资源简介 树德中学高二数学 5 月阶考参考答案一、选择题(1-8 小题每小题 5 分,9-11 题每小题 6 分,部分选对得部分分,有错选的得 0 分,共 58 分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11A B C B D C D D BC ABD BC二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)*12. 1; 13. 150; 14. an` = n(n N );18.三、解答题(共 77 分)x a15. 解(1) f (x) 的定义域为 (0,+ ),对 f (x) 求导,得 f (x) = ,因为 f (1) = 0 ,所以a =1;xx 1(2)由(1)知, f (x) = (x (0,+ )) ,x当 x (0,1)时, f (x) 0, f (x) 单调递减,当 x (1,+ )时, f (x) 0, f (x) 单调递增, 1 1 1 1所以在区间 , e 上, f (x) 在 x =1处取得极小值,即极小值为 f (1) = 0, 又 f = , e e e 21 1 f (e) = e 2 ,所以求 f (x) 在区间 , e 的值域为[0,e 2] .2 e a a a16. 解 (1)由题,知当 n =1时,a1 = 2,又1 + 2 + + n = 2n 1①2 22 2na1 a a+ 2 + + n 1 = 2n 1 1(n 2)②2 22 2n 1由① a = 22n 1②,得 n (n 2)当 n =1 a 2n 1 2n 1 *, 1 = 2满足an = 2 ,故数列 an 的通项公式为an = 2 (n N ) ;1 1 1 1 1 (2)由(1)知,bn = ,即b = = ,所以log 22n 1 log 22n+1n 2 2 (2n 1)(2n +1) 2 2n 1 2n +1 Sn = b1 + b2 + + bn1 1 1 1 1 1 = 1 + + + 2 3 3 5 2n 1 2n +1 n=2n +1n所以数列 bn 的前n 项和 Sn = .2n +1117. 解 (1)取 BC中点为 D,连接 AD、PD,因为△ABC为等腰直角三角形且 AB = AC ,所以BC ⊥ AD ,又△PBC 为正三角形,所以BC ⊥ DP,又 AD DP = D ,所以BC ⊥平面PAD ,又PA 平面PAD ,所以BC ⊥ PA,所以PA⊥ BC .…………6 分(2)由BC = 2PA,不妨设PA =1,则BC = PB = PC = 2 , AB = AC =1,因为 AB2 + AP2 = 2 = PB2 ,所以 AB ⊥ AP,同理, AB ⊥ AC , AP ⊥ AC ,所以AB、AC、AP两两垂直,以 A为空间直角坐标系的原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz , A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0) ,P(0,0,1), PB = (1,0, 1) , BC = ( 1,1,0) ,平面 ABC的法向量可以是 AP = (0,0,1),设平面 PBC的法向量为n = (x, y, z) , PB n = 0 x z = 0因为 ,所以 ,不妨令 x =1,则 y = z =1, BC n = 0 x + y = 0所以n = (1,1,1),2n PA 3 3 6因为 cos n, PA = = ,所以sin n, PA = 1 = ,由原图,知二面角P BC A的n PA 3 3 3平面角为锐角,所以二面角 P BC A的正弦值为 6 .36另解 由(1)知, PDA为二面角的P BC A的平面角,结合BC = 2PA,可得sin PDA = .3 1 1 18. 解 (1)由椭圆的对称性,知R( 3,1) 不在椭圆上,故P 3, 、Q 3, 、T (2,0) 三点在椭圆上,代入 2 2 x2 2椭圆方程,可解得a = 2,b =1,所以椭圆 的方程为 + y =1.4(2)(i)若直线 l1、 l2 中任意一条斜率为零时,直线 MN的方程为 y = 0;1若直线 l1、 l2 的斜率都不为零时,设直线 l1的方程为 x = my +1(直线 l2 的方程为 x = y +1),m2 x = my +1 2 2 x2 联立消 x,得 (1+ 4m )y + 2my 3 = 0 , + y2 =1 4设 B、C两点的坐标分别为 B(x1, y1) ,C(x2 , y2 ) ,则由韦达定理,得 0 2m y + y m y + y m y + y = ,进而有1 2 = ,将 1 2 = 代入直线 l1的方程为 x = my +1,得1 2 2 1+ 4m2 2 1+ 4m 2 1+ 4m2 3 y1y2 = 1+ 4m2y + y 1+ 3m2 1+3m2 m 3+m21 2 m x = m +1= ,即M , ,同理, N2 2 2 , , 2 1+ 4m 2 1+ 4m 1+ 4m 4+m 4+m2 1+3m2 3+m2 2 4 当 = 时,即m =1,直线MN ⊥ x 轴,直线MN 与 x 轴的交点坐标为 ,0 ,1+ 4m2 4+m2 5 m 5m m22 5m +3 当m 1时,直线MN 的斜率存在, k = ,直线MN 的方程为 y = x MN ,整理,m2 1 m2 + 4 m2 1 2 m + 4 5m 4 4 4 得 y = x ,所以直线MN 恒过点 ,0 ,又直线MN 斜率不存在时,直线MN 也经过点 ,0 ,综上m2 1 5 5 5 4 所述,直线MN 恒过点 ,0 . 