【精品解析】广东省龙涛教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

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广东省龙涛教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1.(2024八下·广东期末)下列根式是最简二次根式的是(  )
A. B. C. D.
2.(2024八下·广东期末)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(  )
A.2,3,4 B.1,, C.4,6,8 D.5,12,15
3.(2024八下·广东期末)如图,在中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数等于(  )
A.45° B.55° C.65° D.75°
4.(2024八下·广东期末)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛,经过三轮初赛,他们的平均成绩都是86.5分,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你认为派谁去参赛更合适(  )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.(2024八下·广东期末)下列命题中,假命题是(  )
A.平行四边形的对角线互相垂直平分
B.矩形的对角线相等
C.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D.对角线相等的菱形是正方形
6.(2024八下·广东期末)下列计算正确的是(  )
A. B. C. D.
7.(2024八下·广东期末)下列有关一次函数的说法中,错误的是(  )
A.y的值随着x增大而减小
B.当时,
C.函数图象与y轴的交点坐标为
D.函数图象经过第一、二、四象限
8.(2024八下·广东期末)如图,四边形ABCD为菱形,,,连接四边形中点得到四边形EFGH,则四边形EFGH的面积为(  )
A. B. C. D.
9.(2024八下·广东期末)如图,折线表示一骑车人离家的距离与时间的关系,骑车人9:00离开家,15:00回到家,则下列说法错误的是( )
A.骑车人离家最远距离是45km
B.骑车人中途休息的总时间长是1.5h
C.从9:00到10:30骑车人离家的速度越来越大
D.骑车人返家的平均速度是30km/h
10.(2024八下·广东期末)对于函数,,为常数与函数,,为常数).若,,则称函数与互为“对称函数”,下列结论:①若函数与互为“对称函数”,则与的图象关于轴对称;②若点,,分别在“对称函数” 与的图象上,当时,则;③若函数与函数互为“对称函数”,则的值为1;④若函数与互为“对称函数”,将函数向右平移个单位得到函数,当,则.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024八下·广东期末)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是   .
12.(2024八下·广东期末)一组数据2,3, ,4,5的平均数是4,则    .
13.(2024八下·广东期末)当   时,函数是正比例函数.
14.(2024八下·广东期末)如图,中,分别以这个三角形的三边为边长作正方形,面积分别记为、、.如果,则阴影部分的面积为   .
15.(2024八下·广东期末)如图,在矩形中,相交于点,平分交于点,若,则的度数为   .
16.(2024八下·广东期末)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且,AE交BD于M点,AF交BD于N点.下列结论:①;②;③EA平分;④的周长等于,其中正确结论的序号是    .(把你认为所有正确的都填上)
17.(2024八下·广东期末)计算:.
18.(2024八下·广东期末)如图,在中,点E、F分别在、上,且.求证:四边形是平行四边形.
19.(2024八下·广东期末)如图,在中,,是上一点,且,.
(1)求的度数.
(2)求的长.
20.(2024八下·广东期末)在抗击新型冠状病毒疫情期间,某校学生主动发起为武汉加油捐款活动,为了了解学生捐款金额(单位:元),随机调查了该校的部分学生,根据调查结果,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
①本次接受调查的学生人数为______,图①中的值为______;
②统计的这组学生捐款数据的众数是______,和中位数是______;
③根据统计的这组学生捐款数据的样本数据,若该校共有名学生,估计该校此次捐款总金额为多少元?
21.(2024八下·广东期末)如图,在中,,点D、E分别是的中点,点F在的延长线上,.
(1)求证:;
(2)若,求四边形的面积.
22.(2024八下·广东期末)冰墩墩(BingDwenDwen),是2022年北京冬季奥运会的吉祥物,将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,头部外壳造型取自冰雪运动头盔,装饰彩色光环,整体形象酷似航天员,冬奥会来临之际,冰墩墩玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款冰墩墩玩偶,决定从该网店进货并销售,两款玩偶的进货价和销售价如表:
A款玩偶 B款玩偶
进货价(元/个) 20 15
销售价(元/个) 25 18
(1)第一次小李以1650元购进了A,B两款玩偶共100个,求两款玩偶各购进多少个?
(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,小李计划购进两款玩偶共100个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
23.(2024八下·广东期末)在矩形纸片中,将矩形纸片折叠,使点与点重合,折痕交于点,交于点.
(1)尺规作图:求作折痕;
(2)求证:四边形是菱形.
(3)若,求的值.
24.(2024八下·广东期末)如图,在正方形中,,点为正方形的对角线上一动点,
(1)如图①,过点作交边于点.当点在边上时,求证:;
(2)如图②,在(1)的条件下,过点作,垂足为点,在点的运动过程中,的长度是否发生变化?若不变,求出这个不变的值;若变化,试说明理由.
(3)如图③,若点是射线上的一个动点,且始终满足,设,请直接写出的最小值.
25.(2024八下·广东期末)在平面直角坐标系中,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,交轴于点.
(1)如图1,连接,求的面积;
(2)如图2,在直线上存在点,使得,求点的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,过点作的垂线交轴于点,点在直线上,在平面中存在一点,使得,,,为顶点的四边形为平行四边形,请求出点的坐标.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解:A、,故A错误;
C、,故C错误;
D、,故D错误;
故答案为:B.
【分析】最简二次根式需要符合以下特征:1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;2、被开方数的因数是整数,因式是整式。
2.【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A、∵22+32=13,42=16,
∴22+32≠42,
∴ 此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形,故A不符合题意;
B、∵,,

