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广东省河源市紫金县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·紫金期末）古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数学，哪里就有美．”从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形等，都体现了数学几何美无处不在．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·紫金期末）已知，下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·紫金期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度到点，
∴，即，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
4．（2024八下·紫金期末）如图，在边长为2的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，则的周长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点分别为三边的中点，
是边长为2的等边三角形，
，
的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中线的性质可得，再利用等边三角形的性质及周长公式可得，最后求出的周长即可.
5．（2024八下·紫金期末）古代八角窗寓意着人们对吉祥、幸福的期盼．如图是我国古建筑墙上采用的八角窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
即这个正八边形的一个内角是，
故答案为：D．
【分析】利用“每一个内角的度数=多边形的内角和÷边数”列出算式求解即可.
6．（2024八下·紫金期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
7．（2024八下·紫金期末）给出下列3个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若 ，则；③对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同旁内角的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若，则的逆命题是若，则，是真命题；
③对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；
它们的逆命题是真命题的个数是2个．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定、等式的性质和绝对值的性质、对顶角的性质及逆命题和真命题的定义逐项分析判断即可.
8．（2024八下·紫金期末）若一个等腰三角形的周长为，其中一边长为 ，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当长是的边是底边时，
腰长是：，
此时三边为、、，该等腰三角形存在；
当长是的边是腰时，
底边长是：，
而，不满足三角形的三边关系，
则以、、为边不能构成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为．
故答案为：A．
【分析】分类讨论：①当长是的边是底边时，②当长是的边是腰时，再用三角形三边的关系分析求解即可.
9．（2024八下·紫金期末）若 能用完全平方公式进行因式分解，则（　　）
A．4 B．或4 C．8 D．或8
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方式的特征可得，再求出k的值即可.
10．（2024八下·紫金期末）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组有且只有三个整数解，三个整数解为1，2，3，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式组的解法求出解集，再结合“不等式组有且只有三个整数解”可得，从而得解.
11．（2024八下·紫金期末）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
12．（2024八下·紫金期末）分解因式： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
13．（2024八下·紫金期末）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设　 　
【答案】一个三角形中有两个角是直角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
14．（2024八下·紫金期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的下方，故不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．（2024八下·紫金期末）如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
，
，
又∵
，
故答案为：．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出MC的长，利用线段的长求出AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
16．（2024八下·紫金期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴解集表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．（2024八下·紫金期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式加减法通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算即可.
18．（2024八下·紫金期末）如图，将置于平面直角坐标系中，三角形所有顶点都在格点上，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点，，的坐标．
【答案】解：如图所示，
∴点的坐标分别为：，，．
【知识点】中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点，，的坐标即可.
19．（2024八下·紫金期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC.
【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】先利用等角对等边的性质可得DE＝EC，再结合∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，利用“HL”证出△ADE≌△BEC即可.
20．（2024八下·紫金期末）如图，点D、E在的边上， ，，求证：是等腰三角形．
【答案】证明：，
，
在和中
，
，
．
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用等边对等角的性质可得∠B=∠C，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得AD=AE，从而可证出是等腰三角形．
21．（2024八下·紫金期末）某工厂要招聘A，B两个工种的工人共150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为3200元和4000元．
（1）若工厂要求B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额，那么至少要招聘A工种工人多少人？
（2）若工厂要求B工种工人的人数不少于A工种工人的人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？最少工资总额为多少元？
【答案】（1）解：设A工种工人有x人，B工种工人有人，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
至少要招聘A工种工人84人.
（2）解：设A工种工人有a人，B工种工人有人，
由题意得，
解得：，
设每月支付工资w元，则
，
∵，
∴一次函数w随a的增大而减小，
∴当时，w有最小值为元，
答：A工种工人有50人时，可付月工资最少，最少月工资为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设A工种工人有x人，B工种工人有人，根据“ B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额 ”列出不等式，再求解即可；
（2）设A工种工人有a人，B工种工人有人，根据“ B工种工人的人数不少于A工种工人的人数的2倍 ”累出不等式组求出a的取值范围，再设每月支付工资w元，求出，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
22．（2024八下·紫金期末）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品.解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产　 　件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品.
【答案】（1）1.25x
（2）解：更新设备后每天生产125件产品.
23．（2024八下·紫金期末）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），连接．，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若平分，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
∵，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，，再结合，， 利用等量代换可得DE=BF，OE=OF，从而可证出四边形为平行四边形；（2）先证出OE是AC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质可得AE=CE，再证出△ACE是等边三角形，可得，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
24．（2024八下·紫金期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：
．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是．
请用配方法解答下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知，求的值．
（3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
；
（3）解：
，
，
时，有最小值，最小值是．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用配方法可得，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将其代入计算即可；
（3）利用配方法将原式变形为，再求解即可.
25．（2024八下·紫金期末）阅读下面材料，并解决问题．
（1）【阅读材料】
如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A 旋转到 处，此时，连接 ，这样就可以利用旋转变换，将不在同一个三角形中的三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）【活学活用】
请你仿照第（1）题的解答思想方法，解答下列问题：
如图2，在等腰直角三角形中， ，，E，F 为上的点，且，求证：．
【答案】解：（1）；
（2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在等边三角形中，
∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴；
故答案为：150°.
