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2025年湖南省张家界市桑植县中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平分，，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
3．某地修高速公路，挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
4．某口袋里现有12个红球和若干个白球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验500次，其中有300次是红球，估计白球个数为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（ ）

A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
10．如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（ ）

A．10 B． C． D．
二、填空题
11．已知，用含x的代数式表示y，则 ．
12．已知，，则 （填“”，“”或“”）．
13．若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ．
14．已知，则的值 ．
15．抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则 ．
16．一组单项式：，按此规律排列下去，第2024个单项式为 ．
17．如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
18．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度．
三、解答题
19．计算：
20．如图，四边形为矩形，过点作交的延长线于点．求证：．
21．如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，．
(1)求证：；
(2)求图中阴影部分的面积．
22．某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
23．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
24．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
(1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
(2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
(3)已知，求的最小值．（可结合图形）
25．已知抛物线的解析式为．
(1)求抛物线的顶点的坐标；
(2)我们规定：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上“点”．若抛物线上存在唯一的“点”，求出点的坐标．
26．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，，求的面积．
(3)如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数．
《2025年湖南省张家界市桑植县中考二模数学试题》参考答案
1．C
解：∵，
∴，
故选：C．
2．C
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
故选．
3．A
解：依题意，∵挖掘一条960m长的隧道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务，若设原计划每天挖
∴开工后每天挖
∴
故选：A
4．A
解：设袋中有白球x个，
由题意得：，
解得：，
经检验，为原方程的解，
故选：A．
5．B
解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为，
∴投影三角形的面积为．
故选：B．
6．B
∵a﹣b=2，
∴原式=(a+b)(a﹣b)﹣4b=2(a+b)﹣4b=2a+2b﹣4b=2(a﹣b)=4．
故选：B．
7．B
连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解；
解： 连接，
是上的一条弦，直径，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．B
解：
故答案为：B．
9．C
解：连接，

∵四边形是扇形的内接矩形，
∴半径，
∴，
∴当点P在上移动时，的值保持不变，
故选：C．
10．D
解：连接交于点，过点作轴于点，如图，
的坐标为，点的坐标为，
，，
在中，
由勾股定理，得，
将沿翻折得到，
，，，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
在中，
由勾股定理，得，
设，则，
在中，
由勾股定理，得，即，
解得，
，
，，
，
在中，
由勾股定理，得，
即顶点的纵坐标为．
故选：D．
11．
移项，得，
系数化为1得，
故答案为：．
12．
解：，
．
故答案为： ．
13．2
解：∵ ，
∴，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴，．
∴，
故答案为：2．
14．
∵a2+b2+2a-6b+10=0，
∴a2+2a+1+b2-6b+9=0，
∴（a+1）2+（b-3）2=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3，
∴ab=-1×3=-3，
故答案为：-3．
15．
解：抛掷一次骰子共有6种等可能的结果，分别为：1、2、3、4、5、6，
其中“掷得的数字是3的倍数”的只有2种，
．
故答案为：．
16．
解：根据数值的变化规律可得：
第1个单项式a的指数为1，系数为，
第2个单项式a的指数为2，系数为，
第3个单项式a的指数为3，系数为，
第4个单项式数a的指数为4，系数为，
…，
所以这列单项式中的第n个单项式中a的指数为n，系数为，
所以这列数中的第n个数为．
∴第2024个单项式为
故答案为：．
17．3或
解：当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
综上，或，
故答案为：3或．
18．
解：∵点和点在直线的同旁，
∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
19．5
原式
20．见解析
证明：四边形是矩形，
∴，，
∵，
四边形是平行四边形，
，
．
21．(1)见解析
(2)
（1）因为是的直径，弦，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以；
（2）由（1）的结论，知，
所以
．
22．(1)
(2)3
（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
23．(1)
(2)填表见解析，
（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
24．(1)D
(2)50米
(3)10
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
25．(1)顶点的坐标为
(2)点的坐标是
（1）解：∵
∴抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：∵点，满足，
∴点在直线上运动，
根据题意联立方程组，得
消去得，
即．
∵抛物线上存在唯一的“点”，
∴，解得，
将代入0，
得，
解方程，得，
将代入，
得，
所以点的坐标是．
26．(1)
(2)
(3)的大小不变，，见解析
（1）解：作于，由题意得，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
，
∴．
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作于，联立，
解得，，
故点的坐标为，
∴，
∴
（3）解：的大小不变，，理由如下：
∵
∴，设直线的方程为
设．
联立，
得，
则，
∵是的中点，
∴的横坐标为．
∵点在直线上，
∴，
如图，作于，则，
∴，
∴．

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