
由已知的面积为，可得，所以.
18．（2024高一下·清远期末）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明：如图，连接，
因为为边上的中点，为边上的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：在四边形中，，，，
则，
所以，
则，
所以都是等腰直角三角形，则，
又因为平面平面，，
所以，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（3）解：因为，
又因为直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，
则，
在中，，，
取的中点，连接，过作的垂线交于，连接，
由，平面，
平面平面，平面平面，
则平面，
又因为平面，所以，，
，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又因为，
所以，
又因为，
在中，
由勾股定理得，
则，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，可得，从而证出直线平面.
（2）由已知条件可得都是等腰直角三角形，则，从而可得平面，则得出，再结合线面垂直的判定定理得出平面，从而证出.
（3）由已知条件和（2）可得为直线与底面所成的角，从而证出为二面角的平面角，利用三角形相似得出的长，再结合正切函数的定义得出二面角的正切值.
（1）如图，连接，
因为为边上的中点，为边上的中点，
所以，又平面，又平面，
所以平面.
（2）在四边形中，，，，
则，
所以，则，
所以都是等腰直角三角形，则，
又平面平面，，即，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，又平面，
所以平面，又平面，
所以.
（3）已知，直线与底面所成角的余弦值为，
由（2）知，，平面，
则为直线与底面所成的角，则，
所以在中，则，，
取的中点，连接，过作的垂线交于，连接，
由，平面，平面平面，平面平面，
则平面，
又平面，所以，，
，平面，，
所以平面，又平面，所以，
则即为二面角的平面角，
因为，，
又，所以，又，
则在中，由勾股定理，
则，所以.
19．（2024高一下·清远期末）将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
【答案】（1）解：当时，，
则这个数中共有195个数字，其中数字0的个数为12，
则恰好取到0的概率为.
（2）解：当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，
则；
当时，
这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，
则；
当时，
这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，个四位数组成，
则，
综上所述：.
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
则，
同理得出：，
由，
可知，
所以，当时，，
当时，；
当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，
有最大值为，
又因为，
所以当时的最大值为．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）计算，数字0的个数为12，再结合古典概率公式得出的值.
（2）先考虑，，，四种情况，再利用的定义，从而依次计算得出当时的的表达式.
（3）考虑当时，时， 当时三种情况，从而得到函数和函数的解析式，从而得到，再计算概率的最值得到当时的最大值.
（1）当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为.
（2）当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：.
（3）当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由关于单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为．
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