∴此选项中的三个数作为三角形的边长能构成直角三角形,故B符合题意;
C、 ∵42+62=52,82=64,
∴42+62≠82,
∴此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形,故C不符合题意;
D、∵122+52=169,152=225,
∴122+52≠152,
∴此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形,故D不符合题意.
故答案为:B.
【分析】根据如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形,逐项分析即可求解.
3.【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;邻补角
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠A=135°,
∵∠MCD+∠BCD=180°,
∴∠MCD=180°-135°=45°.
故答案为:A.
【分析】根据平行四边形对角相等,求出∠BCD,再根据邻补角的定义求出∠MCD即可.
4.【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】由题意可知甲的方差最小,则应该选择甲.
故答案为A.
【分析】根据方差的概念进行解答即可.
5.【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;菱形的性质;矩形的性质;正方形的性质;真命题与假命题
【解析】【解答】A:平行四边形的对角线互相平分,选项是假命题,符合题意;
B:矩形的对角线相等,选项是真命题,不合题意;
C:菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,选项是真命题,不合题意;
D:对角线相等的菱形是正方形,选项是真命题,不合题意;
故答案为:A.
【分析】本题考查真命题和假命题。 如果一个命题的题设成立时,不能保证结论一定成立,那么这样的命题叫作假命题。 如果一个命题的题设成立时,结论一定成立,那么这样的命题叫作真命题。平行四边形的对角线互相平分,熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质是关键。
6.【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:A、与不能合并,所以A选项不符合题意;
B、与不能合并,所以B选项不符合题意;
C、原式,所以C选项不符合题意;
D、原式,所以D选项符合题意.
故选:D.
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
7.【答案】B
【知识点】一次函数的性质;一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:∵一次函数解析式为,,
∴y的值随着x增大而减小,且函数图象经过第一、二、四象限,故A、D正确,不符合题意;
当时,,
∴函数图象与y轴的交点坐标为,当时,,故B说法错误,符合题意,C说法正确,不符合题意;
故选:B.
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系,及一次函数的性质,(对于一次函数(k为常数,),当的图象在一、二、三象限;当的图象在一、三、四象限;当的图象在一、二、四象限;当的图象在二、三、四象限,当时,y的值随着x增大而增大,当时,y的值随着x增大而减小),逐项分析即可。
8.【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形;勾股定理;平行四边形的判定与性质;菱形的性质
9.【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:A、骑车人离家最远距离是,此项说法正确;
B、骑车人在休息了,在休息了,因此骑车人中途休息的总时间长是,此项说法正确;
C、从到骑车人离家的速度为,保持不变,此项说法错误;
D、骑车人返家的平均速度是,此项说法正确;
故选:C.
【分析】根据函数图象逐项进行判断即可求出答案.
10.【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小;一次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解:①函数与互为“对称函数”,
,,
,互为相反数,
与的图象关于轴对称,
符合题意;
②与是“对称函数”,

