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2024-2025学年四川省成都七中万达集团学校高二下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.若数列是等差数列，是的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
4.已知一个等比数列的前项、前项、前项的和分别为、、，则下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知是双曲线的一个焦点，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.函数，则( )
A. ． B.
C. D. 以上情况都有可能．
7.已知，且满足，则( )
A. B. C. D.
8.若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象是中心对称图形
B. 有两个零点
C. 过点只能做一条直线与相切
D. 在上最大值为，则
10.已知，函数若成等比数列，则平面上点的轨迹可以是( )
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
11.已知数列满足，前项和为，下列说法正确的是( )
A. B. 的解有个
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列成等比数列，其公比为，前项和为若，，则 ．
13.已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为 ．
14.“已知数列，其中第一项是接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为的整数幂，”那么
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，．
证明：平面．
若，求二面角的余弦值．
16.本小题分
已过抛物线：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为．
求抛物线的方程
过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程．
17.本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
求在上的最大值为，求的值．
18.本小题分
已知函数和
若，证明：
若，试判断和的公切线条数
19.本小题分
已知数列满足：，正项数列满足：，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项的和；
记为数列的前项积，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.【详解】证明：因为底面为正方形，所以．
又因为，，平面，所以平面；
因为平面，所以．
因为，与相交，平面．
所以平面．
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，则，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为．
，
易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．

16.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，故，
所以．
设，，如下图：
则，
由，得，
若，则、关于轴对称，为中点不符合题意；
若，则，
所以直线的方程为，即．

17.【详解】函数的定义域为，则因为，所以，
由，可得，由，可得．
此时，函数的增区间为，减区间为．
，
当时，在上，所以函数在上单调递减，
此时，，令，则，不合题意．
当时，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，，令，则．
当时，在上，所以函数在上单调递增，此时，，令，则，不合题意．
综上所述：．

18.【详解】令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，等号成立时；
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，等号成立时；
则当时，，
但因等号成立条件不同，故当时，，即成立．
设曲线的切点为，因，则切线斜率为，
故切线方程为，即；
设曲线的切点为，因，则切线斜率为，
则切线方程为，即；
由题意得，得，
则，即，
设，则，
设，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
因，，
则由零点存在性定理可知，使得，即，
又时，，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因，，
则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点，
则方程存在两个根，
所以和存在两条公切线．

19.【详解】，
当时，，即，
，
等式两边同除以得，
当时，，
两式相减有：，
，
经检验，也满足上式，故．
因为，
则当时，，
累加可得：，
且，
．
经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故．
，
，
令，则，
两式相减可以得到：，
．
令，
当为偶数时：；
当为奇数时：；
故当为偶数时，，
当为奇数时：，
．
因为，所以，
证明不等式左边：
，
证明不等式右边：
，得证．

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