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2025年中考数学三轮高频考点二次函数中的特殊三角形与特殊四边形的存在性问题冲刺练习
一、二次函数与特殊三角形问题
1．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为点，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，求的面积；
(3)如图1，在轴下方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；
(4)如图2，对称轴垂直于轴于点，点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．直线分别与抛物线的对称轴交于两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
2．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，其横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点M，求线段的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线．在（2）的条件下，当线段的值最大时，连接．过点A的直线交抛物线于E，F两点（点E在点F的上方），过点E作直线平行于直线交抛物线于另一点Q，连接．求证：直线必过一定点．
4．如图1，抛物线与直线交于点和点，点为该抛物线的顶点，已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线与直线的函数表达式；
(2)若抛物线与轴交于点，直线与轴交于点．
（i）以为直角边，点为直角顶点，在直线的右侧作等腰直角，请在图2上画出符合条件的图形，并判断点是否在抛物线上；
（ii）如图3，连接，在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线另一交点为点，为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值；
(3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．
7．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，已知，的面积为6．
(1)______；
(2)点在轴上，轴，交二次函数的图像于点．
①当时，求证：；
②当且时，求证：；
③将二次函数的图像平移，记平移后的图像为图像，其顶点为坐标原点，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，过点作直线的垂线，交图像于点，若，，则______．
二、二次函数与特殊四边形问题
8．如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点．
(1)填空：______，______；
(2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点；
(3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________；
(3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值；
(4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________．
10．如图，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线与y轴交于点M，连接，交y轴于点N，求线段的长；
(3)如图2，连接，两线段交于点E．在线段上取点F，使．连接，求的最小值．
11．如图，抛物线与x轴的两个交点为，，与y轴交于点C，直线经过点A，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点．
①作轴于点D，交直线于点E，若，求的长；
②作轴于点N，与抛物线的另一交点为M．已知点Q是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．若，求的值．
12．如图，抛物线经过点和点，与轴相交于点，点，在抛物线上，其横坐标分别为，（），连接，．
(1)求，的值；
(2)当轴时，求直线的函数表达式；
(3)设抛物线在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点与点）的最高点与最低点的纵坐标的差为． 当点在抛物线的顶点左侧时，若，求的值．
13．如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点B的直线交该抛物线于另一点E．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图2，当点E与点C重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点D，连接，交直线于点P．设，当t取得最大值时，求点D的坐标及此时t的最大值；
(3)如图3，经过点B不同于的另一直线交该抛物线于另一点F．当均为x轴上方抛物线上的两点（点E在点F的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点Q在直线上，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，连接，交于点，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)设，则的取值范围是________；
(4)在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为________．
《2025年中考数学三轮高频考点二次函数中的特殊三角形与特殊四边形的存在性问题冲刺练习》参考答案
1．(1)
(2)1
(3)
(4)是定值，定值为8
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到顶点，，由即可求解；
（3）如图所示：过点作轴，垂足为，则，则，可得直线为：，联立，即可求解；
（4）设，由的坐标得，直线的表达式为：，当时，，即，由点的坐标得，直线的表达式为：，当时，，由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：，
∴顶点，，
又∵，
∴轴，，
；
（3）解：如图所示：过点作轴，垂足为，则，
，
，
设直线与轴相交于点，
∵，，
∴
∴，
设直线的解析式为，
∴点代入得：，
解得，
∴直线为：，
联立，
解得；
（4）解：设，
由的坐标运用待定系数法得，直线的表达式为：，
当时，，即，
由点的坐标运用待定系数法得，直线的表达式为：，
当时，，
则是为定值，定值为8．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数几何图形面积的计算，解直角三角形的计算，二次函数与线段长度的计算，掌握二次函数图象的性质是关键．
2．(1)
(2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，，
【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式；
（2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题．②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把， ，代入得∶
