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专题10 最大公因数和最小公倍数的应用（期末重难点专项训练）
2024-2025学年苏教版数学 五年级下册（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．五（1）班开展植树活动。老师把同学们分成几个小组分配任务，他发现每组分5人还剩1人，每组分8人也还剩1人。参加植树活动的同学至少有（ ）人。
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C
【分析】要求出参加植树活动的同学至少有多少人，需要先找到5和8的最小公倍数，再加上剩余的1人。
【解析】5和9互质，所以5和8的最小公倍数是5×8＝40，40＋1＝41（人）
所以参加植树活动的同学至少有41人。
故答案为：C
2．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30 B．48 C．40 D．42
【答案】D
【分析】根据题意，不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，说明这个班的人数是6和7的公倍数，先求出6和7的最小公倍数，再找出这个最小公倍数的倍数，然后看三个选项中的数是否是这个最小公倍数的倍数，进而得解。
【解析】6和7的最小公倍数是：
某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，42可能是这个班的人数。
故答案为：D
3．一个音乐闹钟，每15分钟就闪烁彩光，每20分钟就发出铃声。上午8：00刚好同时闪烁彩光和发出铃声，下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在（ ）。
A．8：20 B．8：30 C．8：40 D．9：00
【答案】D
【分析】同时闪烁彩光和发出铃声的间隔时间是闪烁彩光间隔时间和发出铃声间隔时间的最小公倍数，求出两个间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同时闪烁彩光和发出铃声的时刻即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【解析】15＝3×5
20＝2×2×5
2×2×3×5＝60（分钟）
8：00＋60分钟＝9：00
下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在9：00。
故答案为：D
4．王阿姨在家里种了吊兰和玫瑰花，吊兰每3天浇一次水，玫瑰花每4天浇一次水。她2月9日给吊兰和玫瑰花同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水应是在（ ）。
A．2月12日 B．2月16日 C．2月21日 D．2月27日
【答案】C
【分析】吊兰每3天浇一次水，玫瑰花每4天浇一次水，3和4的最小公倍数是12，就是每12天同时给两种植物浇水，据此解答。
【解析】因为3和4互质，所以3和4的最小公倍数是3×4＝12。
9＋12＝21（日）
2月9日经过12天就是2月21日。所以下一次再给这两种植物同时浇水应是在2月21日。
故答案为：C
5．某学校五年级的学生排队，每排可以是3人、5人或7人，最后一排都只有2人。该学校五年级至少有学生（ ）人。
A．90 B．107 C．105 D．210
【答案】B
【分析】根据题意，每排可以是3人、5人或7人，最后一排都只有2人，即多2人；说明五年级学生总人数比3、5、7的公倍数还多2；先求出3、5和7的最小公倍数，再加上2，即是五年级至少的总人数。
【解析】3×5×7＝105
3、5、7的最小公倍数是105；
105＋2＝107（人）
该学校五年级至少有学生107人。
故答案为：B
6．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（ ）m。
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由题意可知，要求每小段铁丝最长是几m，就是求24和42的最大公因数，可用短除法解答。
【解析】
24和42的最大公因数是
所以，两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是6m。
故答案为：C
7．赵伟家的客厅长6米，宽4.8米。计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，需要（ ）。
A．50厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．100厘米
【答案】B
【分析】先根据进率“1米＝100厘米”把6米换算成600厘米，4.8米换算成480厘米；
在长600厘米、宽480厘米的地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，那么方砖的边长是600和480的公因数；
