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广东省深圳市南山区2023-2024学年 八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔填涂在答题卡上）
1．（2024八下·南山期末）如果分式 有意义，则 的取值范围是（　　）
A． ≠0 B． ≠1 C． ＞1 D． ＝1
2．（2024八下·南山期末）下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·南山期末）小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·南山期末）下列因式分解的结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·南山期末）如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（　　）
A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m
6．（2024八下·南山期末）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·南山期末）如图，在中 ，． 将沿向右平移，得到（点在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024八下·南山期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．（2024八下·南山期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
10．（2024八下·南山期末）如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题(每小题3分，共计15分)
11．（2024八下·南山期末）一个多边形的内角和是外角和2倍，则这个多边形是　 　．
12．（2024八下·南山期末）因式分解：　 　
13．（2024八下·南山期末）如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
14．（2024八下·南山期末）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是　 　．
15．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是　 　
三、、解答题(本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2024八下·南山期末）（1）解不等式：；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．（2024八下·南山期末）解方程： ．
18．（2024八下·南山期末）先化简，再求值： ， 其 中．
19．（2024八下·南山期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上.
（1）将向左平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O 的中心对称图形；
（3）若第一象限内存在点D，使得以A 、B 、C 、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为
（4）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为
20．（2024八下·南山期末）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
21．（2024八下·南山期末）第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B 种的进价每件多1元．
（1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元
（2）该商铺计划购进A、B 两种饰品共600件，购进B 种的件数不低于390件，且不超过A 种件数的4倍，现采购A 种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A 种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
22．（2024八下·南山期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点 B 的对应点为点D，点 C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．
数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在以上图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
① “乐学小组”提出问题：如图2，当时，则线段的长为 ．
② “善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】要使分式有意义，则分母不能为0，所以有 ，得到
故答案为：B
【分析】根据“要使分式有意义，即分母不能为0”，列出不等式，解不等式即可
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的汽车图标不是中心对称图形．故不合题意；
B、此选项中的汽车图标是中心对称图形．故符合题意；
C、此选项中的汽车图标不是中心对称图形．故不合题意；
D、此选项中的汽车图标不是中心对称图形．故不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由图可知最低限速60千米/小时 ，
∴，
又自驾游的车属于小轿车，小轿车的最高速不超过120 千米/小时 ，
∴，
综上， 符合限速规定的v应满足的条件是，
故答案为：C．
【分析】本题是看图列不等式，要不低于最低限速60千米/小时 ，自驾游的车属于小客车最高速不超过120千米/小时 ，从而即可作答．
4．【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、a2+b2这个二项式即没有公因式也不是两个数的平方差得形式，故不能进行因式分解，∴原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式分解正确，符合题意；
C、，原式分解错误，不符合题意；
D、，原式分解错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】将一个多项式化为几个整式积的形式的恒等变形，就是因式分解；对于一个多项式分解因式，首选的方法是提取公因式法，其次根据多项式的项数确定使用哪一个公式进行分解，如果是二项式，一般使用平方差公式，如果是三项式一般使用完全平方公式或十字相乘法，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】过点B作交的延长线于D，根据直线平行判定定理可得可得，则，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
7．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：设平移的距离是，
根据平移的性质，可得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴平移的距离是．
故答案为：C．
【分析】设平移的距离是xcm，根据平移的性质得AD=BE=xcm，然后根据线段的和差可得CE=(8-x)cm，然后AD=3CE列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
8．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、等边三角形每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为 ， ，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】正多边形镶嵌由三个条件：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形能否镶嵌，只要看拼在同一顶点出的几个角能否构成周角，据此逐一判断即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：小明的作图中，
∴，
∴，
∴平分，故小明的作法正确；
小颖的作图中，
∴，
∴，
∵OC=OD，OG=OF，
∴，即，
又∵，
∴（AAS），
∴
又∵，
∴（SSS），
∴，
∴平分，故小颖的作法正确；
小亮的作图中，，
∴，
∴平分，故小亮的作法正确，
综上，小明、小颖和小亮三位同学用尺规作∠AOB的平分线作法都正确.
