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广东省肇庆市高要区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·高要期末）若有意义，则x可以是（　　）
A．－2 B．0 C．2 D．4
2．（2024八下·高要期末）2024年6月13日，在肇庆市中学数学教师“双新”能力大赛活动中，甲、乙、丙、丁4人成绩如下：①；②，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙． C．丙 D．丁
3．（2024八下·高要期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·高要期末）若点在函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．8
5．（2024八下·高要期末）如图，在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·高要期末）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（　　）
A． B． C． D．2
7．（2024八下·高要期末）如图，在矩形中对角线相交于点，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·高要期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·高要期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
10．（2024八下·高要期末）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
11．（2024八下·高要期末）计算 =　 　.
12．（2024八下·高要期末）某校的卫生检查中，规定各班级环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，八（1）班环境卫生成绩90分，个人卫生成绩85分，求该班卫生检查总成绩　 　分．
13．（2024八下·高要期末）直线向上平移6个单位长度后与轴交点坐标是　 　．
14．（2024八下·高要期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则　 　．
15．（2024八下·高要期末）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是　 　．
16．（2024八下·高要期末）计算：．
17．（2024八下·高要期末）如图，在中，，点在上，．求的长．
18．（2024八下·高要期末）古称是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用称砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤钩所挂物重为斤．秤砣到称纽的水平距离为，已知与满足函数的关系．下表为若干次称重时所记录的一些数据：
（斤） 1 2 3 4 5 6
0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
（1）应用你学的函数知识，用函数解析式表示与的关系；
（2）在不超重的情况下，当时，求对应的水平距离的值．
19．（2024八下·高要期末）2024年5月26日，“高要区中小学校拔尖创新人才早期培养工作推进会暨少年科学院揭牌仪式”在高要区教师发展中心圆满举行，标志着我区在培育未来创新人才的征途上迈出了坚实的一步．高要区少年科学院科普实验小组，开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．小组随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），
宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8
荔枝树叶的长宽比 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 3.75 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 0.0669
（1）______，______．
（2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是______同学．
（3）现有一片长，宽的树叶．应用你学的统计学知识，判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
20．（2024八下·高要期末）如图，是平行四边形中边延长线的上一点，连接，，．若，求证：四边形为平行四边形．
21．（2024八下·高要期末）某玩具厂每天生产两种玩具共60件，成本和售价如下表：
　 成本/（元/件） 售价/（元/件）
种玩具 40 60
种玩具 35 45
设每天生产种玩具件，每天获得的总利润为元．
（1）应用你学的函数知识，求与之间的函数关系式；
（2）如果该玩具厂每天最多投入的成本为2200元，那么每天生产多少件种玩具，所获得的利润最大？并求出这个最大利润．
22．（2024八下·高要期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形沿着折叠，折痕分别交于点，点的对应点为，点的对应点为．
（1）观察发现：如图1，连接，若，求的长．
（2）探究迁移：如图2，若和点重合，求的长．
（3）拓展应用：若点的对应点落在边上，求线段的长的取值范围．
23．（2024八下·高要期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点．
（1）求出点的坐标．
（2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得，
∴只有D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴丁的成绩最稳定．
故答案为：D.
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，∴A不符合题意；
B、∵，∴是勾股数，∴B符合题意；
C、∵，，不是正整数∴不是勾股数，∴C不符合题意；
D、∵不是正整数，∴不是勾股数，∴D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：．
故答案为：A.
【分析】将点M（3，-2）代入可得，再求出b的值即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形是平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的应用
【解析】【解答】解： 矩形周长为：，
需铁丝的长度为．
故答案为：C．
【分析】利用长方形的周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】先利用矩形的性质可得，，，再利用等量代换可得，利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
8．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与直线交于点， 当在点右侧时，即当时，直线的图象在直线的图象下方，
此时有，
关于的不等式的解集为．
故答案为：C．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据菱形性质可得，，，再根据其面积可得BD，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：
，
，，
，
，
，
，
；
故选：A．
【分析】连接、，根据正方形性质可得，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，再根据正切定义即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为 .
【分析】运用二次根式的乘法性质 的逆运算.
12．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，
该班卫生检查总成绩为．
故答案为：．
【分析】利用加权平均数的定义及计算方法（每个数值与它的权数相乘，然后将这些乘积加总，最后除以所有权数的总和）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移6个单位长度后的函数解析式为，即，
∵当时，，
∴直线与轴交点坐标是．
故答案为：．
【分析】先利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求出，再将x=0代入解析式求出y的值即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解： 当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍，
，
又 四边形是菱形，
，，
，即是等边三角形，
，
．
故答案为：．
【分析】先求出，再利用菱形的性质可得，即是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：作，如图，
当点到点处时，，即，
当点到点处时最短，，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
故答案为：
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．
16．【答案】解：
.

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．【答案】解： ，
，
，
，
，
在中，
，
故的长为．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用等角对等边的性质可得，利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
18．【答案】（1）解：根据表中数据看出x每增加1，y每增加0.25，
∴y与x成一次函数关系，
设，
把时，，时，代入，
得，，
解得，，
∴.