先把600和480分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的最大公因数，再列举这个最大公因数的所有因数，即是600和480的公因数，从各选项中找出哪个数是600和480的公因数，即是方砖的边长。
【解析】6米＝600厘米
4.8米＝480厘米
600＝2×2×2×3×5×5
480＝2×2×2×2×2×3×5
600和480的最大公因数是：2×2×2×3×5＝120
120的因数：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；
A．50不是600和480的公因数，所以边长为50厘米的方砖不能正好铺满；
B．60是600和480的公因数，所以边长为60厘米的方砖能正好铺满；
C．80不是600和480的公因数，所以边长为80厘米的方砖不能正好铺满；
D．100不是600和480的公因数，所以边长为100厘米的方砖不能正好铺满。
故答案为：B
8．志愿者要在长140米，宽105米的长方形广场的四角和四边上插彩旗。相邻两面彩旗之间的距离相等且相邻的距离是整数。最少插（ ）面彩旗。
A．35 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【分析】要想插的彩旗数量少，间距就要大，求出长和宽的最大公因数是彩旗间距，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出广场周长，根据封闭图形植树，棵数＝段数，直接用广场周长÷间距＝最少插的面数。
【解析】140＝2×2×5×7
105＝3×5×7
5×7＝35（米）
（140＋105）×2÷35
＝245×2÷35
＝490÷35
＝14（面）
最少插14面彩旗。
故答案为：C
二、填空题
9．运动会开始前，五年1班准备了24瓶矿泉水和36块巧克力平均分给班里的运动员，刚好分完。这个班最多有( )名运动员。
【答案】12
【分析】矿泉水和巧克力能平均分给运动员，刚好分完，也就是矿泉水的数量和巧克力的数量能被运动员的数量整除，最多的运动员就是找24和36的最大公因数。
【解析】（24，36）＝12
则这个班最多有12名运动员。
10．一箱梨子，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿，6个6个地拿，都正好拿完，没有剩余，这箱梨子最少有( )个。
【答案】60
【分析】根据题意可知，这箱梨无论是3个、4个、5个还是6个地拿，都正好拿完，说明这箱梨的数量是3、4、5、6的最小公倍数。据此解题。
【解析】3×4×5＝60（个）
60也是6的倍数，则3、4、5、6的最小公倍数是60。
一箱梨子，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿，6个6个地拿，都正好拿完，没有剩余，这箱梨子最少有60个。
11．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次顺位相配，例如：2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是( )年。
【答案】2085
【分析】由题意可知，下一个乙巳年与上一个乙巳年相差的年数就是10和12的最小公倍数，可用短除法计算，于用10和12的最小公倍数加2025即可得解。
【解析】
10和12的最小公倍数是
（年）
2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是2085年。
12．为了弘扬中华传统文化，少年宫开设了古诗词鉴赏班。王红每隔3天上一次唐诗鉴赏班，张亮每隔5天上一次宋词鉴赏班。2024年4月1日是两人同一天学习古诗词的日子，4月里他们共有( )次同一天学习古诗词。
【答案】3
【分析】由题意可知，王红每隔3天上一次唐诗鉴赏班，即每4天上一次，张亮每隔5天上一次宋词鉴赏班。即每6天上一次；则首先求出4、6的最小公倍数，即12，就是王红和张亮二人下次相遇间隔的最短时间，4月份共有30天，30÷12＝2（次） 6（天），第一次相遇时在4月1日，再加上2次即可求解。
【解析】4＝2×2
6＝2×3
则4和6的最小公倍数是2×2×3＝12
30÷12＝2（次） 6（天）
2＋1＝3（次）
则4月里他们共有3次同一天学习古诗词。
13．端午节是每年的农历五月初五，是我国首个入选非遗的节日。端午节前夕，圆圆家一共包了24个蛋黄粽和36个蜜枣粽，他们想把粽子分装成礼盒送给亲朋好友品尝。如果每盒里都有这两种口味的粽子，且分完后都没有剩余，他们最多能分装出( )个同样的粽子礼盒。
【答案】12
【分析】每盒里都有这两种口味的粽子，且分完后都没有剩余，说明分装的礼盒数量是24和36的公因数。求他们最多能分装出多少个同样的粽子礼盒，就是求24和36的最大公因数。
运用质因数分解法求几个数的最大公因数，几个数全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是它们的最大公因数。
【解析】24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