与互为相反数

符合题意;
③函数与函数互为“对称函数”,
,,
即,
求得:,

不符合题意;
④函数向右平移个单位得到函数,


解得:或,
不符合题意.
故答案为:B.
【分析】根据“对称函数”的定义及计算方法逐项分析判断即可.
11.【答案】x≥8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得:
x-8≥0,
解得:x≥8.
故答案为:x≥8.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x-8≥0,再求解即可。
12.【答案】6
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解:由题意得:( + + + + )÷5=4,解得:k=6,
故答案是:6.
【分析】平均数=各数的和÷数的个数,列关于k的方程,即可算出.
13.【答案】-2
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解:是正比例函数 ,

解得:m=-2,
当m=-2时, 函数是正比例函数.
故答案为:-2.
【分析】根据正比例函数的定义求解即可.
14.【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解:由题意得,,
在中,由勾股定理得,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:6.
【分析】根据题意得到,再由勾股定理得到,则由已知条件可推出,再根据三角形面积计算公式求解即可.
15.【答案】
【知识点】角的运算;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;矩形的性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,
∴,,,,
∴,
∵平分,
∴,
∴是等腰三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【分析】先证出是等腰三角形,可得,再结合,证出是等边三角形,利用等边三角形的性质可得,再利用三角形的内角和求出即可.
16.【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定;勾股定理;正方形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:①将绕点A逆时针旋转得到,连接NH,
∵,
∴,
∵绕点A逆时针旋转得到,
∴,,,
又∵,
∴,
∴,
而,
∴在中,,
∴,
故①正确;
②由题意可知,,有两个条件不能得到,
∴,
故②错误;
③将绕点A逆时针旋转得到,
∵,,
∴,
∴点G、D、F三点共线,
由旋转可得,,,
∵,
∴,,
又∵,
∴,

又∵,
∴,
∴EA平分;
④由③可知,
∴,
∵,,
∴的周长

故④正确;
综上所述:正确的有①③④,
故答案为:①③④.
【分析】先证出,利用全等三角形的性质可得,再求出,利用勾股定理可得;再利用全等三角形的判定方法和性质证出;再证出,可得,再结合,证出,可得 EA平分; 再证出,最后利用三角形的周长公式及等量代换可得的周长 ,从而得解.
17.【答案】解:原式

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤(①有括号先算括号内;②再算二次根式的乘除;③最后计算二次根式的加减法)分析求解即可.
18.【答案】解:∵四边形是平行四边形,

∵,
∴,即.
∴且.
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得,再根据边之间的关系可得,再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19.【答案】(1)解:∵,



.
(2)解:由(1)得,
∴,
由勾股定理得:,
即的长是.
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)先利用线段的和差求出AD的长,再利用勾股定理的逆定理证出=90°即可;
(2)先利用角的运算求出,再利用勾股定理求出BC的长即可.
20.【答案】解:①,;
②30,30;
③在所抽取的样本中,平均数为:

由样本数据,估计这名学生捐款总金额约为.
该校此次捐款总金额为元.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;中位数;众数;用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解:①由捐元的有人,占比,
所以本次共调查:人,
捐元的占比:,
所以:
故答案为:;.
②观察条形统计图,
在这组数据中,出现了次,出现的次数最多,
这组数据的众数为.
将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是,有,
这组数据的中位数为.
故答案为:
【分析】①利用“捐20元”的人数除以对应的百分比可得总人数,再求出m的值即可;
②利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可;
③先求出平均数,再乘以总人数即可.
21.【答案】(1)证明:如图,
在和中,
∵,点D、E是分别是的中点.
∴,
∴,
又∵.
∴,
又∵
∴,

