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广东省广州市白云区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024八下·白云期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故不符合要求；
B、，不是最简二次根式，故不符合要求；
C、，是最简二次根式，故符合要求；
D、，不是最简二次根式，故不符合要求；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·白云期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）和二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
3．（2024八下·白云期末）在中， 若， 则（　　）
A． B．
C． D．是锐角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）分析判断即可.
4．（2024八下·白云期末）足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如下表：
身高（cm） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1
则这 11 名队员身高的众数是（　　）
A．180 B．182 C．192 D．178
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵180出现的次数最多，
∴众数是180．
故答案为：A．
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
5．（2024八下·白云期末）在四边形中，，要使四边形 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下；
A、平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、，，四边形为平行四边形；
C、无法判定四边形为平行四边形，故选项错误；
D、，与题干重复，无法判定四边形为平行四边形，选项错误；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．（2024八下·白云期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：一元一次方程的解是，
当时，，
故直线的图像与x轴的交点坐标是．
故答案为：A．
【分析】将一元一次方程的根转换为一次函数与x轴的交点坐标问题即可.
7．（2024八下·白云期末）已知点，在直线上， 若 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，在直线上， ，
∴随的增大而增大，
∴，
∵函数的增减性与无关，
∴C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．（2024八下·白云期末）如图， 数轴上的点A 表示的数是， 点B 表示的数是2， 于点B， 且，以点 A为圆心，为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
∴点D表示的数是：，
故答案为：C．
【分析】先利用点A、B的坐标求出点AB的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得，再结合点A的坐标求出点D的坐标即可.
9．（2024八下·白云期末）一次函数不经过第三象限，则的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数不经过第三象限，
该函数经过第一、二、四象限，
，，
经过第一、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．（2024八下·白云期末）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2．
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°．
∴AB=AF=AD．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵AG=AG，B=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即，
解得，．
∴．
∴BG=CG=，即点G是BC中点，
故①正确．
∵，
∴∠AGB≠60°．
∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°．
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形．
∴FG≠FC，
故②错误．
∵△CGE的面积=CG CE=××2=，EF：FG=1：=2：3，
∴，
故③正确．
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质可得AB=3，CD=3DE，再利用“HL”证出Rt△ABG≌Rt△AFG，再利用全等三角形的性质及勾股定理和线段的和差求出，再利用等边三角形的判定方法证出 △CGF不是等边三角形，最后利用三角形的面积公式及计算方法逐项分析判断即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3 分，满分18分．）
11．（2024八下·白云期末）计算： =　 　.
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
12．（2024八下·白云期末）直线向下平移3个单位， 得到直线　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线向下平移3个单位后得到直线解析式是：，即．
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
13．（2024八下·白云期末）“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）．
【答案】四条边相等的四边形是正方形；假
【知识点】正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
【分析】先利用逆命题的定义及书写格式求出其逆命题，再利用真假命题的定义分析求解即可.
14．（2024八下·白云期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是s甲2＝0.55，s乙2＝0.56，s丙2＝0.52，s丁2＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是　 　．
【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2=0.55，s乙2=0.56，s丙2=0.52，s丁2=0.48，
∴s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，
∴这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
【分析】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
15．（2024八下·白云期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
在Rt△ADP与Rt△HCQ中，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故答案为：4．
【分析】过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，先利用“AAS”证出Rt△ADP≌Rt△HCQ，利用全等三角形的性质可得AD=HC，利用线段的和差求出BH=4，最后求出当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4，从而得解.
16．（2024八下·白云期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为　 　．
【答案】5或或
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，
；
①当时，如图1，；
②当时，如图2，，；
③当时，如图3，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
故答案为：5或或．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当时，先分别画出图形，再利用等腰三角形的性质及勾股定理列出方程求解即可.
三、解答题（共有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（2024八下·白云期末）计算：
【答案】解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．（2024八下·白云期末）已知：求：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，
∴
.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
19．（2024八下·白云期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：．
【答案】解：∵在平行四边形中，且，
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，所以，即可求出答案.
20．（2024八下·白云期末）已知直线l与直线y＝2x﹣3平行，且经过点（2，7），求直线l的解析式并在坐标系中画出直线l的图象．
【答案】解：设所求直线方程为：y＝kx+b，
∵y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行，
∴k＝2，
∵y＝kx+b经过点（2，7），
∴7＝2×2+b，
解得：b＝3，
∴所求直线为：y＝2x+3．
由于该直线经过点（0，3）、（，0），则其函数图象如图所示：
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可.
21．（2024八下·白云期末）如图，在四边形中，，，， ， ；求：
（1）的长度；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，，
∴.
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴=．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边是斜边的一半）求解即可.
（2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCD的面积即可.