24和32的最大公因数是2×2×3＝12。
则他们最多能分装出12个同样的粽子礼盒。
14．为了庆祝“六一”，五（1）班的同学打算布置教室，红红将一张长36厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，如果要求彩纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是( )厘米，一共可以裁出( )个这样的正方形。
【答案】 12 6
【分析】根据题意，长36厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数；求正方形的最大边长，就是求36和24的最大公因数；用分解质因数的方法求出36和24的最大公因数，再分别求出长、宽各可以裁几个，最后相乘就是一共可以裁出的个数。
【解析】36＝2×2×3×3
24＝2×2×2×3
36和24的最大公因数是：2×2×3＝12
即裁出的正方形边长最大是12厘米。
36÷12＝3（个）
24÷12＝2（个）
3×2＝6（个）
裁出的正方形边长最大是12厘米，一共可以裁出6个这样的正方形。
15．一条长96米的直路的两边栽树（路的两头都栽），原计划每4米栽一棵，树苗分完之后，发现树之间的距离太近，于是改成每6米栽一棵，有( )棵树苗不需要移动。
【答案】18
【分析】先计算一边的情况，全长96米，每4米栽一棵，则从一端算起，栽的位置都是4的倍数；后来改成每6米栽一棵，则从同一端算起，栽的位置都是6的倍数，那么如果这个位置既是4的倍数，又是6的倍数，即4和6的公倍数，则不需要移动。4和6的最小公倍数是12，即每12米，就有1棵不需要移动，再加上起点的1棵，即可算出一边不需要移动的棵数。最后再乘2，求出两边一共有多少棵树苗不需要移动。
【解析】
96÷12＝8（棵）
8＋1＝9（棵）
9×2＝18（棵）
所以有18棵树苗不需要移动。
【总结】本题是一道植树问题和公倍数问题的综合题，公倍数的位置的树不需要移动，同时，计算之后，不要忘记起点处的1棵树也是不需要移动的，这时这道题比较容易出错的点，需引起注意。
16．有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行3千米。三船同时、同地、同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行，( )小时后，三船再次相会在一起。
【答案】15
【分析】三船再次相会在一起，即甲追上乙，同时乙追上丙，甲每追上乙一次，需要15小时，乙每追上丙一次，需要7.5小时，15正好是7.5的2倍，所以15小时三船再次相会在一起。
【解析】
（小时）
（小时）
所以15小时后，三船再次相会在一起。
【总结】本题考查的是多个人的追及问题，并与公倍数的问题相结合。
三、解答题
17．用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子接着拼，拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】正方形的四条边长度相等。用长方形拼成正方形，则正方形的边长是长方形的长与宽的公倍数。求拼成的正方形边长最小是多少厘米，也就是求4和3的最小公倍数是多少。据此解答即可。
【解析】3和4的最小公倍数：3×4＝12
答：拼成的正方形边长最小是12厘米。
18．鹏鹏坐11路和25路公交都可以到学校，11路公交每10分钟一趟，25路公交每15分钟一趟。两路公交早上6时开始发车，多少分后两路公交第二次同时发车？
【答案】30分
【分析】11路公交每10分钟发车，25路公交每15分钟发车，求两路公交第二次同时发车的时间。首先求出10和15的最小公倍数，即30。这意味着每隔30分钟，两路公交会同时发车。由于第一次同时发车是在6：00，因此第二次同时发车的时间为6：00＋30分钟＝6：30。所以，两路公交第二次同时发车的时间是6：30，即30分钟后。
【解析】10＝2×5
15＝3×5
所以10和25的最小公倍数为：2×3×5＝30
答：30分后两路公交第二次同时发车。
19．同学们在操场上排队，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余。至少有多少人？如果人数在120～180人之间，那么有多少人？
【答案】56人；168人
【分析】根据题意，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余，那么总人数是4、7和8的公倍数；先求出4、7和8的最小公倍数，即是至少有的总人数；
再求最小公倍数在120～180之间的倍数，即是总人数在120～180之间的人数。
【解析】4＝2×2
8＝2×2×2
4、7和8的最小公倍数是：2×2×2×7＝56
即至少有56人。
56×2＝112（人）
56×3＝168（人）
56×4＝224（人）
120＜168＜180
答：至少有56人。如果人数在120～180人之间，那么有168人。
20．商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？
【答案】72个