故答案为：D．
【分析】根据小明的作法用SSS判断出△DOE≌△COE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小颖的作法，先用SAS判断出△OCG≌△ODF，得∠OGC=∠OFD，再用AAS判断出△GDE≌△FCE，得GE=EF，最后用SSS判断出△OGEE≌△OFE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小亮的作法可得OF=EF，EF∥OB，由等边对等角得∠FOE=∠FEO，由二直线平行，内错角相等，得∠FEO=∠EOB，则∠FOE=∠BOE，从而利用角平分线的定义可判断.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接PM，
∵线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M 、N，
∴，
∵，
∴，
由图②可知，当，
∴，
∴，
∴当时，即点M为AB的中点时，，
故答案为：D．
【分析】由线段垂直平分线的性质得AM=MP，再由勾股定理得，由图②可知，当x=6时，y=2.5，则从而用勾股定理可得AM=PM=6.5，进而由线段的核查得AB=9，由图可知当x=BP=0时，即点M为AB的中点，据此即可求出a的值．
11．【答案】六边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
即这个多边形为六边形．
故答案为：六边形．
【分析】多边形的外角和是，据此可得多边形的内角和．设多边形是n边形，利用内角和公式，得到关于n的方程，求解即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】此三项式是一个完全平方式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
13．【答案】x<-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可以看出，在交点的左侧，相同的x值，l1的函数值较大，
∴不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜﹣1，
故答案为x＜﹣1．
【分析】直线在直线上方时，有，结合图象即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DA=CB，DC=BA，
∴∠ECD=∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD=∠ECB，
∴∠ECB=∠CEB，
∴CB=EB=5，
∴DA=5，
∵，
∴△DEA为直角三角形，
∴∠DEA=90°，
∴BA=CD=8，∠EDC=90°，
由勾股定理得，
故答案：
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC∥AB，DA=CB，DC=BA，进而根据平行线的性质得到∠ECD=∠BEC，再根据角平分线的性质得到∠ECD=∠ECB，进而得到∠ECB=∠CEB，根据等腰三角形的性质结合题意即可得到DA=5，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠DEA=90°，进而得到BA=CD=8，∠EDC=90°，最后根据勾股定理即可求出CE的长。
15．【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
16．【答案】解：（1），
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
17．【答案】解：方程两边同乘（x-4），得 3-x-1=x-4， 解得：x=3， 检验：当x=3时，x-4≠0， 所以原方程的解为：x=3.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将方程两边同时乘以（x-4）去分母，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再检验即可得出方程的解。
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果计算即可．
19．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）（5，6）
（4）（3，0）
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵B（1，1），C（4，2），
点C可以看作点B向右平移3个单位再向上平移1个单位得到的，
∴将A（2，5）作相同的变换可得点D（5，6），
故答案为：（5，6）；
（4）连接AA2，BB2，CC2，交于点M，
则△ABC绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向左平移6个单位长度得到的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A1、B1、C1绕点O旋转180°可得到的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等及平移规律可得点C可以看作点B向右平移3个单位再向上平移1个单位得到的，据此将点A向右平移3个单位再向上平移1个单位得到可得点D，从而得出答案；
（4）连接AA2，BB2，CC2，交于点M，则△ABC绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，根据点M的位置读出其坐标即可.
20．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：添加AE=CF（答案不唯一）；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD，
，
点G，H分别是AB，CD的中点，
，
，
，
，，
∴180°-∠AEG=180°-∠CFH
即，
，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：AE=CF；
【分析】（1）先由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，结合中点定义推出AG=CH，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠DCA，从而用SAS判断出△AGE≌△CHF，然后由全等三角形的性质得GE=FH，∠AEG=∠CFH，由邻补角定义及等角得补角相等推出∠GEF=∠HFE，由内错角相等，两直线平行，得GE∥FH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形则可得出结论；
（2）先由平行四边形的对角线互相平分得出OB=OD=5，OA=OC，再根据AE=CF、AE+CF=EF及推出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线等于第三边的一半可得EG的长度．
21．【答案】（1）解：设B种饰品每件的进价为a元，则A种饰品每件的进价为（a+1）元，由题意得：，
解得：，
经检验，a=9是原方程的解，且符合题意，
∴a+1=10，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）解：设购进A种饰品m件，则购进B种饰品（600-m）件
由题意可得：390≤600－m≤4m.
解得：120≤m≤210，
购进A种饰品件数m的取值范围为：，且m为整数；
设采购A种饰品m件时的总利润为w元，
若，此时不打折，
∴，
∵一次项系数，
∴120≤m≤150时，w随m的增大而减小，
当m=12时，w有最大值，最大值为.