22．（2024八下·白云期末）为助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）补全条形统计图；
（2）本次抽查的学生人数是 ；本次捐款金额的中位数为 ．
【答案】（1）解：本次抽查的学生人数是（人），
的学生人数为（人），
由此补全条形统计图如下：
；
（2）；元
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】（2）解：本次抽查的学生人数是（人），
因为这组数据按从小到大进行排序后，处在第25和第26个数都是15，
所以中位数是（元），
故答案为：；元.
【分析】（1）先求出总人数，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义及计算方法分析求解即可.
23．（2024八下·白云期末）如图，在中，，是的一个外角，平分．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E，连接，；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形的形状并加以证明．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
，
，
平分，
，
而，
，
垂直平分，
，，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作出线段的垂直平分线，再与交于点F，与边交于点E，最后连接，即可；
（2）先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得OF=CO，再结合AO=CO证出四边形是平行四边形，结合，即可证出平行四边形是菱形．
24．（2024八下·白云期末）如图， 直线 ：，直线： ，
（1）点C的坐标是 ； 当 时，
（2）点 D 在直线上， 若 ，求点 D的坐标；
（3）作直线轴， 并分别交直线，于点E， F， 若的长度不超过3，求x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：如图，点 D 在直线上， ，
∴为的中点，或，
当为的中点，，
∴，
当，即为的中点，
∴，
∴点的坐标为或.
（3）解：如图，
∵直线轴， 并分别交直线，于点E， F，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：.
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形性质；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：联立两个方程可得：，
解得：，
∴；
当时，，
∴，
∴当时；；
故答案为：；.
【分析】（1）联立方程组求出两函数图象交点坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（2）分类讨论：①当为的中点，②当，即为的中点，再分别求出点D的坐标即可；
（3）设，则，先求出，再列出不等式，最后求出x的取值范围即可.
25．（2024八下·白云期末）如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则EF＝　 　cm；
（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，
①求证：△CEF是等边三角形；
②连接BD交CE于点G，若BG＝BC，求EF的长和此时的t值．
（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若EF＝3cm，直接写出此时t的值．
【答案】解：（1）3；
（2）①证明：由（1）知△ADC，△ABC都是等边三角形，
∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝60°，DC＝AC，
∵DE＝AF，
∴△DCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
②如图②中，连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，
∵，BC＝6cm，
∴BO＝BC sin60°＝6×cm，
∴cm，
∴cm，
∵BG＝BC，
∴∠BGC＝∠BCG＝75°，
∵∠BGC＝∠DGE，
∴∠BCG＝∠DGE，
∵AD∥BC，
∴∠DEG＝∠BCG，
∴∠DEG＝∠DGE，
∴DG＝DE＝cm，
∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCG＝120°﹣75°＝45°，
∴EN＝DE sin60°＝cm，
∴cm，
∴EF＝CE＝（9）cm，t＝（6﹣6）s．
（3）
【知识点】三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：如图①中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∴△ADC，△ABC都是等边三角形，
当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，
∵CA＝CD＝CB，
∴CE⊥AD，CF⊥AB，
∵∠CAB＝∠CAD，
∴CF＝CE，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分线段EF，
∴∠AGF＝90°，
∵∠FAG＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∴AG＝AF＝cm，
∴cm，
∴EF=cm；
故答案为：．
（3）解：如图③，作CH⊥AB于H，
由（2）可知：△EFC是等边三角形，
∴CF＝EF＝3cm，
在Rt△BCH中，
∵BC＝6，∠CBH＝60°，
∴BH＝3，CH＝cm，
在Rt△CFH中，HF＝cm，
∴cm，AF＝（3+）cm，
∵运动速度为1cm/s，
∴s．
【分析】（1）先证出△ADC，△ABC都是等边三角形，再求出 ∠AFG＝30°， 利用含30°角的直角三角形的性质求出 AG＝AF＝cm， 利用勾股定理求出GF的长，最后求出EF的长即可；
（2）①先利用“SAS”证出 △DCE≌△ACF ，利用全等三角形的性质可得 CE＝CF，∠DCE＝∠ACF， 再结合 ∠ECF＝∠ACD＝60°， 即可证出 △ECF是等边三角形；
② 连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，先求出 ∠DCE＝∠BCD﹣∠BCG＝120°﹣75°＝45°， 再利用解直角三角形的性质求出 EN＝DE sin60°＝cm， 最后求出 EF＝CE＝（9）cm，t＝（6﹣6）s即可；
（3）作CH⊥AB于H，先求出cm，AF＝（3+）cm， 再结合“ 运动速度为1cm/s ”求出s即可.
