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2024-2025学年广东省惠州市惠城区惠州中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
4.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知中，角的对边为，且，，的面积为，则
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上有个零点 D. 的最小值为
8.已知函数，若关于的方程有个不同的实根，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知下列四个命题为真命题的是( )
A. 已知非零向量，，，若，，则
B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形
C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
10.已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )
A. 若为纯虚数，则 B. 若，则
C. 若，则的最大值为 D.
11.若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则( )
A. B. 在上单调递增
C. D. 在上的实数根之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则
13.如图，在某个海域，一艘渔船以海里小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一座小岛在其南偏东方向，再经过半小时，到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为 海里．
14.如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为 ；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，函数．
求的最小正周期；
当时，若，求的值．
16.本小题分
在中，角、、所对的边为、、，．
求角的大小；
若面积为，周长为，求的值．
17.本小题分
如图正方体，的棱长为，是线段，的中点，平面过点、、．
画出平面截正方体所得的截面保留作图痕迹，并求该截面多边形的面积；
平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值．
18.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求的取值范围；
设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
19.本小题分
若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
函数是否有“飘移点”？请说明理由；
证明函数在上有“飘移点”；
若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
．
即
的最小正周期是．
由，得，
，，，．

16.由已知结合正弦定理边化角可得，．
又，
代入整理可得，．
因为，所以．
又，所以．
由及可得，．
又周长为，则，所以．
根据余弦定理可得，，
整理可得，．

17.如图，取的中点，连接．
因为是的中点，所以．
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以四点共面．
因为三点不共线，所以四点共面于平面，
所以面即为平面截正方体所得的截面．
截面为梯形，，
，，
同理可得，
如图所示：
分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，
则，，，
所以，则，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
所以，
故梯形的面积为
易知多面体为三棱台，，
，
该棱台的高为，所以，该棱台的体积为
，
故剩余部分的体积为．
故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为．

18.若在上单调递增，则需满足，解得
，
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故

19.不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
，则该方程无解，
函数不存在“飘移点”．
对于，则，整理得，
在内连续不断，且，
在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”．
对于，则，即，
，则，
令，则，
，
又，当且仅当，即时等号成立，
则，，
，即，
故实数的取值范围为．

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