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2024-2025学年广东省实验中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.底面直径和母线长均为的圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，分别是内角的对边，若其中表示的面积，且，则的形状是( )
A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 有一个角是的直角三角形 D. 等边三角形
7.如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.声音是由物体振动产生的声波我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是 ．
A. 函数具有奇偶性
B. 函数在区间上单调递增
C. 若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大
D. 若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 一个棱柱至少有六个面 B. 棱台的各侧棱延长后交于一点
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
10.设，，均为复数，则下列命题中正确的是( )
A. 若复数，则 B. 若，则的最大值为
C. 若，则 D. 若，则为纯虚数
11.定义：两个向量的叉乘，则以下说法正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的
直观图，其中，，则原图形面积是 ．
14.已知等腰中，，点满足，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象如图所示．
求这个函数的解析式；
求函数在上的单调递增区间和零点．
16.本小题分
某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对，的视角现需要从观景台到，造两条观光路线，，使得观景台到和两个景点的距离之和最大．
求，的距离；
设，记，求的最大值．
17.本小题分
如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点延长交于点，设．
求的值；
若为边长等于的正三角形，求的值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．

求；
已知为边上的一点，且．
(ⅰ)若，，求的长；
(ⅱ)求的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点．
求；
若，求的值；
若，求的最大值．
参考答案
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15.解：由函数的部分图象知，最大值为，最小值为，所以．
又因为，所以，所以．
因为函数的图象经过点，所以，
又因为，所以．
所以函数的解析式为．
令，则，
所以在上的单调递增区间为和．
令，则，
所以在上的零点为和．

16.解：在中，，
由余弦定理得，
，
所以，即的距离为．
在中，，，则，
由正弦定理得，，
所以，
，
所以
；
当时，，取得最大值．

17.解：因为为的中点，，
又，故
法一，设，因为为的中点，，
，，三点共线，所以，得
故
因为为边长为的正三角形
故
法二设
又由知与为非零的共线向量．
与为非零的共线向量，所以，得
因为为边长为的正三角形
故
．

18.解：由题意知，
又由正弦定理得，所以．
又，所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，

又因为，所以．
因为，
根据余弦定理得，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理知，，即，所以，
进而，所以故，
(ⅱ)因为，所以，
在中，由正弦定理得，所以；
又在中，；
所以，
因为，所以，所以
所以的取值范围是．

19.解：法一：因为，
所以，
即，
整理得：，
所以由正弦定理可得，所以；
法二：因为，且，
所以，
所以，整理得，
因为，所以，所以．
由可得，，所以三个内角都小于，
则由费马点的定义可知：，
设，由，
得，整理得：，
所以；
由费马点的定义可知：，
设，则，
又，所以由平面向量基本定理有．
由余弦定理可得：，
，，
因为，所以，
所以有，化简可得：，
将代入上式，化简得．
因为，当且仅当结合解得时等号成立，
设，所以，解得或，
因为，所以，所以，即的最大值为．

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