1 / 1广东省广州市白云区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024八下·白云期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·白云期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·白云期末）在中， 若， 则（　　）
A． B．
C． D．是锐角三角形
4．（2024八下·白云期末）足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如下表：
身高（cm） 176 178 180 182 186 188 192
人数 1 2 3 2 1 1 1
则这 11 名队员身高的众数是（　　）
A．180 B．182 C．192 D．178
5．（2024八下·白云期末）在四边形中，，要使四边形 成为平行四边形，则在下列条件中，应增加条件（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·白云期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·白云期末）已知点，在直线上， 若 ，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·白云期末）如图， 数轴上的点A 表示的数是， 点B 表示的数是2， 于点B， 且，以点 A为圆心，为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是 （　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·白云期末）一次函数不经过第三象限，则的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·白云期末）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3 分，满分18分．）
11．（2024八下·白云期末）计算： =　 　.
12．（2024八下·白云期末）直线向下平移3个单位， 得到直线　 　．
13．（2024八下·白云期末）“正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）．
14．（2024八下·白云期末）甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是s甲2＝0.55，s乙2＝0.56，s丙2＝0.52，s丁2＝0.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是　 　．
15．（2024八下·白云期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是　 　．
16．（2024八下·白云期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为　 　．
三、解答题（共有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（2024八下·白云期末）计算：
18．（2024八下·白云期末）已知：求：
（1）；
（2）
19．（2024八下·白云期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：．
20．（2024八下·白云期末）已知直线l与直线y＝2x﹣3平行，且经过点（2，7），求直线l的解析式并在坐标系中画出直线l的图象．
21．（2024八下·白云期末）如图，在四边形中，，，， ， ；求：
（1）的长度；
（2）四边形的面积．
22．（2024八下·白云期末）为助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）补全条形统计图；
（2）本次抽查的学生人数是 ；本次捐款金额的中位数为 ．
23．（2024八下·白云期末）如图，在中，，是的一个外角，平分．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E，连接，；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断四边形的形状并加以证明．
24．（2024八下·白云期末）如图， 直线 ：，直线： ，
（1）点C的坐标是 ； 当 时，
（2）点 D 在直线上， 若 ，求点 D的坐标；
（3）作直线轴， 并分别交直线，于点E， F， 若的长度不超过3，求x的取值范围．
25．（2024八下·白云期末）如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则EF＝　 　cm；
（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，
①求证：△CEF是等边三角形；
②连接BD交CE于点G，若BG＝BC，求EF的长和此时的t值．
（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若EF＝3cm，直接写出此时t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故不符合要求；
B、，不是最简二次根式，故不符合要求；
C、，是最简二次根式，故符合要求；
D、，不是最简二次根式，故不符合要求；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使代数式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）和二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵180出现的次数最多，
∴众数是180．
故答案为：A．
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，作图如下；
A、平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、，，四边形为平行四边形；
C、无法判定四边形为平行四边形，故选项错误；
D、，与题干重复，无法判定四边形为平行四边形，选项错误；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：一元一次方程的解是，
当时，，
故直线的图像与x轴的交点坐标是．
故答案为：A．
【分析】将一元一次方程的根转换为一次函数与x轴的交点坐标问题即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，在直线上， ，
∴随的增大而增大，
∴，
∵函数的增减性与无关，
∴C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
∴点D表示的数是：，
故答案为：C．
【分析】先利用点A、B的坐标求出点AB的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得，再结合点A的坐标求出点D的坐标即可.
9．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数不经过第三象限，
该函数经过第一、二、四象限，
，，
经过第一、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2．
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°．
∴AB=AF=AD．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵AG=AG，B=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即，
解得，．
∴．
∴BG=CG=，即点G是BC中点，
故①正确．
∵，
∴∠AGB≠60°．
∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°．
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形．
∴FG≠FC，
故②错误．
∵△CGE的面积=CG CE=××2=，EF：FG=1：=2：3，
∴，
故③正确．
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质可得AB=3，CD=3DE，再利用“HL”证出Rt△ABG≌Rt△AFG，再利用全等三角形的性质及勾股定理和线段的和差求出，再利用等边三角形的判定方法证出 △CGF不是等边三角形，最后利用三角形的面积公式及计算方法逐项分析判断即可.
11．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，直线向下平移3个单位后得到直线解析式是：，即．
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
13．【答案】四条边相等的四边形是正方形；假
【知识点】正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，
故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
【分析】先利用逆命题的定义及书写格式求出其逆命题，再利用真假命题的定义分析求解即可.
14．【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2=0.55，s乙2=0.56，s丙2=0.52，s丁2=0.48，
∴s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，
∴这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
【分析】利用方差的性质：方差越大，数据波动越大求解即可。
15．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
在Rt△ADP与Rt△HCQ中，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故答案为：4．
【分析】过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，先利用“AAS”证出Rt△ADP≌Rt△HCQ，利用全等三角形的性质可得AD=HC，利用线段的和差求出BH=4，最后求出当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4，从而得解.