若150∴，
∵一次项系数k=3>0，
随m的增大而增大，
当时，w有最大值是：，
，
w有最大值是3630，此时，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B种饰品每件的进价为a元，则A种饰品每件的进价为（a+1）元，根据题意得等量关系：1400元购买A种饰品的数量=2×用630元采购B种饰品的数量，据此列出方程求解即可；
（2）根据“ 购进B种的件数不低于390件，且不超过A种件数的4倍 ”列一元一次不等式组求解，确定变量x的取值范围；分情况讨论，根据总利润=销售m件A种饰品的利润+销售（600-m）件B饰品的利润列出w关于m的函数解析式，列出相应的解析式，根据一次函数的增减性确定最值以及此时m的取值即可．
22．【答案】解：（1），理由如下：
连接，如图1，
由旋转的性质知，，，
，
，
；
（2）①；
②如图3，
，，，
，
由旋转的性质知，，，，，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】（2）解：①如图2，延长，交于点F，
，
，
，，
由(1)知，，
设，
则，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）PC=PE，理由如下：连接AP，由旋转的性质得到AC=AE，∠C=∠AEP=90°，根据HL证明Rt△APE≌Rt△APC，然后根据全等三角形的对应边相等得PC=PE；
（2）①延长AE，交BC于点F，由三角形的内角和定理可得∠EPF=∠EFP=∠CAE=45°，由等角对等边得PE=EF，AC=CF=6，设PC=PE=x，在Rt△PEF中，用勾股定理表示出PF，然后根据CF=CP+PF建立方程可求出x的值，从而得到PC的长，最后根据BP=BC-PC可求出答案；
②在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质知AD=AB=10，DE=BC=8，∠B=∠D，∠C=∠AED=90°，当∠CAE=∠B时，得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠B，∠D=∠2，进而推出∠1=∠D，∠2=∠B，由等角对等边得AO=DO，BO=PO，然后根据线段的和差可求出PD=10，PC=PE=2，最后根据BP=BC-PC可算出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区2023-2024学年 八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔填涂在答题卡上）
1．（2024八下·南山期末）如果分式 有意义，则 的取值范围是（　　）
A． ≠0 B． ≠1 C． ＞1 D． ＝1
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】要使分式有意义，则分母不能为0，所以有 ，得到
故答案为：B
【分析】根据“要使分式有意义，即分母不能为0”，列出不等式，解不等式即可
2．（2024八下·南山期末）下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的汽车图标不是中心对称图形．故不合题意；
B、此选项中的汽车图标是中心对称图形．故符合题意；
C、此选项中的汽车图标不是中心对称图形．故不合题意；
D、此选项中的汽车图标不是中心对称图形．故不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2024八下·南山期末）小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由图可知最低限速60千米/小时 ，
∴，
又自驾游的车属于小轿车，小轿车的最高速不超过120 千米/小时 ，
∴，
综上， 符合限速规定的v应满足的条件是，
故答案为：C．
【分析】本题是看图列不等式，要不低于最低限速60千米/小时 ，自驾游的车属于小客车最高速不超过120千米/小时 ，从而即可作答．
4．（2024八下·南山期末）下列因式分解的结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、a2+b2这个二项式即没有公因式也不是两个数的平方差得形式，故不能进行因式分解，∴原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式分解正确，符合题意；
C、，原式分解错误，不符合题意；
D、，原式分解错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】将一个多项式化为几个整式积的形式的恒等变形，就是因式分解；对于一个多项式分解因式，首选的方法是提取公因式法，其次根据多项式的项数确定使用哪一个公式进行分解，如果是二项式，一般使用平方差公式，如果是三项式一般使用完全平方公式或十字相乘法，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，据此逐一判断得出答案.
5．（2024八下·南山期末）如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（　　）
A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】过点B作交的延长线于D，根据直线平行判定定理可得可得，则，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．（2024八下·南山期末）有理数a 、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，
∴-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，
∴，，，a+b＜a-b，
∴A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a ，且|b|＞|a|，然后根据不等式性质及有理数的加减法及乘法法则可得-a＜0＜-b，ab＜0，a+b＜0，a-b＞0，从而即可逐项判断得出答案．
7．（2024八下·南山期末）如图，在中 ，． 将沿向右平移，得到（点在线段上），若要使成立，则平移的距离是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：设平移的距离是，
根据平移的性质，可得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴平移的距离是．
故答案为：C．
【分析】设平移的距离是xcm，根据平移的性质得AD=BE=xcm，然后根据线段的和差可得CE=(8-x)cm，然后AD=3CE列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
8．（2024八下·南山期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：A、等边三角形每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为 ， ，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】正多边形镶嵌由三个条件：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形能否镶嵌，只要看拼在同一顶点出的几个角能否构成周角，据此逐一判断即可.
