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广东省广州市增城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·增城期末）下列各式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·增城期末）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
3．（2024八下·增城期末）甲、乙两位学生5次数学训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加数学竞赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．不确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙发挥更稳定，应选择乙，
故答案为：B．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
4．（2024八下·增城期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故A选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加、减、乘、除的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2024八下·增城期末）如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝×10＝5，
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线的性质分析求出DE的长即可.
6．（2024八下·增城期末）方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
7．（2024八下·增城期末）一次函数的图象大致是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
故一次函数y=x+2图象经过（0，2）（-2，0）；
故根据排除法可知A选项正确．
故答案为：A．
【分析】先求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，再作出图象即可.
8．（2024八下·增城期末）已知一次函数与相交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与相交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：A．
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
9．（2024八下·增城期末）若直线过点，则直线与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把点代入中，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为．
故答案为：C．
【分析】先将点（2，1）代入解析式求出b的值可得函数解析式，再将x=0代入解析式求出y的值，可得答案.
10．（2024八下·增城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
11．（2024八下·增城期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．（2024八下·增城期末）若一组数据1、3、8、5、8的众数是　 　．
【答案】8
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵8出现的次数最多，
∴众数是8．
故答案为：8.
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
13．（2024八下·增城期末）下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度 与弹跳高度 的关系，能表示这种关系的式子是　 　．
y 50 80 100 150
x 25 40 50 75
【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设函数关系式为，
则，
解得，
所以，y与x的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可.
14．（2024八下·增城期末）在中，，斜边，则斜边上的中线　 　．
【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，斜边，
∴斜边上的中线，
故答案为：4．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）分析求解即可.
15．（2024八下·增城期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可知，，，
∴在中，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：3．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
16．（2024八下·增城期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留；②快车速度比慢车速度快；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是　 　填上你认为正确结论的序号）．
【答案】②③
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
两车的速度和为：，
相遇后快车停留了，故①结论错误；
慢车的速度为：，
则快车的速度为：，
所以快车的速度比慢车多，故②结论正确；
，所以图中，故③结论正确；
快车到达终点的时间为：，
慢车到达终点的时间为：，
因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误，
故答案为：②③．
【分析】根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系逐项分析判断即可.
17．（2024八下·增城期末）解方程：．
【答案】解：，
，
或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
18．（2024八下·增城期末）已知： ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【答案】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB＝CD，则∠ABD＝∠CDB，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CDF，则AE＝CF，即可求出答案.
19．（2024八下·增城期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：由，得：
当时，，
当时，，
∴，．
（2）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（2）解：由图知时，．
故答案为：.
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出点A、B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．（2024八下·增城期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．
（1）求证：；
（2）求四边形面积．
【答案】（1）证明：在中，，，，
，
．，，
，
∵，
，
是直角三角形，且.
（2）解：根据题意可得：；
由（1）知在中，，，，
．
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，且∠D=90°即可；
（2）先利用三角形的面积公式求出△DBC和△ABC的面积，再求出四边形ABCD的面积.
21．（2024八下·增城期末）为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
【答案】（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为，
依题得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为．
（2）解：由得：该县投入资金的年平均增长率为，
年投入资金万元，增长率保持不变，
预计该县年投入资金为万元．
答：该县年投入资金为万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该县投入资金的年平均增长率为，根据“ 某县年投入资金万元，年投入资金万元 ”列出方程，再求解即可；
（2）利用“2024年的资金=2023年的资金×（1+增长率)”列出算式求解即可.
22．（2024八下·增城期末）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接BE、DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？
【答案】（1）解：如图所示，为所求直线；
（2）解：四边形为菱形，理由为：
证明：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以、为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）先利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换和等角对等边的性质可得BE=BF，再利用等量代换可得，从而可证出四边形为菱形．
23．（2024八下·增城期末）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）分别求出当与时，与之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？
（3）当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【答案】（1）解：当时，
设与之间的函数关系式为，
把点代入得：，
解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
当时，
设与之间的函数关系式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴当时，设与之间的函数关系式为.
（2）解：当时，，
即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米.
（3）解：当时，，
解得：，
，
即继续生长大约18天，开始开花结果．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象上的数据并利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=30代入解析式求出y的值即可；
（3）将y=80代入解析式求出x的值，再列出算式求出答案即可.
24．（2024八下·增城期末）如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
【答案】解：（1）∵，在直线的图象上，
∴，解得：
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，如图1，
，，
．
在与中，
，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
25．（2024八下·增城期末）如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接．
（1）直接写出与的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1）PG=PC；PC⊥PG.
（2）解：猜想：；，
证明如下：如图，延长交于点H，
在菱形和菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明如下：如图3，延长到H，使，连接，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）解：如图，延长交于点H，
在正方形和正方形中，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴.
故答案为：PG=PC；PC⊥PG.
【分析】（1）延长交于点H，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的可得，从而得到，从而可证出是等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质分析求解即可；
（2）延长交于点H，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出PG的长即可；
（3）延长到H，使，连接，先利用“SAS”证出，从而得到，再利用“SAS”证出，可得，从而得到，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出PG的长即可.