【分析】从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。
【解析】12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36
36×2＝72（个）
答：一共有72个苹果。
21．甲、乙、丙三人绕操场步行一圈，甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。如果三人的速度不变，且他们同时同地同向出发绕操场步行，那么经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇？相遇时三人分别走了多少圈？
【答案】60分钟；甲：12圈；乙：15圈；丙：10圈
【分析】由题意可知，要求经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇，就是要求5、4、6的最小公倍数，可用短除法计算，再用这个最小公倍数分别除以5、4、6，即可得相遇时三人分别走了几圈。
【解析】
（分钟）
（圈）
（圈）
（圈）
答：经过60分钟后他们第一次在出发点相遇；相遇时甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。
22．把两根长度分别为60厘米、45厘米的彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共能剪成多少根这样的短彩带？
【答案】15厘米；7根
【分析】将两根彩带剪成长度一样的短彩带，且没有剩余，用两根彩带长度的最大公因数作为短彩带的长度即可，分别算出两根彩带剪成的短彩带数量，加起来就是总数量，据此解答。
【解析】
5×3＝15（厘米）
60÷15＋45÷15
＝4＋3
＝7（根）
答：每根短彩带最长是15厘米，一共能剪成7根这样的短彩带。
23．两根铁丝，一根长12米，另一根长18米，要把它们截成整米的同样长的小段没有剩余，每段最长多少米？这两根铁丝一共可以截成多少段？
【答案】6米；5段
【分析】截成同样长的几段且没有剩余，说明每段铁丝是12和18的公因数，求每段最长是多少米，则是求12和18的最大公因数，再用12除以最大公因数的商加上18除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，据此解答。
【解析】12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最大公因数是2×3＝6，每段最长是6米。
（12÷6）＋（18÷6）
＝2＋3
＝5（段）
答：每段最长6米，这两根铁丝一共可以截成5段。
24．父子二人在沙滩上沿同一条直线散步，起步点相同，父亲在前，每步60厘米，儿子在后，每步40厘米。父子二人在120米的散步路程中一共留下了多少个脚印？（重复的脚印算1个）
【答案】401个
【分析】已知父子二人的散步路程是120米，父亲每步60厘米，儿子每步40厘米，那么父子二人的脚印会在60和40的最小公倍数处重合；
根据植树问题的两端都植情况，全长÷步距＝间隔数，间隔数＋1＝脚印的个数；据此分别求出父子二人的脚印个数以及重合的脚印个数；
用父亲留下的脚印个数加上儿子留下的脚印个数，再减去两人重合的脚印个数，就是父子二人在120米内一共留下的脚印个数。注意单位的换算：1米＝100厘米。
【解析】120米＝12000厘米
60＝2×2×3×5
40＝2×2×2×5
60和40的最小公倍数是：2×2×2×3×5＝120
即每120厘米父子二人的脚印重合。
父亲留下的脚印有：
12000÷60＋1
＝200＋1
＝201（个）
儿子留下的脚印有：
12000÷40＋1
＝300＋1
＝301（个）
两人重合的脚印有：
12000÷120＋1
＝100＋1
＝101（个）
一共：201＋301－101＝401（个）
答：父子二人在120米的散步路程中一共留下了401个脚印。
【总结】本题考查最小公倍数的实际应用以及植树问题，分析出本题属于植树问题中两端都栽的情况，明确“脚印数＝间隔数＋1”是解题的关键。
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 最大公因数和最小公倍数的应用（期末重难点专项训练）
2024-2025学年苏教版数学 五年级下册（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．五（1）班开展植树活动。老师把同学们分成几个小组分配任务，他发现每组分5人还剩1人，每组分8人也还剩1人。参加植树活动的同学至少有（ ）人。
A．39 B．40 C．41 D．42
2．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30 B．48 C．40 D．42
3．一个音乐闹钟，每15分钟就闪烁彩光，每20分钟就发出铃声。上午8：00刚好同时闪烁彩光和发出铃声，下一次同时闪烁彩光和发出铃声是在（ ）。
A．8：20 B．8：30 C．8：40 D．9：00
4．王阿姨在家里种了吊兰和玫瑰花，吊兰每3天浇一次水，玫瑰花每4天浇一次水。她2月9日给吊兰和玫瑰花同时浇了水，下一次再给这两种植物同时浇水应是在（ ）。