9．（2024八下·南山期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：小明的作图中，
∴，
∴，
∴平分，故小明的作法正确；
小颖的作图中，
∴，
∴，
∵OC=OD，OG=OF，
∴，即，
又∵，
∴（AAS），
∴
又∵，
∴（SSS），
∴，
∴平分，故小颖的作法正确；
小亮的作图中，，
∴，
∴平分，故小亮的作法正确，
综上，小明、小颖和小亮三位同学用尺规作∠AOB的平分线作法都正确.
故答案为：D．
【分析】根据小明的作法用SSS判断出△DOE≌△COE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小颖的作法，先用SAS判断出△OCG≌△ODF，得∠OGC=∠OFD，再用AAS判断出△GDE≌△FCE，得GE=EF，最后用SSS判断出△OGEE≌△OFE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小亮的作法可得OF=EF，EF∥OB，由等边对等角得∠FOE=∠FEO，由二直线平行，内错角相等，得∠FEO=∠EOB，则∠FOE=∠BOE，从而利用角平分线的定义可判断.
10．（2024八下·南山期末）如图①，在中，，点P 从点B 出发沿线段向点C 运动，线段的垂直平分线分别交于点M 、N，设，y与x 之间的函数图象如图②所示，则图②中a 的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接PM，
∵线段AP的垂直平分线分别交AB、AP于点M 、N，
∴，
∵，
∴，
由图②可知，当，
∴，
∴，
∴当时，即点M为AB的中点时，，
故答案为：D．
【分析】由线段垂直平分线的性质得AM=MP，再由勾股定理得，由图②可知，当x=6时，y=2.5，则从而用勾股定理可得AM=PM=6.5，进而由线段的核查得AB=9，由图可知当x=BP=0时，即点M为AB的中点，据此即可求出a的值．
二、填空题(每小题3分，共计15分)
11．（2024八下·南山期末）一个多边形的内角和是外角和2倍，则这个多边形是　 　．
【答案】六边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
即这个多边形为六边形．
故答案为：六边形．
【分析】多边形的外角和是，据此可得多边形的内角和．设多边形是n边形，利用内角和公式，得到关于n的方程，求解即可．
12．（2024八下·南山期末）因式分解：　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】此三项式是一个完全平方式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
13．（2024八下·南山期末）如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】x<-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可以看出，在交点的左侧，相同的x值，l1的函数值较大，
∴不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜﹣1，
故答案为x＜﹣1．
【分析】直线在直线上方时，有，结合图象即可求出答案.
14．（2024八下·南山期末）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DA=CB，DC=BA，
∴∠ECD=∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD=∠ECB，
∴∠ECB=∠CEB，
∴CB=EB=5，
∴DA=5，
∵，
∴△DEA为直角三角形，
∴∠DEA=90°，
∴BA=CD=8，∠EDC=90°，
由勾股定理得，
故答案：
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC∥AB，DA=CB，DC=BA，进而根据平行线的性质得到∠ECD=∠BEC，再根据角平分线的性质得到∠ECD=∠ECB，进而得到∠ECB=∠CEB，根据等腰三角形的性质结合题意即可得到DA=5，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠DEA=90°，进而得到BA=CD=8，∠EDC=90°，最后根据勾股定理即可求出CE的长。
15．（2024八下·南山期末）若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是　 　
【答案】-1
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x＞-2.5，
由②得x≤3-m，
∵不等式组至少有2个整数解，
，
解得
解关于y的分式方程，
得
∵分式方程的解是非负整数，
且，
解得且的奇数，
∴m取，，3，
∴满足条件的整数的和是
故答案为：-1.
【分析】经m作为系数系数先解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案．
三、、解答题(本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分)
16．（2024八下·南山期末）（1）解不等式：；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：（1），
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
17．（2024八下·南山期末）解方程： ．
【答案】解：方程两边同乘（x-4），得 3-x-1=x-4， 解得：x=3， 检验：当x=3时，x-4≠0， 所以原方程的解为：x=3.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将方程两边同时乘以（x-4）去分母，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再检验即可得出方程的解。
18．（2024八下·南山期末）先化简，再求值： ， 其 中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，再将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果计算即可．
19．（2024八下·南山期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上.
（1）将向左平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O 的中心对称图形；
（3）若第一象限内存在点D，使得以A 、B 、C 、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为
（4）若将绕某一点旋转可得到，那么旋转中心的坐标为
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求；
（3）（5，6）
（4）（3，0）
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵B（1，1），C（4，2），
点C可以看作点B向右平移3个单位再向上平移1个单位得到的，
∴将A（2，5）作相同的变换可得点D（5，6），
故答案为：（5，6）；
（4）连接AA2，BB2，CC2，交于点M，
则△ABC绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向左平移6个单位长度得到的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A1、B1、C1绕点O旋转180°可得到的对应点A2、B2、C2，再顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等及平移规律可得点C可以看作点B向右平移3个单位再向上平移1个单位得到的，据此将点A向右平移3个单位再向上平移1个单位得到可得点D，从而得出答案；
（4）连接AA2，BB2，CC2，交于点M，则△ABC绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，根据点M的位置读出其坐标即可.
