资源简介

2024-2025 学年湖北省腾云联盟高二下学期 5 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 (1+ ) (1).已知函数 ( ) = 2ln + ，则
→0 3
=( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.在等比数列{ }中， 1， 5是函数 ( ) = ( 2 7 + 11) 的极值点，则 3 =( )
A. 2 B. 2 C. ±2 D. 1
3.一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，
则三次中恰好有两次正面的概率为( )
A. 18 B.
3 1 1
7 C. 6 D. 4
4.若随机变量 的分布列为
1 0 1 2
2
若 = 2，且 ( ) = 1912，则 ( > 0) =( )
A. 5 1 11 712 B. 12 C. 12 D. 12
5.一个等差数列{ }的前 项和、前 2 项和、前 3 项和分别为 ， 2 ， 3 ，公差为 ，则下列说法正确的
是( )
A.若 2 = 4 ，则 2 1 = B.若 3 = 9 ，则 3 1 =
C. ， 2 ， 3 成等比数列 D. ， 2 ， 3 成等差数列
6.从点 (1, )可向曲线 = 3引三条不同切线，则 的取值范围为( )
A. 1 < < 0 B. 0 < < 1 C. 1 < < 2 D. 2 < < 3
7.袋中装有红色小球 1 个、黄色小球 2 个、绿色小球 3 个，小球除了颜色外完全相同，现从中取出 5 个小
球排成一行，相同颜色的小球不能相邻，则不同的排法种数为( )
A. 8 B. 11 C. 12 D. 15
8.函数 ( ) = ( + ) 的图像上有四点 ， ， ， ，它们构成了菱形 ，其对角线 ， 满足
| | = 2| |，且直线 的斜率为 1，则 =( )
A. 3+ 13 B. 3+ 152 2 C.
3+ 17 3+ 19
2 D. 2
第 1页，共 8页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， 满足 ( ) = 0.7， ( ) = 0.1，则( )
A.若 与 互斥，则 ( ∪ ) = 0.8
B.若 ，则 ( ∪ ) = 0.7， ( | ) = 17
C.若事件 满足 ( ∪ ∪ ) = 1，则 ( ) = 0.2
D.若 与 相互独立，则 ( ) = 0.27
10.已知(1 3 ) = 0 + 1 + 2 2 + + ，且展开式第 6 项与第 7 项的二项式系数相等，则下列结
论中正确的是( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + = 2047
C. = 33 D. 1 + 2 2 3 31 3 32 + 33 + . . . +

3 = 0
11.关于数列{ }，满足递推关系 2 + +1 = ln( )， ∈ ，下列说法正确的是( )
A.当 1 = 1 时，数列{ }是常数列 B.当 0 < 1 < 1 时，数列{ }单调递增
C.当 1 > 1 时，数列{ }单调递减 D.当 0 < 1 < 1 时， < 1 恒成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( ) = 2 ′(2)，则 (1) = ．
13.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，如果小明当天选择了某种套
餐，他第二天会有 80%的可能性换另一种类型的套餐，如果小明第一天选择了米饭套餐，则第 4 天选择米
饭套餐的概率是 ．
14.有 8 张除颜色外完全相同的纸牌，其中 4 张为红色纸牌，4 张为蓝色纸牌，将全部纸牌按照某种顺序一
张一张地放到桌面上，要求放置的过程中，桌上的红色纸牌与蓝色纸牌数量之差的绝对值始终不超过 2，则
有 种不同的放置顺序．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
有 5 个不同的小球，3 个不同的盒子．
(1)将所有小球都放进盒子，求有多少种放置方法(答案用数字作答);
(2)如果每个盒子至少放一个球，求有多少种放置方法(答案用数字作答)．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)讨论 ( )的单调性;
第 2页，共 8页
(2)若函数 ( )有两个相异零点，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，满足 2 + + 1 = ， ∈ ，且 1 = 1．
(1)求 2， 3;
(2)求数列{ }的通项公式;
(3)若 = ( 4)(
3 ) 4 ，其前 项和为 ，求数列{ }的通项公式．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = cos + ln(1 + ) 1， ( ) = ．
(1)求 ( )在 = 0 处的切线方程;
(2)若 ( ) ≤ ( )在定义域内恒成立，求 的值;
(3)求证：2 1 = +1 (sin ) < ln2， ∈ ．
19.(本小题 17 分)
点 在平面直角坐标系 上，位于坐标(1,1)处.点 每次可以朝上，下，左，右四个方向中的任意一个方向
移动 1 个单位(各方向概率均等)，直到点 移动到坐标轴上时，停止移动.规定 ( , )( ∈ +, ∈ +)代表
点 移动 次后，落在坐标( , )处的概率．
(1)求出 2(1,1)的值
(2)求 ( 1,1)( ≥ 2)的值; (结果用含 的式子表示)
(3)求 2 ( 1, 1)( ≥ 2)的值; (结果用含 的式子表示)
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.0.392( 49或125 )
14.54
15.解：(1)分步进行，每放置 1 个小球为 1 步，且每个小球都有 3 种放置方法，故将所有小球都放进盒子，
共有35 = 243 种；
(2)分 2 类：
第 1 类将 5 个小球分成 3，1，1 三堆，再放到三个盒子里，方法数为 3 35 3；
第 2 类将 5 个小球分成 2，2 1，1 三堆，再放到三个盒子里，方法数为 2 2 32 5 3 3，
故总的方法数为 35 3 +
1 23 2 5
2 3
3 3 = 150 种．
16.解：(1) ∵ ( ) = ，
∴ ′( ) = ，
①当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立， ( )在 上单调递增，
②当 > 0 时，令 ′( ) > 0，则 > ，
即函数 ( )的递增区间是( , + ∞)，
同理，由 ′( ) < 0 得函数 ( )的递减区间是( ∞, )；
(2) ( ) = = 0 时，
因为 (0) = 1 ≠ 0，所以 = 0 不是零点，
第 4页，共 8页

