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数学二
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1.实数 ， ，2，﹣3 中，为负整数的是 （ ▲）
A. 2 B. C. ﹣3 D.
2.计算 x2 （﹣x）5 的结果是 （ ▲）
A．x10 B．﹣x10 C．x7 D．﹣x7
3.2025 年春节假期，河下古镇为市民游客们带来丰富多彩的特色活动（如图 3），让市民
在喜庆的年味中感受古镇的文化底蕴.八天春节假期累计接待游客超 786700 人次，同比
增长 60.28%，成为江苏新春文旅“顶流”景区.数据 786700 用科学记数法表示为 （ ▲）
A.7.867×105 B.0.7867×105 C.78.67×105 D.7.867×106
第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图
4.将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是 （ ▲）
A． B． C． D．
5.某班 40 名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 （ ▲）
A.30kg B.5kg C.6kg D.15kg
6.淮安马拉松全程的总赛程约为 42 千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛
者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅
力（如图 6）。在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的 1.5 倍，最终甲冲刺终点
的时间比乙提早 30 分钟，若乙的平均速度为 x km/h，则可列方程为 （ ▲）
A. B. C. D.
7.如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着 CD 对折，A 是对折后劣弧上的
一点，∠CAD＝100°，则∠B 的度数是 （ ▲）
A．50° B．60° C．80° D．100°
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8. 把一块含 30°角的三角板 ABC 按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中 C 为直角顶
点，30°角的顶点 B 在 x 轴上.若∠CBO＝120°，AC＝2，当点 A，C 同时落在一个反
比例函数图像上时，则 B 点横坐标为 （ ▲）
A． B． C． D．
第 7 题图 第 8 题图 第 14 题图
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
9.若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ．
10.分解因式：2x2﹣8＝ ▲ ．
11.五边形的内角和是 ▲ °．
12.已知 是方程 的一个解，则 2m-3n 的值是 ▲ .
13.某单位组织抽奖活动，共准备了 150 张奖券，设一等奖 5 个，二等奖 20 个，三等奖
90 个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则 1 张奖券中一等奖的概率是 ▲ .
14.圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形,其寓意着希望、永恒、美满
与团聚．如图 14 是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为 26cm，底面直径长为 20cm，
则此圆锥的侧面积为 ▲ cm2.（结果保留π）
第 15 题图① 第 15 题图② 第 16 题图
15.图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣。图②是某景
区池塘的示意图,点 A 与点 C 由 5 段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：m），桥中各
弯曲处均成直角.若 AB 边与 BC 边垂直，BC 边比 AB 边长 2m，则 BC= ▲ m.
16.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D、E 分别在 AB、BC 边上，将△BDE 沿 DE 翻折得
到△FDE，EF 与 AC 边交于点 G. 若 BD=2AD,AC=2，BC=4，CG= ,则 CE= ▲ .
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三、解答题（共 11 小题，102 分）
17.（本题 10 分）
（1）计算： ；（2）化简 ．
18．（本题 8 分）解不等式组: ，并写出它的负整数解．
19.（本题 8 分）我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，
人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合
伙买羊，每人出 5 钱，还缺 45 钱；每人出 7 钱，还缺 3 钱．求合伙人数是多少？
20．（本题 8 分）已知：如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 BE 平分
∠ABC，EF∥CD．求证：四边形 ABFE 是菱形．
21.（本题 8 分）“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，淮安某中学开展了丰富
多彩的社团活动，设置了生物社、合唱社、创客社三大板块课程（依次记为 A、B、
C）．若该校小星和小晨两名同学随机选择一个板块课程．
（1）小星选择“生物社”板块课程的概率是 ▲ ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小星和小晨同时选择“创客社”板块课程的概
率．
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22.（本题 8 分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区 200 名初中学
生和 320 名高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统
计图．
初中学生视力情况统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 m＝ ▲ ，n＝ ▲ ；
（2）被调查的高中学生视力情况的中位数为 ▲ ；
（3）请你判断：高中学生的视力情况和初中学生的视力情况哪个更好些？并选择一个
合适的统计量说明理由．
23.（本题 8 分）综合与实践：
小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 A 处投射到底部 B
处，入射光线与水槽内壁 AC 的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到 AC 的中点 E 处时，停止注水．（直线 NN′为法线，
AO 为入射光线，OD 为折射光线．）
【测量数据】
如图，点 A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得 AC＝20cm，∠A＝45°，
折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）BC 的长为 ▲ ；
（2）求 B，D 之间的距离（结果精确到 1cm）．
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（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）
24.（本题 8 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，D 为⊙O 上一点，连
接 CD，∠ADC＝∠AOF，OF⊥AD 于点 E，交 CD 于点 F．
（1）判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AC＝2OA，BD＝6，则 EF= ▲ .
