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2024-2025学年广东省广州二中教育集团高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是复数为虚数的( )
A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件
2.下列命题中正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
3.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知三个不共线的向量，，满足，则为的( )
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
5.如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，( )
A. B. C. D.
6.在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则( )
A. B. C. D.
7.某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球球与圆锥的底面和侧面均相切半径为，则该圆锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是( )
A.
B. 复数的模为
C. 复数的虚部为
D. 方程的另一个根为
10.如图，在等边中，，点在边上，且过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，则以下选项正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值是
11.已知正方体中，，点，，分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是( )
A. 直线平面
B. 平面平面
C. 直线、、三线共点
D. 过，，三点作正方体的截面，截面的周长为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量 用，表示向量
13.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 ．
14.设是虚数，是实数．则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
，是夹角为的单位向量，设．
计算的大小；
设向量，若与共线，求实数的值；
是否存在实数，使得与向量垂直，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
16.本小题分
已知地在地的东北方向，且，两地之间的距离是，地在地的北偏西方向，，两地之间的距离是，现要在地的北偏东方向建一个高铁站，高铁站到地的距离恰好是到地的距离的倍．
求、两地之间的距离；
求高铁站到地的距离．
17.本小题分
如图，正三棱柱中，为棱的中点．
证明：平面；
令三棱锥的体积为多面体的体积为，求．
18.本小题分
已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，当的周长取最大值时，求的面积；
求的取值范围．
19.本小题分
法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，，，，，，，，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立．
请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；
，求的最大值；
设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为，，，，求的最小值．
参考答案
1.
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13.或
14.
15.解：由，是夹角为的单位向量，得，而，
因此．
向量与共线，则，所以．
假定存在实数，使得与向量垂直，则，
即，解得，
所以存在实数，使得与向量垂直，．

16.解：依题意，在中，，，，
由余弦定理得，
则，解得，
即村庄，之间的距离为干米；
在中，由正弦定理得，
则，从而，
则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得，
在中，由余弦定理得，
而，则，解得，
所以高铁站到地的距离千米．

17.解：在正三棱柱中，连接，连接，
则为中点，而为棱的中点，于是，又平面，平面，
所以平面．
平面，由为棱的中点，得，，
于是，
所以．

18.解：在锐角中，由及正弦定理，
得，由余弦定理得，
于是，而，所以．
由知，，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，解得，
因此当时，的周长取得最大值，
此时的面积．
在锐角中，，由，得，，
，
所以的取值范围是．

19.解：依题意，柯西不等式的二元形式为：
设，则，当且仅当时取等号．
用向量法证明：令，
由数量积的性质得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号．
由知，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是．
取的中点，连接，则，
过点作平面，则点在上，且，
因为，由勾股定理得，
，故，
则正四面体的体积，
由正四面体的体积，
得，所以，
又由柯西不等式得
，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最小值．

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