因此 = ，

令 ( ) = ( 1) ， ′( ) = 2 ，
所以 ′( )在( ∞,0)和(0,1)处小于 0，在(1, + ∞)处大于 0，
因此 ( )在(1, + ∞)上单调递增，在( ∞,0)和(0,1)上单调递减，
又因为 > 0 时， ( ) > 0， < 0 时， ( ) < 0，
( )有极小值 (1) = ，当 > 0 且 → 0 时， →+∞，当 →+∞时， →+ ∞，
因此得到 ∈ ( , + ∞).
17.解：(1) 2 + 1 = 4，即 2 1 + 2 = 4，解得 2 = 2;
3 + 2 = 9，即 2 1 + 2 2 + 3 = 9，解得 3 = 3．
+ = 2
(2) ≥ 3 时， 1
2
，
1 + 2 = ( 1)
作差得 + 1 = 2 1．
+
≥ 4 1 = 2 1时， 1 +
，
2 = 2 3
作差得 2 = 2．
为偶数时，累加( 2) + ( 4 2) = 2，
即 2 = 2，得 = ( ≥ 4 且为偶数)．
为奇数时，累加( 2) + ( 5 3) = 3，
即 3 = 3，得 = ( ≥ 4 且为奇数)．
由(1)可知 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3，经检验得 = ．
(3) 3根据(2)可知 = ( 4)( 4 ) ，
= ( 3)(
3 1
4 ) + ( 2)(
3 )24 + + ( 4)(
3 ) 4
3 ，
4
3 2
= ( 3)( 4 ) + ( 2)(
3
4 )
3 + + ( 4)( 3 ) +14
1 3 3 3 3
作差得4 = ( 3)( 4 )
1 + ( 2 +14 ) + + ( 4 ) ( 4)( 4 ) ，
3
1 9 3 1 ( ) 12 4 3
4 = 4+ (4 ) 3 ( 4)( )
+1
1 44
= 9 ( 3 ) 14 4 ( 4)(
3
4 )
+1，
3
所以 = 3 ( 4 )
．
第 5页，共 8页
18.(1)解： ′( ) = sin + 11+ ，则 ′(0) = sin0 +
1
1+0 = 1，
又因为 (0) = 0，
所以 ( )在 = 0 处的切线为 = ．
(2) 解：设 ( ) = ( ) ( ) = cos + ln(1 + ) 1， > 1．
由条件可知 ( ) ≤ 0 恒成立，
由于 (0) = 0， ′( ) = sin + 11+ ， ′(0) = 1 ，
若 ′(0) < 0，则存在 1 < 1 < 0，使在( 1, 0)上 ′( ) < 0， ( )在( 1, 0)上单调递减， ( 1) > (0) = 0
矛盾;
同理 ′(0) > 0 时也矛盾，因此 ′(0) = 0， = 1，
下证当 = 1 时， ( ) ≤ 0 对任意的 ∈ ( 1, + ∞)恒成立：
令 ( ) = ln(1 + ) ，则 ′( ) = 11+ 1 =