(2)解:在中,∵∴,
∵点D、E分别是的中点,
,又,
四边形是平行四边形,
∴,
∴.
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD,再根据等边对等角可得∠B=∠DCE,然后求出∠FEC=∠DCE,根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°,然后求出∠CED=∠ECF=90°,再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)证明四边形是平行四边形,根据勾股定理求得,由三角形的中位线定理得到DE的长度,再由平行四边形的面积公式求得.
22.【答案】(1)解:设购进A款玩偶x个,则购进B款玩偶(100-x)个,
由题意可得:20x+15(100-x)=1650,解得x=30,∴100-x=70,
答:购进A款玩偶30个,则购进B款玩偶70个;
(2)解:设购进A款玩偶a个,则购进B款玩偶(100-a)个,利润为w元,
由题意可得:w=(25-20)a+(18-15)(100-a)=2a+300,
∵k=2>0,
∴w随a的增大而增大,
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,∴a≤,
解得a≤,
∵a为整数,∴a≤33
∴当a=33时,w取得最大值,此时w=366,100-a=67,
答:购进A款玩偶33个,购进B款玩偶67个时才能获得最大利润,最大利润是366元.
【知识点】一次函数的实际应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购进A款玩偶x个,则购进B款玩偶(100-x)个,根据题意列出方程20x+15(100-x)=1650,求出x的值即可;
(2)设购进A款玩偶a个,则购进B款玩偶(100-a)个,利润为w元,根据题意列出函数解析式w=(25-20)a+(18-15)(100-a)=2a+300,再利用一次函数的性质求解即可。
23.【答案】(1)解:如图,即为所求.
(2)证明:∵四边形是矩形,
∴,
∴.
设与交于点,
由题意可得,,


∴四边形是平行四边形.
由折叠可知,,
∴四边形是菱形.
(3)解:∵四边形是菱形.
∴,

∴设,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,

∵,
∴,
∴,




【知识点】三角形全等及其性质;菱形的判定;三角形全等的判定-AAS;尺规作图-等腰(等边)三角形
【解析】【分析】(1)先连接AC,再作出线段AC的垂直平分线即可;
(2)先证出四边形是平行四边形,再结合,即可证出四边形是菱形;
(3)设,先求出,利用勾股定理可得,求出,再结合,求出,最后求出即可.
24.【答案】(1)证明:连接,如图1所示:
∵四边形是正方形,
∴,
在和中,










.
(2)解:的长度不变.理由如下:连接,与相交于点,如图2.
∵四边形是正方形,
∴,
∵,即,
∴,
∵,即,

在和中,

∴,

∵四边形是正方形,





∴点在运动过程中,的长度不变,值为.
(3)的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;正方形的性质;四边形的综合
【解析】【解答】(3)解:过点作,使,连接,过点作,交延长线于,如图3所示:
∵四边形是正方形,
∴是等腰直角三角形,,
在和中,
∴,
∴三点共线时,最短,即最短,
此时,,
在中,由勾股定理得:,
∴的最小值为.
【分析】(1)连接,先利用“SAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再利用角的运算和等量代换可得,利用等角对等边的性质可得,最后利用等量代换可得;
(2)连接,与相交于点,先利用“AAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再利用正方形的性质求出,再结合,求出,从而可得点在运动过程中,的长度不变,值为;
(3)过点作,使,连接,过点作,交延长线于,先利用“SAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再证出三点共线时,最短,即最短, 求出,利用勾股定理求出即可.
25.【答案】(1)解:直线,令,则,
故点;
,令,则,令,即,
解得:,
故点,
则,
∴的面积.
(2)解:由题意,,观察图象可知,点只能直线在的右侧,过点作的垂线交于点,过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点,交过点与轴的平行线于点,
设点,点,
∵,故,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故,
解得,
故点.
(3)解:如图所示:
设的坐标为,
∵,
∴,
设的坐标为,
则:,
化简得:,
解得:,
∴点的坐标为,
设直线的表达式为,
将点的坐标代入得:,
解得:,
故直线的表达式为,
当在上方时,点向右平移2个单位向上平移个单位得到,
∴右平移2个单位向上平移个单位得到,
∵在直线上,故满足条件,
当在点下方时,同理得,此时不在直线上,不满足条件,
综上,点的坐标为.
【知识点】三角形全等及其性质;平行四边形的性质;平移的性质;一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)先求出点B、D的坐标,再求出BD和OC的长,最后利用三角形的面积公式求解即可;
(2)过点作的垂线交于点,过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点,交过点与轴的平行线于点,设点,点,先利用“AAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再列出方法求出m、n的值,即可得到点E的坐标;
(3)先求出直线EF的解析式,再分类讨论:①当在上方时,点向右平移2个单位向上平移个单位得到,②当在点下方时,再求出点P的坐标即可.
1 / 1广东省龙涛教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1.(2024八下·广东期末)下列根式是最简二次根式的是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解:A、,故A错误;
C、,故C错误;
D、,故D错误;
故答案为:B.
【分析】最简二次根式需要符合以下特征:1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;2、被开方数的因数是整数,因式是整式。
2.(2024八下·广东期末)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(  )
A.2,3,4 B.1,, C.4,6,8 D.5,12,15
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A、∵22+32=13,42=16,
∴22+32≠42,
∴ 此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形,故A不符合题意;
B、∵,,