5 4 (ii)直线 l1、 l2的斜率显然都不为零时,设直线MN 经过的定点为G ,0 , 5 21 1 1 m m 1 m +1S△AMN = AG yM yN = ,整理,得 S△AMN = ,即2 2 5 4+m2 1+ 4m2 2 4m4 +17m2 + 41m +1S m ,1 1 9,引入函数 f (x) = 4x + (x [2,+ )) ,△AMN = 2 S2 △AMN= 1 2 1 9 x4 m + + 9 4 m+ + m m 1m+m(2x 3)(2x +3) 25f (x) = ,易知 f (x) 在 x [2,+ ) 单调递增,所以 f (x) 在 x [2,+ ) 的最小值为 f (2) = ,所x2 231 1 1 2 1以 S△AMN = (等号当且仅当m =1时成立),所以△AMN 的最大值为 .2 1 9 254 25 m + + m 1m +m( ) ax19. 解 1 函数 f (x) 的定义域为 R,对 f (x) 求导,得 f (x) = e (ax +1) ,1若 a = 0时, f (x) =1, f (x) 在 ( ,+ )上单调递减;若a 0时,令 f (x) = 0,解得 x = ,a1 1当 , , f (x) 0, f (x) 单调递减;当 ,+ , f (x) 0, f (x) 单调递增; a a 1若 a 0时,令 f (x) = 0,解得 x = ,a1 1当 , , f (x) 0, f (x) 单调递增;当 ,+ , f (x) 0, f (x) 单调递减; a a (2)不等式 f (x) g(x)在 x (0,+ ) ax x上成立,等价于 f (x) g(x) 0在 x (0,+ )上成立,即e e 2x 0在 x (0,+ ) ax x上成立,引入函数h(x) = e e 2x x (0,+ ) h (x) = aeax + e x, , 2, h (0) = a 1.(i)若a 0,h (0) = a 1 0,当 x (0,+ )时,h (x) e x 2 1, h(x) 单调递减,h(x) h(0) = 0 ,与题意矛盾,舍去;1 2 1 21 2 2 ln ln(ii)若0 a 1, h (0) = a 1 0, h ( ln ) = a + e a a 2 = e a a 0,由零点存在定理,知存在a a a1 2x0 (0, ln ) 使得h (x) = 0,当 x (0, x0 )时,h (x) 0, h(x) 单调递减,h(x) h(0) = 0 ,与题意矛盾,舍去;a a(iii)若a 1,h (0) = a 1 0,当 x (0,+ )时, h (x) ex + e x 2 2 ex e x 2 = 0,故h(x) 单调递增,h(x) h(0) = 0;综上所述,实数a 的取值范围为[1,+ ) ;x x n + 2(3)由(2)知,当a =1时,e e 2x 0在 x (0,+ ) *恒成立,令 x = ln 0 (其中n N ),nn + 2 n n + 2 n + 2 2 n k + 2 n 2 2ln 0 ,即 ln ,又因为 ln ,所以n n + 2 n n n(n + 2) k=1 k k=1 k(k + 2)(n +1)(n + 2) n 2ln .2 2k=1 k + 2k4树德中学高 2023 级高二下期 5 月阶段性测试数学试题8. 已知定义在 (0,+ )的函数 f (x) ,其导函数为 f (x) ,若 x3 f (x) + 2x2 f (x) = ln x,命题人:刘大华 审题人:韦莉、陈杰、邓连康、常勇 考试时间:120 分钟 总分:150 分1一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 且 f ( e) = ,则 f (x) ( )4e要求的。A. 仅存在最小值 B. 仅存在最大值2π1. 某个弹簧振子在振动过程中的位移 y(单位:mm)与时间 t(单位:s)之间的关系为 y = 18cos t , C. 既存在最小值,又存在最大值 D. 既无最小值又无最大值3二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要则该弹簧振子在 t = 3s 时的瞬时速度是( )mm/s求。全部选对的得 6 分,有二个正确选项的,每个选项 3 分,有三个正确选项的,每个选项 2 分,A. 0 B. 6π C. 12π D. 18π有选错的得 0 分.2. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中,后人称6 1 为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 1 个球,第二层有 3 个球,第三层有 6 个 9. 