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）①设直线的解析式为，
把，代入得∶
，
解得
直线的表达式为．
过作轴交于， 过作轴交于，
∴，
，
，
，
设， 则，
，
，
∴当时，，
，
，
，
或，
点的坐标为或．
②存在，理由如下：
过点作于，如图，
的对称轴为直线，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
点的坐标为，
当为边时，
四边形为平行四边形，
，轴，
点的横坐标与点的横坐标同为，
当时，，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
根据对称性当时，
，
∴时，四边形也是平行四边形．
当为对角线时，如图，
四边形为平行四边形，
，轴，
同理求得：点的坐标为，
，
点的坐标为，
综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质．
3．(1)
(2)线段的最大值为，此时点P的坐标为
(3)见解析
【分析】（1）将点，代入中，得二元一次方程，解方程即可；
（2）过点P作轴交于点N，求出，则当最大时，也最大，用待定系数法求出直线的表达式为，设，，得，利用二次函数的性质求最值，进而可得答案；
（3）根据二次函数平移的性质得拋物线的表达式为，令，，利用待定系求法求出直线的表达式为，再根据直线过点得，依次求得直线、、的解析式，当时，，即可得出结论．
【详解】（1）解：将点，代入中，
得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作轴交于点N，
在中，令得，
点C的坐标为，
点B的坐标为，
，
，
轴，
，
，
，
则当最大时，也最大，
设直线的表达式为，
，
解得，
直线的表达式为，
设，，
，
当时，最大，最大为，
则，
线段的最大值为，此时点P的坐标为；
（3）证明：，
将抛物线平移后得到拋物线的表达式为，如图所示，
令，，
设直线的表达式为，
把，两点代入，
得，
解得，
则直线的表达式为，
直线过点，
，
，
点D在抛物线上，且其横坐标为，
，
由（2）知，得直线的表达式为，
，且，
直线的表达式为，
当时，
解得（舍去），，
，
设直线的表达式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的表达式为，
，
直线的表达式为，
当时，，
直线必过定点．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平移的性质，一次函数的性质．
4．(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)（i）图见解析，点在抛物线上；（ii）点的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）（i）根据题意作出图形，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，证明，求得，据此求解即可判定；
（ii）分两种情况讨论，当时，，求得直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立即可求得点的坐标；当时，设点的坐标为，利用两点之间的距离公式列式计算的坐标，从而确定射线QB上不存在满足条件的点．
【详解】（1）解：将和点代入，得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点，
∵直线过点和，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：当时，，，
∴，，
（i）由题意画出图形，如图，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴点在抛物线上；
（ii）如图，当时，，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点的坐标为；
当时，
∵，∴，
设点的坐标为，
由题意得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为,且在第三象限，
此时，，
故在射线上的任一点Q，得到的
综上，点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．(1)
(2)最大值为4，
(3)或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）利用待定系数法即可解答，即可求解；
（2）证明，则，即可求解；
（3）分类讨论，即当点在下方时或当点在上方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
，
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点．
，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
当时，有最大值为4，此时；
（3）解：设直线的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以直线的表达式为，
将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移个单位，则向上平移个单位，
则，
当时，，
解得，（舍去），
则，
联立上式和直线的表达式得：，
解得（舍去）或3，
即点，
如图，当点在下方时，
，，
，
设直线的表达式为，
把代入可得，解得，
直线的表达式为，
联立和新抛物线的表达式得：，
解得或（不合题意舍去），
；
如图，当点在上方时，延长交轴于点，作于点，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
把代入可得，
，
解得，
所以直线的表达式为，
联立和新抛物线的表达式得：
解得：，
，
综上所述，的坐标为或．
6．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）抛物线经过，，利用交点式得出，再代入即可；
（2）延长，交延长线于点，分别求出直线解析式为，直线解析式为，设，得，，得出，，利用，求出，得出，可得当时，取得最大值，此时，此时，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，得出，由平移的性质得，则，过点作轴，过点作于，利用，得出，则，由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，即可求解；
（3）先确定沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式为，得出，，作点关于轴的对称点，连接，得出，当点在上方时，此时点为点，设交轴于点，利用，求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解；当点在下方时，此时点为点，易知，过点作直线的平行线，交直线于点，得出，求出直线的解析式为，设，利用列式求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴抛物线的解析式为，
将代入，
得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，延长，交延长线于点，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设，
∵轴，
则，，
∴，，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，
此时，
此时点位置如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，