∴此选项中的三个数作为三角形的边长能构成直角三角形,故B符合题意;
C、 ∵42+62=52,82=64,
∴42+62≠82,
∴此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形,故C不符合题意;
D、∵122+52=169,152=225,
∴122+52≠152,
∴此选项中的三个数作为三角形的边长不能构成直角三角形,故D不符合题意.
故答案为:B.
【分析】根据如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形,逐项分析即可求解.
3.(2024八下·广东期末)如图,在中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数等于(  )
A.45° B.55° C.65° D.75°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;邻补角
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠A=135°,
∵∠MCD+∠BCD=180°,
∴∠MCD=180°-135°=45°.
故答案为:A.
【分析】根据平行四边形对角相等,求出∠BCD,再根据邻补角的定义求出∠MCD即可.
4.(2024八下·广东期末)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛,经过三轮初赛,他们的平均成绩都是86.5分,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你认为派谁去参赛更合适(  )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】由题意可知甲的方差最小,则应该选择甲.
故答案为A.
【分析】根据方差的概念进行解答即可.
5.(2024八下·广东期末)下列命题中,假命题是(  )
A.平行四边形的对角线互相垂直平分
B.矩形的对角线相等
C.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D.对角线相等的菱形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;菱形的性质;矩形的性质;正方形的性质;真命题与假命题
【解析】【解答】A:平行四边形的对角线互相平分,选项是假命题,符合题意;
B:矩形的对角线相等,选项是真命题,不合题意;
C:菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,选项是真命题,不合题意;
D:对角线相等的菱形是正方形,选项是真命题,不合题意;
故答案为:A.
【分析】本题考查真命题和假命题。 如果一个命题的题设成立时,不能保证结论一定成立,那么这样的命题叫作假命题。 如果一个命题的题设成立时,结论一定成立,那么这样的命题叫作真命题。平行四边形的对角线互相平分,熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质是关键。
6.(2024八下·广东期末)下列计算正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:A、与不能合并,所以A选项不符合题意;
B、与不能合并,所以B选项不符合题意;
C、原式,所以C选项不符合题意;
D、原式,所以D选项符合题意.
故选:D.
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
7.(2024八下·广东期末)下列有关一次函数的说法中,错误的是(  )
A.y的值随着x增大而减小
B.当时,
C.函数图象与y轴的交点坐标为
D.函数图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的性质;一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:∵一次函数解析式为,,
∴y的值随着x增大而减小,且函数图象经过第一、二、四象限,故A、D正确,不符合题意;
当时,,
∴函数图象与y轴的交点坐标为,当时,,故B说法错误,符合题意,C说法正确,不符合题意;
故选:B.
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系,及一次函数的性质,(对于一次函数(k为常数,),当的图象在一、二、三象限;当的图象在一、三、四象限;当的图象在一、二、四象限;当的图象在二、三、四象限,当时,y的值随着x增大而增大,当时,y的值随着x增大而减小),逐项分析即可。
8.(2024八下·广东期末)如图,四边形ABCD为菱形,,,连接四边形中点得到四边形EFGH,则四边形EFGH的面积为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形;勾股定理;平行四边形的判定与性质;菱形的性质
9.(2024八下·广东期末)如图,折线表示一骑车人离家的距离与时间的关系,骑车人9:00离开家,15:00回到家,则下列说法错误的是( )
A.骑车人离家最远距离是45km
B.骑车人中途休息的总时间长是1.5h
C.从9:00到10:30骑车人离家的速度越来越大
D.骑车人返家的平均速度是30km/h
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:A、骑车人离家最远距离是,此项说法正确;
B、骑车人在休息了,在休息了,因此骑车人中途休息的总时间长是,此项说法正确;
C、从到骑车人离家的速度为,保持不变,此项说法错误;
D、骑车人返家的平均速度是,此项说法正确;
故选:C.
【分析】根据函数图象逐项进行判断即可求出答案.
10.(2024八下·广东期末)对于函数,,为常数与函数,,为常数).若,,则称函数与互为“对称函数”,下列结论:①若函数与互为“对称函数”,则与的图象关于轴对称;②若点,,分别在“对称函数” 与的图象上,当时,则;③若函数与函数互为“对称函数”,则的值为1;④若函数与互为“对称函数”,将函数向右平移个单位得到函数,当,则.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小;一次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解:①函数与互为“对称函数”,
,,
,互为相反数,
与的图象关于轴对称,
符合题意;
②与是“对称函数”,

