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成都市金牛区实外高级中学高2023级2024-2025学年度下
第二阶段考试 数学
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ）
A. B. C. D.
2. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ）
A. B. C. D.
3. 2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 21 B. 18 C. 15 D. 12
4. 在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
6. 若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（ ）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
7. 已知函数，则，，大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为
C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2
D. 四叶图面积小于32
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. 有最小值 D. 有两个零点
10. 暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ）
A. 甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B. 甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D. 若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
11. 在数列中，，，，是数列前项和，则（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等差数列的前项和分别为，若，则__________.
13. 已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．
14. 现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有______种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有______种不同的放法．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为迎接校篮球社团组织的“李宁杯”三人篮球赛，某班甲、乙两位同学决定提前训练，为比赛做准备.在投篮训练中，甲、乙两位同学各自投篮，甲投一次得3分、2分、0分的概率分别为，乙投一次得3分、2分、0分的概率分别为，且甲、乙两人每次投篮的得分情况相互独立.
（1）若甲、乙两人各进行两次投篮，求甲、乙的总得分不少于11分的概率；
（2）若甲、乙两人各进行一次投篮，记两人的总得分为，求的分布列及数学期望.
16. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
17. 正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，若对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．
19. 已知函数（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的最小值；
（2）若，且在上恒成立，求最大值；
（3）求证：.
成都市金牛区实外高级中学高2023级2024-2025学年度下
第二阶段考试 数学
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】 ①. 1728 ②. 3840
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析

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