A．2月12日 B．2月16日 C．2月21日 D．2月27日
5．某学校五年级的学生排队，每排可以是3人、5人或7人，最后一排都只有2人。该学校五年级至少有学生（ ）人。
A．90 B．107 C．105 D．210
6．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（ ）m。
A．2 B．3 C．6 D．8
7．赵伟家的客厅长6米，宽4.8米。计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，需要（ ）。
A．50厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．100厘米
8．志愿者要在长140米，宽105米的长方形广场的四角和四边上插彩旗。相邻两面彩旗之间的距离相等且相邻的距离是整数。最少插（ ）面彩旗。
A．35 B．15 C．14 D．13
二、填空题
9．运动会开始前，五年1班准备了24瓶矿泉水和36块巧克力平均分给班里的运动员，刚好分完。这个班最多有( )名运动员。
10．一箱梨子，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿，6个6个地拿，都正好拿完，没有剩余，这箱梨子最少有( )个。
11．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测。
十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
自古农历就借用天干地支来表示年份，十天干和十二地支依次顺位相配，例如：2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年……那么下一个乙巳年是( )年。
12．为了弘扬中华传统文化，少年宫开设了古诗词鉴赏班。王红每隔3天上一次唐诗鉴赏班，张亮每隔5天上一次宋词鉴赏班。2024年4月1日是两人同一天学习古诗词的日子，4月里他们共有( )次同一天学习古诗词。
13．端午节是每年的农历五月初五，是我国首个入选非遗的节日。端午节前夕，圆圆家一共包了24个蛋黄粽和36个蜜枣粽，他们想把粽子分装成礼盒送给亲朋好友品尝。如果每盒里都有这两种口味的粽子，且分完后都没有剩余，他们最多能分装出( )个同样的粽子礼盒。
14．为了庆祝“六一”，五（1）班的同学打算布置教室，红红将一张长36厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，如果要求彩纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是( )厘米，一共可以裁出( )个这样的正方形。
15．一条长96米的直路的两边栽树（路的两头都栽），原计划每4米栽一棵，树苗分完之后，发现树之间的距离太近，于是改成每6米栽一棵，有( )棵树苗不需要移动。
16．有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行3千米。三船同时、同地、同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行，( )小时后，三船再次相会在一起。
三、解答题
17．用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子接着拼，拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？
18．鹏鹏坐11路和25路公交都可以到学校，11路公交每10分钟一趟，25路公交每15分钟一趟。两路公交早上6时开始发车，多少分后两路公交第二次同时发车？
19．同学们在操场上排队，不论是4人一行、7人一行，还是8人一行，都能排成整行，没有剩余。至少有多少人？如果人数在120～180人之间，那么有多少人？
20．商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？
21．甲、乙、丙三人绕操场步行一圈，甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。如果三人的速度不变，且他们同时同地同向出发绕操场步行，那么经过多少分钟后他们第一次在出发点相遇？相遇时三人分别走了多少圈？
22．把两根长度分别为60厘米、45厘米的彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共能剪成多少根这样的短彩带？
23．两根铁丝，一根长12米，另一根长18米，要把它们截成整米的同样长的小段没有剩余，每段最长多少米？这两根铁丝一共可以截成多少段？
24．父子二人在沙滩上沿同一条直线散步，起步点相同，父亲在前，每步60厘米，儿子在后，每步40厘米。父子二人在120米的散步路程中一共留下了多少个脚印？（重复的脚印算1个）
试卷第1页，共3页
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