过点作轴，过点作轴，与交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
∴，即，
由平移的性质得，
∴，
如图，过点作轴，过点作于，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：如图，过点作轴于点，
则，，
∴，
∴，
同（2）中的平移方法可得沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
∴得到新抛物线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，，
作点关于轴的对称点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点在上方时，如图，此时点为点，设交轴于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
得：，
解得：，，
∴的横坐标为；
当点在下方时，如图，此时点为点，
易知，
过点作直线的平行线，交直线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为，
设，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
得：，
解得：，，
∴的横坐标为；
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，点到直线的最短距离，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
7．(1)1
(2)①见解析；②见解析；③1或4
【分析】（1）根据，令，得，根据，得，求得得到，，确定，设，结合的面积为6．确定点C，后代入解析式确定a的值即可．
（2）①当时，，确定，根据，，得，，故即可得证；
②分三种情况讨论：当时，点M在x轴下方抛物线上；当时，点M在x轴上方抛物线上；当时，点M在x轴上方抛物线上，分别表示出、、的长，即可证明结论；
③ 先确定即为图像，过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，故，解得，故，，分两种情况讨论，过点作直线的垂线，交图像于点，得时，，故，由，，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，令，得，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
设，
∵的面积为6．
∴，
解得或（舍去），
故，
，
解得．
故答案为：1．
（2）解：① 当时，，
故，
由，
得当时，，
故，
∴，
∵，，
∴，，
故，
故；
② 当且时，
∵，
当时，点M在x轴下方抛物线上，
由，
得当时，，
故，
∴，
∵，，
∴，，
故，
故；
当时，点M在x轴上方抛物线上，
由，
得当时，，
故，
∴，
∵，，
∴，，
故，
故；
当时，点M在x轴上方抛物线上，
由，
得当时，，
故，
∴，
∵，，
∴，，
故，
故；
综上所述，结论都成立．
③ 根据二次函数，将图像左移1个单位，上移4个单位，得到即为图像，
过点且平行于轴的直线交图像于点，点在点的左侧，
故，
解得，
故，，
当时，由过点作直线的垂线，交图像于点，
得时，，
故，
由，，
故，，
故，
解得，
当时，由过点作直线的垂线，交图像于点，
得时，，
故，
由，，
故，，
故，
解得，
故；
故答案为：1或4．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，解方程，绝对值的应用，熟练掌握平移和待定系数法是解题的关键．
8．(1)
(2)见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证；
（3）根据直线恒过点，得到当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，过点作轴，推出点，以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，求出点坐标，圆周角定理，推出点在以为圆心，为半径的圆上，根据到线段的距离大于半径，得到与线段相离，得到线段上不存在点使．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，解得：．
故答案为：；
（2）由（1）知：，
∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，
又∵当时，，
∴抛物线也过点；
∴二次函数与一次函数的图像总有交点；
（3）不存在，理由如下：
由（2）知道，直线恒过点，
∴当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，如图，
此时，
过点作轴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，则：在的中垂线上，且，
∴点的横坐标为，
设，则：，
∴或（舍去）；
∴，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∵到轴的距离为2，，
∴圆与直线相离，
∴线段上不存在点使．
9．(1)；
(2)或；
(3)当时，最大，最大面积为；
(4)．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解；
（3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则，，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设，
∵当是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵，，
∴
解得，
∵在上，
∴
解得，
当时，，
当时，，
∴或；
（3）解：设直线为，
∵，，
∴
解得，
∴直线为，
如图，过作轴交直线于点，
设，则，
，
∵，，
∴，
∴当时，最大，最大面积为；
（4）解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，
∵，，
∴轴，
∴，
∵轴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴（）
∴，
∴当点、、三点共线时，的值最小，
最小值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求最短线段，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）将点、代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线，根据点P与点C关于抛物线的对称轴对称，得点，运用待定系数法求出的解析式，可得的坐标，从而可求出的长；
（3）根据勾股定理求出，过点C作轴，使得，过点T作轴于点G，证明得，当O、E、T共线时，最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】（1）解：将代入中，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：在中，当时，，
，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点P与点C关于抛物线的对称轴对称，且
∴点，
设直线的函数表达式为（m、n为常数，），
将，代入上式，得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，．
．
同理可求得直线的函数表达式为，
当时，．
．
．
（3）解：，
．
如图2，过点C作轴，使得，过点T作轴于点G，
轴，
，
，
.