（2）解：在中，
当时，．
故对应的水平距离值为2.75．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=9代入解析式求出y的值即可.
19．【答案】（1），
（2）B
（3）解：这片树叶更可能来自于芒果树，理由如下：
由题知，这片树叶的长宽比为，与芒果树叶的长宽比平均数、中位数、众数相接近，
这片树叶更可能来自于芒果树．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由表格中数据可知，芒果树叶的长宽比众数为，即，
将荔枝树叶的长宽比按顺序排列为：，，，，，，，，，，
荔枝树叶的长宽比的中位数为：；
故答案为：，．
（2）解：由题知，从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍，故B同学说法合理．
故答案为：B．
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；（2）利用平均数、中位数和众数的定义及性质分析求解即可；（3）先求出树叶的长宽比，再比较大小即可.
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，是延长线上一点，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行线的性质及等量代换可得，即，再结合，即可证出四边形为平行四边形．
21．【答案】（1）解：根据题意得：；
∴y与x之间的函数关系式为.
（2）解：∵玩具厂每天最多投入的成本为2200元，
∴，
解得：，
在中，y随x增大而增大，
∴当时，y取最大值，
∴每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润是800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式即可；
（2）根据“ 该玩具厂每天最多投入的成本为2200元 ”列出不等式，求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
22．【答案】（1）解：过点作于点，连接，如图，
则四边形是矩形，
∴
由折叠得，
又
∴四边形是矩形，
∴
由折叠得，
∴
在中，，
∴.
（2）解：由折叠得，，由题意知，
设则
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴.
（3）解：分两种情况：①当点与点重合时，如图，
方法同（2）可求出；
②当点在上时，如图，
此时，四边形是正方形，
∴，
∴的取值范围是.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得再利用折叠的性质及线段的和差求出GC的长，再利用勾股定理及等量代换可得；
（2）设则利用勾股定理可得，求出x的值，再求出即可；
（3）分类讨论：①当点与点重合时，②当点在上时，分别画出图形并求出CF的长即可.
23．【答案】（1）解：对于直线，
∵当时，，
∴点C的坐标为.
（2）解：∵是线段上的点，
∴设，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把点代入，
可得，，
解得，，
∴直线的解析式为.
（3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种种情况考虑：
（i）对于，当时，，
∴，
∴
当四边形为正方形，此时，
∴；
（ii）当四边形为正方形时，直线
∵
∴是中点，
∵
∴，即
由对称性可得，
综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形的综合；一次函数的实际应用-几何问题
1 / 1广东省肇庆市高要区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·高要期末）若有意义，则x可以是（　　）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，解得，
∴只有D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．（2024八下·高要期末）2024年6月13日，在肇庆市中学数学教师“双新”能力大赛活动中，甲、乙、丙、丁4人成绩如下：①；②，则成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙． C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴丁的成绩最稳定．
故答案为：D.
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
3．（2024八下·高要期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，∴A不符合题意；
B、∵，∴是勾股数，∴B符合题意；
C、∵，，不是正整数∴不是勾股数，∴C不符合题意；
D、∵不是正整数，∴不是勾股数，∴D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
4．（2024八下·高要期末）若点在函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：．
故答案为：A.
【分析】将点M（3，-2）代入可得，再求出b的值即可.
5．（2024八下·高要期末）如图，在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形是平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
6．（2024八下·高要期末）数学活动课上，要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，若不考虑拼接，则需铁丝的长度为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的应用
【解析】【解答】解： 矩形周长为：，
需铁丝的长度为．
故答案为：C．
【分析】利用长方形的周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
7．（2024八下·高要期末）如图，在矩形中对角线相交于点，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】先利用矩形的性质可得，，，再利用等量代换可得，利用等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出即可．
8．（2024八下·高要期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与直线交于点， 当在点右侧时，即当时，直线的图象在直线的图象下方，
此时有，
关于的不等式的解集为．
故答案为：C．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
9．（2024八下·高要期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据菱形性质可得，，，再根据其面积可得BD，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案.
10．（2024八下·高要期末）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接、，
由正方形的性质得：
，
，，
，
，
，
，
；
故选：A．
【分析】连接、，根据正方形性质可得，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，再根据正切定义即可求出答案.
11．（2024八下·高要期末）计算 =　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为 .
【分析】运用二次根式的乘法性质 的逆运算.
12．（2024八下·高要期末）某校的卫生检查中，规定各班级环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，八（1）班环境卫生成绩90分，个人卫生成绩85分，求该班卫生检查总成绩　 　分．
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 环境卫生成绩占，个人卫生成绩占，
该班卫生检查总成绩为．
故答案为：．
【分析】利用加权平均数的定义及计算方法（每个数值与它的权数相乘，然后将这些乘积加总，最后除以所有权数的总和）分析求解即可.
13．（2024八下·高要期末）直线向上平移6个单位长度后与轴交点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移6个单位长度后的函数解析式为，即，
∵当时，，
∴直线与轴交点坐标是．
故答案为：．
【分析】先利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求出，再将x=0代入解析式求出y的值即可.