【分析】（1）先利用全等三角形的性质和旋转的性质可得为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，且，最后求出∠APB的度数即可；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出，利用角的运算求出，最后利用勾股定理及等量代换可得．
1 / 1广东省河源市紫金县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·紫金期末）古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数学，哪里就有美．”从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形等，都体现了数学几何美无处不在．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·紫金期末）已知，下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·紫金期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·紫金期末）如图，在边长为2的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，则的周长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024八下·紫金期末）古代八角窗寓意着人们对吉祥、幸福的期盼．如图是我国古建筑墙上采用的八角窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·紫金期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
7．（2024八下·紫金期末）给出下列3个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若 ，则；③对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024八下·紫金期末）若一个等腰三角形的周长为，其中一边长为 ，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A． B． C．或 D．
9．（2024八下·紫金期末）若 能用完全平方公式进行因式分解，则（　　）
A．4 B．或4 C．8 D．或8
10．（2024八下·紫金期末）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·紫金期末）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·紫金期末）分解因式： =　 　.
13．（2024八下·紫金期末）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设　 　
14．（2024八下·紫金期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为　 　．
15．（2024八下·紫金期末）如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为　 　．
16．（2024八下·紫金期末）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
17．（2024八下·紫金期末）先化简，再求值：，其中．
18．（2024八下·紫金期末）如图，将置于平面直角坐标系中，三角形所有顶点都在格点上，画出以原点O为对称中心，与成中心对称的，并写出点，，的坐标．
19．（2024八下·紫金期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC.
20．（2024八下·紫金期末）如图，点D、E在的边上， ，，求证：是等腰三角形．
21．（2024八下·紫金期末）某工厂要招聘A，B两个工种的工人共150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为3200元和4000元．
（1）若工厂要求B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额，那么至少要招聘A工种工人多少人？
（2）若工厂要求B工种工人的人数不少于A工种工人的人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？最少工资总额为多少元？
22．（2024八下·紫金期末）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品.解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产　 　件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品.
23．（2024八下·紫金期末）如图，在中，对角线相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），连接．，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若平分，求四边形的周长．
24．（2024八下·紫金期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：
．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是．
请用配方法解答下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知，求的值．
（3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
25．（2024八下·紫金期末）阅读下面材料，并解决问题．
（1）【阅读材料】
如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 的度数．为了解决本题，我们可以将 绕顶点A 旋转到 处，此时，连接 ，这样就可以利用旋转变换，将不在同一个三角形中的三条线段转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）【活学活用】
请你仿照第（1）题的解答思想方法，解答下列问题：
如图2，在等腰直角三角形中， ，，E，F 为上的点，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度到点，
∴，即，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点分别为三边的中点，
是边长为2的等边三角形，
，
的周长，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中线的性质可得，再利用等边三角形的性质及周长公式可得，最后求出的周长即可.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
即这个正八边形的一个内角是，
故答案为：D．
【分析】利用“每一个内角的度数=多边形的内角和÷边数”列出算式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同旁内角的概念；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若，则的逆命题是若，则，是真命题；
③对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；
它们的逆命题是真命题的个数是2个．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定、等式的性质和绝对值的性质、对顶角的性质及逆命题和真命题的定义逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当长是的边是底边时，
腰长是：，
此时三边为、、，该等腰三角形存在；
当长是的边是腰时，
底边长是：，
而，不满足三角形的三边关系，
则以、、为边不能构成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为．
故答案为：A．
【分析】分类讨论：①当长是的边是底边时，②当长是的边是腰时，再用三角形三边的关系分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：B．
【分析】利用完全平方式的特征可得，再求出k的值即可.
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组有且只有三个整数解，三个整数解为1，2，3，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式组的解法求出解集，再结合“不等式组有且只有三个整数解”可得，从而得解.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】观察代数式的特点，利用平方差公式分解即可。
13．【答案】一个三角形中有两个角是直角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：两个条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的下方，故不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
，
，
又∵
，
故答案为：．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出MC的长，利用线段的长求出AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
16．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴解集表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．【答案】解：
当时
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式加减法通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算即可.
18．【答案】解：如图所示，
∴点的坐标分别为：，，．
【知识点】中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点，，的坐标即可.
19．【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】先利用等角对等边的性质可得DE＝EC，再结合∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，利用“HL”证出△ADE≌△BEC即可.
20．【答案】证明：，
，
在和中
，
，
．
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用等边对等角的性质可得∠B=∠C，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得AD=AE，从而可证出是等腰三角形．
21．【答案】（1）解：设A工种工人有x人，B工种工人有人，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
至少要招聘A工种工人84人.
（2）解：设A工种工人有a人，B工种工人有人，
由题意得，
解得：，
设每月支付工资w元，则
，
∵，
∴一次函数w随a的增大而减小，
∴当时，w有最小值为元，
答：A工种工人有50人时，可付月工资最少，最少月工资为元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设A工种工人有x人，B工种工人有人，根据“ B工种工人的月工资总额不超过A工种工人的月工资总额 ”列出不等式，再求解即可；
（2）设A工种工人有a人，B工种工人有人，根据“ B工种工人的人数不少于A工种工人的人数的2倍 ”累出不等式组求出a的取值范围，再设每月支付工资w元，求出，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
22．【答案】（1）1.25x
（2）解：更新设备后每天生产125件产品.
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
∵，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，，再结合，， 利用等量代换可得DE=BF，OE=OF，从而可证出四边形为平行四边形；（2）先证出OE是AC的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质可得AE=CE，再证出△ACE是等边三角形，可得，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
24．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
；
（3）解：
，
，
时，有最小值，最小值是．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；因式分解的应用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用配方法可得，再利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，最后将其代入计算即可；
（3）利用配方法将原式变形为，再求解即可.
25．【答案】解：（1）；
（2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
即．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在等边三角形中，
∵，
∴，
由题意知旋转角，
∴为等边三角形，
，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴；
故答案为：150°.
【分析】（1）先利用全等三角形的性质和旋转的性质可得为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，且，最后求出∠APB的度数即可；
（2）把绕点A逆时针旋转得到，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出，利用角的运算求出，最后利用勾股定理及等量代换可得．
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