1+ ，
由 ′( ) > 0 1 < < 0， ′( ) < 0 > 0，
故函数 ( )在( 1,0)单调递增，在(0, + ∞)单调递减，
所以 ( ) ≤ (0) = 0，即 ln( + 1) ≤ 0，
而 cos 1 ≤ 0，
所以在定义域内， ( ) = (cos 1) + [ln(1 + ) ] ≤ 0 恒成立，
综上，若 ( ) ≤ ( )恒成立，则 = 1；
(3)证明：由(2)可知 ( ) ≤ ，所以 (sin 1 ) ≤ sin
1
，
1
所以2 = +1 (sin ) = (sin
1
+1 ) + (sin
1 1
+2 ) + + (sin 2 )
≤ sin 1 +1+ sin
1
+2+ + sin
1
2 ，

先证 > sin ， ∈ (0, 2 )，令 ( ) = sin ， ∈ (0, 2 )，
则 ′( ) = 1 cos ≥ 0 ，故 ( )在(0, 2 )单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0， > sin ∈ (0, ， 2 )，
sin 1 1 +1+ sin +2+ + sin
1 1 1 1
2 < +1+ +2 + + 2 ，
再证 ln ≤ 1，(0 < ≤ 1)，
设 ( ) = ln + 1，
第 6页，共 8页
则当 > 1 时， ′( ) = 1 1 < 0， ( )单调递减;
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
故当 ( ) ≤ (1) = 0，
故 ln ≤ 1，当且仅当 = 1 时取等号，

故令 = +1，则 ln +1 < +1 1，
1 +1
故 +1 < ln = ln( + 1) ln ，
1
因此 +1 < ln( + 1) ln ，
1 1 1
+ 1 + + 2 + + 2
< ln( + 1) ln + ln( + 2) ln( + 1) + + ln2 ln(2 1)
= ln2 ln = ln2，
即证2 = +1 (sin
1
) < ln2， ∈
．
19.解：下面将会用→←↑↓来表示方向：
(1) 1 1两步回到(1,1)的路线有：→← , ↑↓，所以 2(1,1) = 2( )24 = 8 ;
(2)由于走到点( 1,1)的最短路线至少需要向右 2 步，
因此要在第 步时到达，需要有一次折返，
情况 1:左右折返时，需要向→ 1 步，向← 1 步，对这些箭头进行排列，共有 1 种排法，注意到←不
能放在第一步，否则会碰到坐标轴，因此有 1 种排法;
情况 2:上下折返时，需要向→ 2 步，↑ 1 步，↓ 1 步，对这些箭头进行排列，并且↓不能放在↑前面，
2
则有 2 =

2 种排法，
2 2
因此 ( 1,1) = (
1 + 2
2 + 1)( 4 ) = 22 +1 ( ≥ 2);
(3)由于走到点( 1, 1)的最短路线至少需要向右走 2 步，向上走 2 步，
因此要在第 2 步时到达，还需要 2 2( 2) = 4 步，接下来讨论这四步的情况：
情况 1:全部是左右方向，则为 2 ←，2 →，一共需要 个→， 2 个↑，2 个←，
先排列→和←，考虑不满足题意的情况，如果第一步是←，有 + 1 种排法;如果第一步是→，若第二步也是→
则一定满足题意，所以第二步必须为←，同理第三步也必须为←，仅有 1 种排法，则一共有 + 2 种，因此
符合题意的排法有 2 +2 ( + 2) =
( 1)( +2)
2 ，然后将 2 个↑插入其中，
第 7页，共 8页
( 1)( +2)
则一共有 22 2 种排法;
情况 2: ( 1)( +2)全部是上下方向，和情况 1 类似，一共 2
2
2 种解法;
情况 3:左右上下都有，则一共需要 1 个→， 1 个↑，1 个←，1 个→，
先排列→和←，和第二问中的情况 1 类似，有 2 种排法，
再排列↑和↓，同理也有 1 种排法，
接下来将它们插入到同一队列中 2 ，则一共有( 1)2 2 种排法，
将三种情况相加： 1 + 2 2 + ( 1)2 2 2 ，
2 = (2 )! ( 1)(2 )! ( 1)由于 2 ( 2)!( +2)! = ! !( +1)( +2) = ( +1)( +2) 2 ，
1 + 2 2 + ( 1)2 = [ ( 1)
2
因此 2 2 ( +1) + ( 1)
2] = ( 1)2 2 +1 (2 )!2 +1 × ! ! = (
1)2 (2 +1)! 2
( 1)2
( +1)! ! = ( 1) 2 +1所以 2 ( 1, 1) =
2 +1
42 ( ≥ 2)．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