与互为相反数

符合题意;
③函数与函数互为“对称函数”,
,,
即,
求得:,

不符合题意;
④函数向右平移个单位得到函数,


解得:或,
不符合题意.
故答案为:B.
【分析】根据“对称函数”的定义及计算方法逐项分析判断即可.
11.(2024八下·广东期末)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是   .
【答案】x≥8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:由题意得:
x-8≥0,
解得:x≥8.
故答案为:x≥8.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x-8≥0,再求解即可。
12.(2024八下·广东期末)一组数据2,3, ,4,5的平均数是4,则    .
【答案】6
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解:由题意得:( + + + + )÷5=4,解得:k=6,
故答案是:6.
【分析】平均数=各数的和÷数的个数,列关于k的方程,即可算出.
13.(2024八下·广东期末)当   时,函数是正比例函数.
【答案】-2
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解:是正比例函数 ,

解得:m=-2,
当m=-2时, 函数是正比例函数.
故答案为:-2.
【分析】根据正比例函数的定义求解即可.
14.(2024八下·广东期末)如图,中,分别以这个三角形的三边为边长作正方形,面积分别记为、、.如果,则阴影部分的面积为   .
【答案】6
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解:由题意得,,
在中,由勾股定理得,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:6.
【分析】根据题意得到,再由勾股定理得到,则由已知条件可推出,再根据三角形面积计算公式求解即可.
15.(2024八下·广东期末)如图,在矩形中,相交于点,平分交于点,若,则的度数为   .
【答案】
【知识点】角的运算;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;矩形的性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,
∴,,,,
∴,
∵平分,
∴,
∴是等腰三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【分析】先证出是等腰三角形,可得,再结合,证出是等边三角形,利用等边三角形的性质可得,再利用三角形的内角和求出即可.
16.(2024八下·广东期末)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且,AE交BD于M点,AF交BD于N点.下列结论:①;②;③EA平分;④的周长等于,其中正确结论的序号是    .(把你认为所有正确的都填上)
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定;勾股定理;正方形的性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:①将绕点A逆时针旋转得到,连接NH,
∵,
∴,
∵绕点A逆时针旋转得到,
∴,,,
又∵,
∴,
∴,
而,
∴在中,,
∴,
故①正确;
②由题意可知,,有两个条件不能得到,
∴,
故②错误;
③将绕点A逆时针旋转得到,
∵,,
∴,
∴点G、D、F三点共线,
由旋转可得,,,
∵,
∴,,
又∵,
∴,

又∵,
∴,
∴EA平分;
④由③可知,
∴,
∵,,
∴的周长

故④正确;
综上所述:正确的有①③④,
故答案为:①③④.
【分析】先证出,利用全等三角形的性质可得,再求出,利用勾股定理可得;再利用全等三角形的判定方法和性质证出;再证出,可得,再结合,证出,可得 EA平分; 再证出,最后利用三角形的周长公式及等量代换可得的周长 ,从而得解.
17.(2024八下·广东期末)计算:.
【答案】解:原式

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤(①有括号先算括号内;②再算二次根式的乘除;③最后计算二次根式的加减法)分析求解即可.
18.(2024八下·广东期末)如图,在中,点E、F分别在、上,且.求证:四边形是平行四边形.
【答案】解:∵四边形是平行四边形,

