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2024学年第二学期九年级数学
（考试时间：100分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1. 下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（ ）
A B. C. D.
2. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列与是同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
4. 在一次射击比赛选拔赛中，甲、乙、丙、丁四人的射击成绩如表所示，那么在这次比赛中，成绩又好且又稳定的选手是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均成绩（环） 9 9 8.5 8.5
标准差（环） 1.2 1.5 1.2 15
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 圆半径长为，对于圆的内接正六边形，下列说法错误的是（ ）
A. 中心角是 B. 内角是
C. 边心距为 D. 边长为
6. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
7. 计算：（a+2b）（a﹣2b）=_____．
8. 方程的解是________．
9. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．
10. 已知正比例函数的图象经过点，那么函数值随自变量的值的增大而______．（填“增大”或“减小”）
11. 纳米光刻机是半导体产业的皇冠明珠，由我国自主研造的纳米光刻机打破了西方的垄断．已知纳米等于米，数字用科学记数法可以表示为________．
12. 某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示）
13. 布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________．
14. 如图，在中，点D是线段上的点，且，若，，那么________．（用、的线性组合表示）
15. 某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了A、B、C三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校1500人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成图．根据该数据，估计全校约有________人会选择C类午餐．
16. 如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是________米．
17. 在中，，，，将翻折，点C恰好落在线段的中点D处，折痕分别交、于M、N，此时________．
18. 在中，，以D为圆心、为半径的交的延长线于点E，连接，交于点F．当时，的长为________．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分）如无特殊说明，本大题作答需写出证明或计算的主要步骤．
19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. （1）在中，记、、的对边分别为a、b、c．
①如图1，当是等边三角形（即）时，的面积为________（结果用含a的代数式表示）；
②如图2，当，，时，求的面积；
（2）三个含的全等的三角形可以拼成一个大等边三角形，内含一个小的等边三角形（如图3所示），当大等边三角形的面积是小等边三角形面积的16倍时，直接写出a、b满足的数量关系________．
22. 已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行．
（1）求直线表达式；
（2）若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值．
23. 已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O．
（1）求证：；
（2）当时，求证：．
24. 数学综合与实践课上，如图1老师发给每个小组一张矩形纸片、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作：、、的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）和一块橡皮．
实践任务：仅利用提供的工具将矩形纸片三等分，使原纸片的宽作为等分后纸片的一边．
对核心任务进行数学抽象：如图2，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度的直尺，在上确定点P，使．
下表是某组同学展示完成实践任务的操作步骤：
操作步骤 图示
第一步： 如图3所示，分别以点D，点C为顶点，，为边作的角与交于点E、F，连接，，交于点G，过点G作于点M，并延长交于点N．
第二步： 如图4所示，擦除第一步中的线段，，，，点E，F，G，仅保留，连接，交于点O，过点O作于点P，并延长交于点Q．
（1）在图3中，证明：点M为的中点；
（2）在图4中，证明：；
（3）请你再设计一种作图方案（仅利用提供的工具），在图5画出满足条件的点P，写出作法，并验证作图的正确性．
25. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
（1）当点在轴负半轴，且时，
①求抛物线的表达式；
②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围；
（2）当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1.B
2.A
3.C
4.A
5.D
6.C
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
7.a2﹣4b2##
8.
9.
10.减小
11.
12.
13.4
14.##
15.630
16.
17.
18.
三、解答题（本大题共7小题，满分78分）如无特殊说明，本大题作答需写出证明或计算的主要步骤．
19.
20.或
21.（1）①；②；（2）
22.（1）
（2）或
23.（1）见解析 （2）见解析
24.（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
25.（1）①；②
（2）顶点的运动轨迹：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴，图像见解析

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