，
故O、E、T共线时，最小，最小值为的长，
，
，
故的最小值为．
11．(1)
(2)①4；②
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①根据点在抛物线上得，再由可求出m、n的值，求出直线的解析式，进而可得E点坐标，即可求的长；
②过点Q作轴于点H，交的延长线于点G，点G的坐标为，根据抛物线解析式得对称轴为直线，根据对称性质得，进而可得，，再根据正切值的定义即可得解．
【详解】（1）解：抛物线经过点A，B，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：①点在抛物线上，
，
，
，
解得，（舍去），
，
点P的坐标为，
直线经过点A，
，
解得，即，
把代入得，
，
；
②过点Q作轴于点H，交的延长线于点G，如图，则，
点是抛物线上的一个动点，
，
点G的坐标为，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
点P在直线的右边，
轴，
点P，M关于直线对称，
，
，
点Q在抛物线上，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，直角坐标系中点的坐标，三角函数．
12．(1)，
(2)
(3)
【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；
(2)化为顶点式，求得顶点坐标，进而可求点P，Q的坐标，待定系数法即可求解；
(3)分两种情况讨论，①当P，Q都在对称轴的左侧时，②当P，Q在对称轴两侧时，分别求得，，根据建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得；
（2）解：，
抛物线即为，
对称轴为直线，
当轴时，点与点关于直线对称，
对于抛物线，当时，，
，
，
∴，
设直线的函数表达式为，
得，
解得，
直线的函数表达式为；
（3）解：①如图所示，当P，Q都在对称轴的左侧时，
则，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去）；
当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则，，
即，
对于抛物线，顶点坐标为
则 ，，
，
解得 (舍去)或 （舍去）；
综上所述，当点在抛物线的顶点左侧时，若，的值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．(1)
(2)当时，即点D的坐标为时，t取得最大值
(3)直线过定点Q的坐标为
【分析】（1）将，代入，再建立方程组求解即可；
（2）求解直线的表达式为，设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，可得点H的坐标为，求解，证明，，进一步可得答案；
（3）如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，设直线的表达式为，直线的表达式为，求解直线的表达式为，直线的表达式为，可得，设直线的表达式为，求解直线的表达式为，进一步求解即可．
【详解】（1）解：将，代入，
得，，
解得，，
所以，抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
所以，直线的表达式为，
设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，
∴点H的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即点D的坐标为时，t取得最大值；
（3）解：如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，
设直线的表达式为，直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
∵，
∴，
∴
∴直线过定点，
∴直线过定点Q的坐标为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合，本题的难度大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键．
14．(1)
(2)点的坐标为或
(3)
(4)
【分析】（1）根据抛物线过，，直接利用交点式写抛物线的解析式即可；
（2）如图，过作交于，而轴，证明，而，可得，再进一步建立方程求解即可；
（3）由（2）可得，结合点是直线下方抛物线上的点，可得，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）当点在抛物线对称轴的右侧时，可得，如图，作交轴于，作关于直线的对称点，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴抛物线为：，
即抛物线为：；
（2）解：如图，过作交于，而轴，
∴轴，
∴，而，
∴，
∵，
当时，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
∵，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为或．
（3）解：∵，
结合（2）可得：，
∴，
∵点是直线下方抛物线上的点，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∵，
∴；
（4）解：∵的对称轴为直线，当点在抛物线对称轴的右侧时，
∴，
如图，作交轴于，作关于直线的对称点，
∴，
∴，
∵直线，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
当共线时，最小，
此时最小值为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与相似三角形，二次函数与线段和的最小值，二次函数的性质，熟练的建立二次函数的模型是解本题的关键．

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