1 / 1广东省广州市增城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·增城期末）下列各式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·增城期末）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直
3．（2024八下·增城期末）甲、乙两位学生5次数学训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加数学竞赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．不确定
4．（2024八下·增城期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·增城期末）如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
6．（2024八下·增城期末）方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
7．（2024八下·增城期末）一次函数的图象大致是(　　).
A． B．
C． D．
8．（2024八下·增城期末）已知一次函数与相交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·增城期末）若直线过点，则直线与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·增城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·增城期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·增城期末）若一组数据1、3、8、5、8的众数是　 　．
13．（2024八下·增城期末）下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度 与弹跳高度 的关系，能表示这种关系的式子是　 　．
y 50 80 100 150
x 25 40 50 75
14．（2024八下·增城期末）在中，，斜边，则斜边上的中线　 　．
15．（2024八下·增城期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则　 　．
16．（2024八下·增城期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留；②快车速度比慢车速度快；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是　 　填上你认为正确结论的序号）．
17．（2024八下·增城期末）解方程：．
18．（2024八下·增城期末）已知： ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
19．（2024八下·增城期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
20．（2024八下·增城期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，．
（1）求证：；
（2）求四边形面积．
21．（2024八下·增城期末）为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
22．（2024八下·增城期末）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接BE、DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？
23．（2024八下·增城期末）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）分别求出当与时，与之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？
（3）当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
24．（2024八下·增城期末）如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
25．（2024八下·增城期末）如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接．
（1）直接写出与的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙发挥更稳定，应选择乙，
故答案为：B．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故A选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加、减、乘、除的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝×10＝5，
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线的性质分析求出DE的长即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
故一次函数y=x+2图象经过（0，2）（-2，0）；
故根据排除法可知A选项正确．
故答案为：A．
【分析】先求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，再作出图象即可.
8．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与相交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：A．
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把点代入中，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为．
故答案为：C．
【分析】先将点（2，1）代入解析式求出b的值可得函数解析式，再将x=0代入解析式求出y的值，可得答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．【答案】8
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵8出现的次数最多，
∴众数是8．
故答案为：8.
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设函数关系式为，
则，
解得，
所以，y与x的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可.
14．【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，斜边，
∴斜边上的中线，
故答案为：4．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）分析求解即可.
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可知，，，
∴在中，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：3．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
16．【答案】②③
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
两车的速度和为：，
相遇后快车停留了，故①结论错误；
慢车的速度为：，
则快车的速度为：，
所以快车的速度比慢车多，故②结论正确；
，所以图中，故③结论正确；
快车到达终点的时间为：，
慢车到达终点的时间为：，
因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误，
故答案为：②③．
【分析】根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系逐项分析判断即可.
17．【答案】解：，
，
或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB＝CD，则∠ABD＝∠CDB，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CDF，则AE＝CF，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由，得：
当时，，
当时，，
∴，．
（2）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（2）解：由图知时，．
故答案为：.
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出点A、B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．【答案】（1）证明：在中，，，，
，
．，，
，
∵，
，
是直角三角形，且.
（2）解：根据题意可得：；
由（1）知在中，，，，
．
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，且∠D=90°即可；
（2）先利用三角形的面积公式求出△DBC和△ABC的面积，再求出四边形ABCD的面积.
21．【答案】（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为，
依题得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为．
（2）解：由得：该县投入资金的年平均增长率为，
年投入资金万元，增长率保持不变，
预计该县年投入资金为万元．
答：该县年投入资金为万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该县投入资金的年平均增长率为，根据“ 某县年投入资金万元，年投入资金万元 ”列出方程，再求解即可；
（2）利用“2024年的资金=2023年的资金×（1+增长率)”列出算式求解即可.
22．【答案】（1）解：如图所示，为所求直线；
（2）解：四边形为菱形，理由为：
证明：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以、为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）先利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换和等角对等边的性质可得BE=BF，再利用等量代换可得，从而可证出四边形为菱形．
23．【答案】（1）解：当时，
设与之间的函数关系式为，
把点代入得：，
解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
当时，
设与之间的函数关系式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴当时，设与之间的函数关系式为.
（2）解：当时，，
即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米.
（3）解：当时，，
解得：，
，
即继续生长大约18天，开始开花结果．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象上的数据并利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=30代入解析式求出y的值即可；
（3）将y=80代入解析式求出x的值，再列出算式求出答案即可.
24．【答案】解：（1）∵，在直线的图象上，
∴，解得：
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，如图1，
，，
．
在与中，
，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
25．【答案】（1）PG=PC；PC⊥PG.
（2）解：猜想：；，
证明如下：如图，延长交于点H，
在菱形和菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明如下：如图3，延长到H，使，连接，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）解：如图，延长交于点H，
在正方形和正方形中，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴.
故答案为：PG=PC；PC⊥PG.
【分析】（1）延长交于点H，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的可得，从而得到，从而可证出是等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质分析求解即可；
（2）延长交于点H，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出PG的长即可；
（3）延长到H，使，连接，先利用“SAS”证出，从而得到，再利用“SAS”证出，可得，从而得到，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出PG的长即可.
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