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2024/2025学年度第二学期
联盟校第二次阶段性考试高一年级数学试题
（总分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。
2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。
3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，为对角线，若，，则（ ）
A．（3，5） B．（-2，-4） C．（-3，-5） D．（2，4）
4．设，是两个不同平面，，是两条直线，下列命题中错误的个数是（ ）
（1）．如果，，，那么；
（2）．如果，，，那么；
（3）．如果，，，那么；
（4）．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么
A．1 B．2 C．3 D．4
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（ ）
A．1 B． C． D．2
7．在中，若，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．对于函数与的图象，下列说法错误的是（ ）
A．与有三个交点
B．与有两个交点
C．，当时，恒在的下方
D．，当时，恒在的上方
10．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积变化
B．平面
C．
D．平面平面
11．中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（ ）
A．的最长边长为14 B．的三个内角满足
C．的三条高的和为 D．的中线的长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数，若，则_____．
13．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为_____．
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为_____
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；（2）设，．（i）求的值；（ii）求的值．
16．（本小题满分15分）已知向量，的夹角为，且．
（1）若，求的坐标；（2）若，求的值．
17．（本小题满分15分）已知函数．
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若，，求的值．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点为上一点，且，点为中点．
（1）若，证明：直线平面；
（2）是否存在一个常数，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）
对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角．
（1）若非零向量，满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，，且，求正数的值；
（3）已知非零向量，满足（是正整数），向量，的夹角，和都是有理数，且，求．
2024/2025学年度第二学期
联盟校第二次阶段性考试高一年级数学试题（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BC 10．BD 11．ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2-I 13． 14．4
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
解（1）因为得；
即，得；……3’
所以，因为；
所以．……6’
（2）（i），则．……8’
（ii），则，．
所以．……13’
16．（本小题满分15分）
解（1）设，因为向量，的夹角为，且，．
所以，解得，
所以，解得，所以．……7’
（2）因为，所以，由于，所以，所以．
17．（本小题满分15分）
【解】（1）由题意得
．
因为，所以，，
所以，
即函数在区间上的最大值为，最小值为．
（2）因为，，所以，
所以，
，……12’
所以
．……15’
18．（本小题满分17分）
（1）证明如图作，交于点，连接，
因为点为的中点，所以．
因为，所以，
又，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以直线平面．……7’
（2）解 存在一个常数，使得平面平面，
理由如下：
要使平面平面，只需，因为，，
所以，
又因为平面，，，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，所以．……17’
19．（本小题满分17分）
【解】：（1）因为，所以，所以．
因为，所以．……4分
（2）因为，，所以．……6分
因为，……8分
所以，
所以，又因为，所以．……10分
（3）因为，所以，．
因为，所以．
因为，所以，所以．
所以，
所以．……12分
又因为是正整数，所以或．
当时，，，
所以，所以．
此时，都是无理数，所以舍去14分
当时，，，
所以，所以．
此时，，都是有理数．
所以．……17分

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