∵,
∴,即.
∴且.
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得,再根据边之间的关系可得,再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19.(2024八下·广东期末)如图,在中,,是上一点,且,.
(1)求的度数.
(2)求的长.
【答案】(1)解:∵,



.
(2)解:由(1)得,
∴,
由勾股定理得:,
即的长是.
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)先利用线段的和差求出AD的长,再利用勾股定理的逆定理证出=90°即可;
(2)先利用角的运算求出,再利用勾股定理求出BC的长即可.
20.(2024八下·广东期末)在抗击新型冠状病毒疫情期间,某校学生主动发起为武汉加油捐款活动,为了了解学生捐款金额(单位:元),随机调查了该校的部分学生,根据调查结果,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
①本次接受调查的学生人数为______,图①中的值为______;
②统计的这组学生捐款数据的众数是______,和中位数是______;
③根据统计的这组学生捐款数据的样本数据,若该校共有名学生,估计该校此次捐款总金额为多少元?
【答案】解:①,;
②30,30;
③在所抽取的样本中,平均数为:

由样本数据,估计这名学生捐款总金额约为.
该校此次捐款总金额为元.
【知识点】扇形统计图;条形统计图;中位数;众数;用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解:①由捐元的有人,占比,
所以本次共调查:人,
捐元的占比:,
所以:
故答案为:;.
②观察条形统计图,
在这组数据中,出现了次,出现的次数最多,
这组数据的众数为.
将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是,有,
这组数据的中位数为.
故答案为:
【分析】①利用“捐20元”的人数除以对应的百分比可得总人数,再求出m的值即可;
②利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可;
③先求出平均数,再乘以总人数即可.
21.(2024八下·广东期末)如图,在中,,点D、E分别是的中点,点F在的延长线上,.
(1)求证:;
(2)若,求四边形的面积.
【答案】(1)证明:如图,
在和中,
∵,点D、E是分别是的中点.
∴,
∴,
又∵.
∴,
又∵
∴,

(2)解:在中,∵∴,
∵点D、E分别是的中点,
,又,
四边形是平行四边形,
∴,
∴.
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD,再根据等边对等角可得∠B=∠DCE,然后求出∠FEC=∠DCE,根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°,然后求出∠CED=∠ECF=90°,再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)证明四边形是平行四边形,根据勾股定理求得,由三角形的中位线定理得到DE的长度,再由平行四边形的面积公式求得.
22.(2024八下·广东期末)冰墩墩(BingDwenDwen),是2022年北京冬季奥运会的吉祥物,将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,头部外壳造型取自冰雪运动头盔,装饰彩色光环,整体形象酷似航天员,冬奥会来临之际,冰墩墩玩偶非常畅销.小李在某网店选中A,B两款冰墩墩玩偶,决定从该网店进货并销售,两款玩偶的进货价和销售价如表:
A款玩偶 B款玩偶
进货价(元/个) 20 15
销售价(元/个) 25 18
(1)第一次小李以1650元购进了A,B两款玩偶共100个,求两款玩偶各购进多少个?
(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,小李计划购进两款玩偶共100个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?
【答案】(1)解:设购进A款玩偶x个,则购进B款玩偶(100-x)个,
由题意可得:20x+15(100-x)=1650,解得x=30,∴100-x=70,
答:购进A款玩偶30个,则购进B款玩偶70个;
(2)解:设购进A款玩偶a个,则购进B款玩偶(100-a)个,利润为w元,
由题意可得:w=(25-20)a+(18-15)(100-a)=2a+300,
∵k=2>0,
∴w随a的增大而增大,
∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,∴a≤,
解得a≤,
∵a为整数,∴a≤33
∴当a=33时,w取得最大值,此时w=366,100-a=67,
答:购进A款玩偶33个,购进B款玩偶67个时才能获得最大利润,最大利润是366元.
【知识点】一次函数的实际应用;二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购进A款玩偶x个,则购进B款玩偶(100-x)个,根据题意列出方程20x+15(100-x)=1650,求出x的值即可;
(2)设购进A款玩偶a个,则购进B款玩偶(100-a)个,利润为w元,根据题意列出函数解析式w=(25-20)a+(18-15)(100-a)=2a+300,再利用一次函数的性质求解即可。
23.(2024八下·广东期末)在矩形纸片中,将矩形纸片折叠,使点与点重合,折痕交于点,交于点.
(1)尺规作图:求作折痕;
(2)求证:四边形是菱形.
(3)若,求的值.
【答案】(1)解:如图,即为所求.
(2)证明:∵四边形是矩形,
∴,
∴.
设与交于点,
由题意可得,,