25.（本题 10 分）甲骑电动车从 A 地驶向 B 地，甲行驶 2min 后，乙骑摩托车沿同一直路
从 A 地驶向 B 地，已知乙的速度是甲速度的 2 倍。在整个行驶过程中，甲离 A 地
的距离 y1(单位：m)与时间 x(单位：min)之间的函数关系如图所示.
（1）乙行驶 ▲ min 后追上甲;
（2）在图中画出乙离 A 地的距离 y2（单位：m）与时间 x 之间的函数图像；
（3）已知 A、B 两地的距离为 3500 米，乙追到甲时距离 B 地还有 2000 米，当
乙在行驶途中与甲相距不超过 500 米时，求 x 的取值范围.
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26. （本题 12 分）已知二次函数 y＝-x2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A（﹣1，0），顶点为
点 P． 直线 l 的表达式为: ．
（1）填空：c＝ ▲ ；（用含 b 的式子表示）
（2）若该二次函数图像与 x 轴的另一个交点为 B（3,0），与直线 l 交于 C、D 两点．点
E 为二次函数图像上任意一点，过点 E 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 F，交直线 l
于点 G.
①若点 G 是线段 EF 的中点，求点 F 的坐标；
②设 E、G 的纵坐标分别为 ，若 ,则 x 的取值范围是 ▲ ；
（3）若平移该二次函数图像，使其顶点 P 落在直线 l 上.设抛物线与直线 l 的另一个交
点为 H，点 K 在直线 l 上方的二次函数图像上，求点 K 到直线 l 距离的最大值．
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27.（本题 14 分）
【知识再现】
如图①，从苏科版八年级下册中位线性质的探索过程中，我们认识到：取中点构造全
等，可以将三角形问题转化为四边形来解决.
【简单应用】
如图②，小明受此问题启发，思考并提出新的问题：四边形 ABCD 中，AD∥BC，点
E 为 DC 边的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，△ABF 的面积和四边形 ABCD
的面积相等吗？请说明理由.
图②
图①
【类比迁移】
如图③，爱动脑筋的小丽提出新的探究点：P 为平面直角坐标系第一象限内的一个定
点，过点 P 任意作一条直线 AB，分别交 x 轴正半轴、y 轴正半轴于点 A、B. 小丽将直线
AB 绕着点 P 旋转过程中发现，△AOB 的面积存在最小值.请问：直线 AB 转到什么特殊位
置时，△AOB 的面积最小？请用无刻度直尺和圆规做出此时的直线 AB,并说明△AOB 面积
最小的理由.
图③
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【问题解决】
老王家（点 A）和老李家（点 C）门前有一块公共的闲置空地（四边形 ABCD），空
地中间有一棵大树（点 P），两家商量过点 P 画一条直线将四边形 ABCD 分为两个四边形
. 精明的老王就琢磨着，这条线如何画才能让自己门前的空地面积最大呢？如图④, 经测
量，AD=13 米，AB=10 米，BC=6 ，∠B=90°，点 P 到 AB 和 BC 的距离
都是 4 米. 请你帮老王算一算，他能分得的空地面积最大是多少.
D D
C C
P P
A B A B
图④ 备用图
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一．选择题
C D A B B D C C
二. 填空题
9. 10. 11. 540 12. 13. 14. 260π 15. 9 16.
二．解答题
17. （5 分+5 分）（1） （2） 18. （5 分+3 分） ; x=-3，-2，-1
19.（8 分）21 人. 20.（8 分）证明略 21（2 分+6 分）（1） （2）
22.（2 分+2 分+2 分+2 分）（1）68 , 4％（2）0.9（3）初中学生视力情况更好，说理略.
23.（2 分+6 分）（1）20 （2）4cm
24.（5 分+3 分）（1）略 ；（2）
25（2 分+3 分+5 分）（1）2 ；（2）图略 ； （3）
26.（2 分+4 分+3 分+3 分）
（1）b+1 （2）① 或 ② 或 （3）
27.（4 分+6 分+4 分）
（1）证明略（4 分） （2）尺规作图 （3 分） + 说理过程 （3 分）
（3） （4 分）

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