2 x 的展开式中,下列说法正确的是( ) x 球, ,设各层球数构成一个数列,则第十一层有( )个球A. 展开式共有 6 项 B. 各二项式系数之和为 64A. 55 B. 66C. 展开式中 x2 项的系数为 192 D. 展开式中系数最大的项为70xC. 110 D. 13610. 已知等差数列 a 的前 n 项和为 S ,且 a = 3a 0,则下列说法正确的是( ) n n 2 13. 函数 f (x) 的导函数 y = f (x) 的图象如图所示,则函数 f (x) 的极值点个 Sn 数为( )个 A. 数列 为等差数列 B. 数列 Sn 为等差数列 n A.1 S nB. 2 C. 数列 lg S 为等差数列 D. 数列 的最小项为 1 n an C. 311. 设函数 f (x) = x2 (x 3),下列说法正确的是( )D. 44. 某班级举行活动,同学们准备了四个节目:二胡、相声、小品、舞蹈,现对这四个节 A. 曲线 y = f (x)为轴对称图形目的出场先后进行编排,要求相声和小品相邻,则不同的编排方式有( )种 1 2 3 4049 B. f + f + f + + f + f (2) = 8102 2025 2025 2025 2025 A. 6 B. 12 C. 24 D. 32 1 a5 + a C. 当 x ,0 时, f (2 x) f (x)5. 设数列 6 = an 为等比数列, a1 =1, a a = 3 3 ,则 ( ) 2 2 3 a1 + a2 2 A. 3 B. 3 C. 6 D. 9 D. 若不等式 f (x) kx + 4k 0 恰有两个正整数解,则实数 k 的取值范围为 0, 3 6. 若函数 f (x) = ex ax 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围为( ) 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。3112. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = 2a2 , S ,则 a = _____. 5 = 1 1 16A. 0, B. (0,e) C. (e,+ ) D. (e2 ,+ ) e 13. 五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动,每个镇至少去一名志愿者,则不同的方案有_种.7. 已知数列 a 为等差数列,且数列 a 的前 n项和 S 有最大值,若 a1013 + a 0n n n 1014 , 14. 已知数列 an 满足 an + an+1 = 2n +1,且 a1 =1,则数列 an 的通项公式为_____;记b = a ,则n na1013 a1014 0,则 Sn 取得最小正值时, n的值为( ) 1 1 1 + + + 的值为_____(其中[x]为不超过实数 x 的最大整数,如[1.1] =1).b b bA. 1013 B. 1014 C. 2024 D. 2025 1 2 99 2025-5 高二数月 5 第1页共 2 页四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 x2 y2 1 1 18.(17 分)已知椭圆 : + =1(a b 0),四点 P 3, 、Q 3, 、 R( 3,1)、T (2,0) 中恰2 215.(13 分)已知函数 , ,且 . a b 2 2f (x) = x a ln x a a R f (1) = 0 有三个点在椭圆 上.(1)求 a 的值; 1 (1)求椭圆 的方程;(2)求 f (x)在区间 , e 的值域. e (2)过点 A(1,0)作两条互相垂直的直线 l 、 l ,直线 l 交椭圆 于 B、C两点,直线 交椭圆 于1 2 1 l2 D、E两点;(i)设 BC中点为 M,DE中点为 N,证明:直线 MN过定点;(ii)求△AMN 面积的最大值.a a a16.(15 分)已知数列 an 满足1 + 2 + + n = 2n 1 .2 22 2n(1)求数列 an 的通项公式;1(2)设bn = ,求数列 bn 的前 n 项和 S . nlog2 an log2 an+119.(17 分)已知函数 f (x) = xeax , g(x) = xe x + 2x2 ,其中 e为自然对数的底数, a R .17. (15 分)如图,在三棱锥 P ABC 中,△ABC 为等腰直角三角形,△PBC 为正三角形,(1)求函数 f (x) 的单调区间;AB = AC .( )证明: ; (2)若不等式 f (x) g(x) 在 x (0,+ ) 上成立,求实数 a 的取值范围; 1 PA ⊥ BCn(2)若 BC = 2PA,求二面角 P BC A的正弦值. (n +1)(n + 2) 2(3)设 n *N ,证明: ln .2 2k=1 k + 2k2025-5 高二数月 5 第2页共 2 页 展开更多...... 收起↑ 资源列表 高二数学5月阶考参考答案.pdf 高二数月5(定).pdf