∴四边形是平行四边形.
由折叠可知,,
∴四边形是菱形.
(3)解:∵四边形是菱形.
∴,

∴设,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,

∵,
∴,
∴,




【知识点】三角形全等及其性质;菱形的判定;三角形全等的判定-AAS;尺规作图-等腰(等边)三角形
【解析】【分析】(1)先连接AC,再作出线段AC的垂直平分线即可;
(2)先证出四边形是平行四边形,再结合,即可证出四边形是菱形;
(3)设,先求出,利用勾股定理可得,求出,再结合,求出,最后求出即可.
24.(2024八下·广东期末)如图,在正方形中,,点为正方形的对角线上一动点,
(1)如图①,过点作交边于点.当点在边上时,求证:;
(2)如图②,在(1)的条件下,过点作,垂足为点,在点的运动过程中,的长度是否发生变化?若不变,求出这个不变的值;若变化,试说明理由.
(3)如图③,若点是射线上的一个动点,且始终满足,设,请直接写出的最小值.
【答案】(1)证明:连接,如图1所示:
∵四边形是正方形,
∴,
在和中,










.
(2)解:的长度不变.理由如下:连接,与相交于点,如图2.
∵四边形是正方形,
∴,
∵,即,
∴,
∵,即,

在和中,

∴,

∵四边形是正方形,





∴点在运动过程中,的长度不变,值为.
(3)的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;正方形的性质;四边形的综合
【解析】【解答】(3)解:过点作,使,连接,过点作,交延长线于,如图3所示:
∵四边形是正方形,
∴是等腰直角三角形,,
在和中,
∴,
∴三点共线时,最短,即最短,
此时,,
在中,由勾股定理得:,
∴的最小值为.
【分析】(1)连接,先利用“SAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再利用角的运算和等量代换可得,利用等角对等边的性质可得,最后利用等量代换可得;
(2)连接,与相交于点,先利用“AAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再利用正方形的性质求出,再结合,求出,从而可得点在运动过程中,的长度不变,值为;
(3)过点作,使,连接,过点作,交延长线于,先利用“SAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再证出三点共线时,最短,即最短, 求出,利用勾股定理求出即可.
25.(2024八下·广东期末)在平面直角坐标系中,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,交轴于点.
(1)如图1,连接,求的面积;
(2)如图2,在直线上存在点,使得,求点的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接,过点作的垂线交轴于点,点在直线上,在平面中存在一点,使得,,,为顶点的四边形为平行四边形,请求出点的坐标.
【答案】(1)解:直线,令,则,
故点;
,令,则,令,即,
解得:,
故点,
则,
∴的面积.
(2)解:由题意,,观察图象可知,点只能直线在的右侧,过点作的垂线交于点,过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点,交过点与轴的平行线于点,
设点,点,
∵,故,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故,
解得,
故点.
(3)解:如图所示:
设的坐标为,
∵,
∴,
设的坐标为,
则:,
化简得:,
解得:,
∴点的坐标为,
设直线的表达式为,
将点的坐标代入得:,
解得:,
故直线的表达式为,
当在上方时,点向右平移2个单位向上平移个单位得到,
∴右平移2个单位向上平移个单位得到,
∵在直线上,故满足条件,
当在点下方时,同理得,此时不在直线上,不满足条件,
综上,点的坐标为.
【知识点】三角形全等及其性质;平行四边形的性质;平移的性质;一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)先求出点B、D的坐标,再求出BD和OC的长,最后利用三角形的面积公式求解即可;
(2)过点作的垂线交于点,过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点,交过点与轴的平行线于点,设点,点,先利用“AAS”证出,利用全等三角形的性质可得,再列出方法求出m、n的值,即可得到点E的坐标;
(3)先求出直线EF的解析式,再分类讨论:①当在上方时,点向右平移2个单位向上平移个单位得到,②当在点下方时,再求出点P的坐标即可.
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