16．【答案】5或或
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，
；
①当时，如图1，；
②当时，如图2，，；
③当时，如图3，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
故答案为：5或或．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当时，先分别画出图形，再利用等腰三角形的性质及勾股定理列出方程求解即可.
17．【答案】解：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，
∴
.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
19．【答案】解：∵在平行四边形中，且，
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，所以，即可求出答案.
20．【答案】解：设所求直线方程为：y＝kx+b，
∵y＝kx+b与直线y＝2x﹣3平行，
∴k＝2，
∵y＝kx+b经过点（2，7），
∴7＝2×2+b，
解得：b＝3，
∴所求直线为：y＝2x+3．
由于该直线经过点（0，3）、（，0），则其函数图象如图所示：
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可.
21．【答案】（1）解：∵，，，
∴.
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴=．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边是斜边的一半）求解即可.
（2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式及割补法求出四边形ABCD的面积即可.
22．【答案】（1）解：本次抽查的学生人数是（人），
的学生人数为（人），
由此补全条形统计图如下：
；
（2）；元
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】（2）解：本次抽查的学生人数是（人），
因为这组数据按从小到大进行排序后，处在第25和第26个数都是15，
所以中位数是（元），
故答案为：；元.
【分析】（1）先求出总人数，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义及计算方法分析求解即可.
23．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
，
，
平分，
，
而，
，
垂直平分，
，，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作出线段的垂直平分线，再与交于点F，与边交于点E，最后连接，即可；
（2）先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得OF=CO，再结合AO=CO证出四边形是平行四边形，结合，即可证出平行四边形是菱形．
24．【答案】（1）；
（2）解：如图，点 D 在直线上， ，
∴为的中点，或，
当为的中点，，
∴，
当，即为的中点，
∴，
∴点的坐标为或.
（3）解：如图，
∵直线轴， 并分别交直线，于点E， F，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：.
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形性质；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：联立两个方程可得：，
解得：，
∴；
当时，，
∴，
∴当时；；
故答案为：；.
【分析】（1）联立方程组求出两函数图象交点坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（2）分类讨论：①当为的中点，②当，即为的中点，再分别求出点D的坐标即可；
（3）设，则，先求出，再列出不等式，最后求出x的取值范围即可.
25．【答案】解：（1）3；
（2）①证明：由（1）知△ADC，△ABC都是等边三角形，
∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝60°，DC＝AC，
∵DE＝AF，
∴△DCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
②如图②中，连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，
∵，BC＝6cm，
∴BO＝BC sin60°＝6×cm，
∴cm，
∴cm，
∵BG＝BC，
∴∠BGC＝∠BCG＝75°，
∵∠BGC＝∠DGE，
∴∠BCG＝∠DGE，
∵AD∥BC，
∴∠DEG＝∠BCG，
∴∠DEG＝∠DGE，
∴DG＝DE＝cm，
∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCG＝120°﹣75°＝45°，
∴EN＝DE sin60°＝cm，
∴cm，
∴EF＝CE＝（9）cm，t＝（6﹣6）s．
（3）
【知识点】三角形全等的判定-SAS；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：如图①中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∴△ADC，△ABC都是等边三角形，
当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，
∵CA＝CD＝CB，
∴CE⊥AD，CF⊥AB，
∵∠CAB＝∠CAD，
∴CF＝CE，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分线段EF，
∴∠AGF＝90°，
∵∠FAG＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∴AG＝AF＝cm，
∴cm，
∴EF=cm；
故答案为：．
（3）解：如图③，作CH⊥AB于H，
由（2）可知：△EFC是等边三角形，
∴CF＝EF＝3cm，
在Rt△BCH中，
∵BC＝6，∠CBH＝60°，
∴BH＝3，CH＝cm，
在Rt△CFH中，HF＝cm，
∴cm，AF＝（3+）cm，
∵运动速度为1cm/s，
∴s．
【分析】（1）先证出△ADC，△ABC都是等边三角形，再求出 ∠AFG＝30°， 利用含30°角的直角三角形的性质求出 AG＝AF＝cm， 利用勾股定理求出GF的长，最后求出EF的长即可；
（2）①先利用“SAS”证出 △DCE≌△ACF ，利用全等三角形的性质可得 CE＝CF，∠DCE＝∠ACF， 再结合 ∠ECF＝∠ACD＝60°， 即可证出 △ECF是等边三角形；
② 连接AC，交BD 于点O，过点E作EN⊥CD，垂足为N，先求出 ∠DCE＝∠BCD﹣∠BCG＝120°﹣75°＝45°， 再利用解直角三角形的性质求出 EN＝DE sin60°＝cm， 最后求出 EF＝CE＝（9）cm，t＝（6﹣6）s即可；
（3）作CH⊥AB于H，先求出cm，AF＝（3+）cm， 再结合“ 运动速度为1cm/s ”求出s即可.
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