14．（2024八下·高要期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解： 当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍，
，
又 四边形是菱形，
，，
，即是等边三角形，
，
．
故答案为：．
【分析】先求出，再利用菱形的性质可得，即是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得．
15．（2024八下·高要期末）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：作，如图，
当点到点处时，，即，
当点到点处时最短，，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
故答案为：
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．
16．（2024八下·高要期末）计算：．
【答案】解：
.

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．（2024八下·高要期末）如图，在中，，点在上，．求的长．
【答案】解： ，
，
，
，
，
在中，
，
故的长为．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用等角对等边的性质可得，利用线段的和差求出BC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
18．（2024八下·高要期末）古称是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用称砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤钩所挂物重为斤．秤砣到称纽的水平距离为，已知与满足函数的关系．下表为若干次称重时所记录的一些数据：
（斤） 1 2 3 4 5 6
0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
（1）应用你学的函数知识，用函数解析式表示与的关系；
（2）在不超重的情况下，当时，求对应的水平距离的值．
【答案】（1）解：根据表中数据看出x每增加1，y每增加0.25，
∴y与x成一次函数关系，
设，
把时，，时，代入，
得，，
解得，，
∴.
（2）解：在中，
当时，．
故对应的水平距离值为2.75．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=9代入解析式求出y的值即可.
19．（2024八下·高要期末）2024年5月26日，“高要区中小学校拔尖创新人才早期培养工作推进会暨少年科学院揭牌仪式”在高要区教师发展中心圆满举行，标志着我区在培育未来创新人才的征途上迈出了坚实的一步．高要区少年科学院科普实验小组，开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．小组随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），
宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶的长宽比 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8
荔枝树叶的长宽比 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8
分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 3.74 3.75 0.0424
荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 0.0669
（1）______，______．
（2）A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是______同学．
（3）现有一片长，宽的树叶．应用你学的统计学知识，判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】（1），
（2）B
（3）解：这片树叶更可能来自于芒果树，理由如下：
由题知，这片树叶的长宽比为，与芒果树叶的长宽比平均数、中位数、众数相接近，
这片树叶更可能来自于芒果树．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由表格中数据可知，芒果树叶的长宽比众数为，即，
将荔枝树叶的长宽比按顺序排列为：，，，，，，，，，，
荔枝树叶的长宽比的中位数为：；
故答案为：，．
（2）解：由题知，从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍，故B同学说法合理．
故答案为：B．
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；（2）利用平均数、中位数和众数的定义及性质分析求解即可；（3）先求出树叶的长宽比，再比较大小即可.
20．（2024八下·高要期末）如图，是平行四边形中边延长线的上一点，连接，，．若，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，是延长线上一点，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行线的性质及等量代换可得，即，再结合，即可证出四边形为平行四边形．
21．（2024八下·高要期末）某玩具厂每天生产两种玩具共60件，成本和售价如下表：
　 成本/（元/件） 售价/（元/件）
种玩具 40 60
种玩具 35 45
设每天生产种玩具件，每天获得的总利润为元．
（1）应用你学的函数知识，求与之间的函数关系式；
（2）如果该玩具厂每天最多投入的成本为2200元，那么每天生产多少件种玩具，所获得的利润最大？并求出这个最大利润．
【答案】（1）解：根据题意得：；
∴y与x之间的函数关系式为.
（2）解：∵玩具厂每天最多投入的成本为2200元，
∴，
解得：，
在中，y随x增大而增大，
∴当时，y取最大值，
∴每天生产20件A种玩具，所获得的利润最大，最大利润是800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式即可；
（2）根据“ 该玩具厂每天最多投入的成本为2200元 ”列出不等式，求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
22．（2024八下·高要期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形沿着折叠，折痕分别交于点，点的对应点为，点的对应点为．
（1）观察发现：如图1，连接，若，求的长．
（2）探究迁移：如图2，若和点重合，求的长．
（3）拓展应用：若点的对应点落在边上，求线段的长的取值范围．
【答案】（1）解：过点作于点，连接，如图，
则四边形是矩形，
∴
由折叠得，
又
∴四边形是矩形，
∴
由折叠得，
∴
在中，，
∴.
（2）解：由折叠得，，由题意知，
设则
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴.
（3）解：分两种情况：①当点与点重合时，如图，
方法同（2）可求出；
②当点在上时，如图，
此时，四边形是正方形，
∴，
∴的取值范围是.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得再利用折叠的性质及线段的和差求出GC的长，再利用勾股定理及等量代换可得；
（2）设则利用勾股定理可得，求出x的值，再求出即可；
（3）分类讨论：①当点与点重合时，②当点在上时，分别画出图形并求出CF的长即可.
23．（2024八下·高要期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点．
（1）求出点的坐标．
（2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于直线，
∵当时，，
∴点C的坐标为.
（2）解：∵是线段上的点，
∴设，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
把点代入，
可得，，
解得，，
∴直线的解析式为.
（3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种种情况考虑：
（i）对于，当时，，
∴，
∴
当四边形为正方形，此时，
∴；
（ii）当四边形为正方形时，直线
∵
∴是中点，
∵
∴，即
由对称性可得，
综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；四边形的综合；一次函数的实际应用-几何问题
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