20．（2024八下·南山期末）如图，在中，点G、H分别是、中点，点E、F在对角线上，
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件 ，使得四边形是平行四边形并说明理由；
（2）连接交于点O，若，，，求的长.
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：连接交于点O，如图：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又∵点G是的中点，
是的中位线，
．
的长为2.5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：添加AE=CF（答案不唯一）；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
，AB=CD，
，
点G，H分别是AB，CD的中点，
，
，
，
，，
∴180°-∠AEG=180°-∠CFH
即，
，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为：AE=CF；
【分析】（1）先由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，结合中点定义推出AG=CH，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠DCA，从而用SAS判断出△AGE≌△CHF，然后由全等三角形的性质得GE=FH，∠AEG=∠CFH，由邻补角定义及等角得补角相等推出∠GEF=∠HFE，由内错角相等，两直线平行，得GE∥FH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形则可得出结论；
（2）先由平行四边形的对角线互相平分得出OB=OD=5，OA=OC，再根据AE=CF、AE+CF=EF及推出AE=OE，从而可得EG是△ABO的中位线，利用中位线等于第三边的一半可得EG的长度．
21．（2024八下·南山期末）第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B 种的进价每件多1元．
（1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元
（2）该商铺计划购进A、B 两种饰品共600件，购进B 种的件数不低于390件，且不超过A 种件数的4倍，现采购A 种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A 种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设B种饰品每件的进价为a元，则A种饰品每件的进价为（a+1）元，由题意得：，
解得：，
经检验，a=9是原方程的解，且符合题意，
∴a+1=10，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）解：设购进A种饰品m件，则购进B种饰品（600-m）件
由题意可得：390≤600－m≤4m.
解得：120≤m≤210，
购进A种饰品件数m的取值范围为：，且m为整数；
设采购A种饰品m件时的总利润为w元，
若，此时不打折，
∴，
∵一次项系数，
∴120≤m≤150时，w随m的增大而减小，
当m=12时，w有最大值，最大值为.
若150∴，
∵一次项系数k=3>0，
随m的增大而增大，
当时，w有最大值是：，
，
w有最大值是3630，此时，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B种饰品每件的进价为a元，则A种饰品每件的进价为（a+1）元，根据题意得等量关系：1400元购买A种饰品的数量=2×用630元采购B种饰品的数量，据此列出方程求解即可；
（2）根据“ 购进B种的件数不低于390件，且不超过A种件数的4倍 ”列一元一次不等式组求解，确定变量x的取值范围；分情况讨论，根据总利润=销售m件A种饰品的利润+销售（600-m）件B饰品的利润列出w关于m的函数解析式，列出相应的解析式，根据一次函数的增减性确定最值以及此时m的取值即可．
22．（2024八下·南山期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点 B 的对应点为点D，点 C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．
数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在以上图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
① “乐学小组”提出问题：如图2，当时，则线段的长为 ．
② “善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长．
【答案】解：（1），理由如下：
连接，如图1，
由旋转的性质知，，，
，
，
；
（2）①；
②如图3，
，，，
，
由旋转的性质知，，，，，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】（2）解：①如图2，延长，交于点F，
，
，
，，
由(1)知，，
设，
则，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）PC=PE，理由如下：连接AP，由旋转的性质得到AC=AE，∠C=∠AEP=90°，根据HL证明Rt△APE≌Rt△APC，然后根据全等三角形的对应边相等得PC=PE；
（2）①延长AE，交BC于点F，由三角形的内角和定理可得∠EPF=∠EFP=∠CAE=45°，由等角对等边得PE=EF，AC=CF=6，设PC=PE=x，在Rt△PEF中，用勾股定理表示出PF，然后根据CF=CP+PF建立方程可求出x的值，从而得到PC的长，最后根据BP=BC-PC可求出答案；
②在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质知AD=AB=10，DE=BC=8，∠B=∠D，∠C=∠AED=90°，当∠CAE=∠B时，得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠B，∠D=∠2，进而推出∠1=∠D，∠2=∠B，由等角对等边得AO=DO，BO=PO，然后根据线段的和差可求出PD=10，PC=PE=2，最后根据BP=BC-PC可算出答案.
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