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2024-2025学年天津市西青区杨柳青第一中学高一下学期4月期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法正确的个数为( )
用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；
在中，“若则；
平面向量，若则；
若非零向量满足则与的夹角为锐角．
A. B. C. D.
3.若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 如果，，则
B. 如果，，，，则
C. 如果，，则
D. 如果，，，则
4.在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角所对的边分别为若，则( )
A. B. C. D.
6.如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
7.如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于( )
A. B. C. D.
8.我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为矩形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则( )
A. B. C. D.
9.在中，角，，所对的边分别为，，已知的面积为，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知复数，则 ．
11.已知平面向量，，，且与的夹角为，则 ．
12.已知底面半径为的圆锥侧面积是它底面积的两倍，则圆锥的体积为 ．
13.已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是 ；向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
14.已知等边三角形，点是内一点，且，若，则的最小值为 ．
15.在中，，，，分别为边，的中点，若点在线段上，且，，则 若，点为线段上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（14分）已知复数．
Ⅰ当实数取什么值时，复数是：
实数；
纯虚数；
Ⅱ当时，化简．
17.（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，，
求的值；
求的面积．
18.（15分）如图，在三棱柱中，底面，且为正三角形，，为的中点．
求证：直线平面
求证：平面平面
求与平面所成的角的正切值．
19.（15分）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
若、分为、的中点，点在线段上，且．
求证：平面平行平面．
20.（16分）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，．
求角的大小；
若，，求的面积
若，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.试题解析：Ⅰ当时，即或时，复数为实数．
当时，解得
即时，复数为纯虚数．
Ⅱ当时，，
．
考点：复数的代数表示法及其几何意义

17.解：法一：
由，根据正弦定理有，
因为，
所以，
整理得，
因为，所以，
因为，所以．
法二：
由，根据余弦定理有．
整理得，即．
，
因为，所以．
因为，，由知，
由正弦定理，，，
又因为，所以为锐角，，
所以，，
所以．
法一：由，将，，代入，
解得，
．
法二：，
，
．

18.解：
设，连接，
在三棱柱中，底面，且为正三角形，
三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形，
为的中点，又为的中点，在中有，
平面，平面，平面；
连接，
底面，平面，，
又为正三角形，为的中点，，
又，又平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
由可知平面，即为在平面内的射影，
即为与平面所成的角，
三棱柱为正三棱柱，且，
，，
．

19.解：证明：连接，则为中点，点为中点，所以，
因为平面平面，平面，所以平面．
由得，异面直线与所成角即为与夹角，
，，所以为等腰直角三角形，
设，则，，，
在中，由余弦定理得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
连接，如图所示，因为、分别为、的中点，
所以，
因为为的中点，所以，
因为点在线段上，且，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又因为，、平面，
所以平面平面．

20.解：因为，则，
又，，
所以，
由正弦定理得，
即，
又是内角，则，
所以，即，
又，所以．
由余弦定理得，即，解得：负值已舍去，
．
由余弦定理得，
即，
当且仅当时取等号，，
又，；
所以，
令，则在上单调递增，
，即，即，
的最大值为．

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